復(fù)變函數(shù)積分變換復(fù)習(xí)卷(答案)

1、復(fù)變函數(shù)復(fù)習(xí)卷（本科）參考答案一、 填空題1、復(fù)數(shù)的三角表示式=；復(fù)指數(shù)表示式=。2、復(fù)數(shù)的=；。3、；。4、，求解方程組可得，。5、則；函數(shù)的奇點(diǎn)。6、；。7、；8、；。方程的根：；9、 ；10 、；。11、設(shè)，則是（一級(jí)極點(diǎn)）；。二、判斷下列函數(shù)在何處可導(dǎo)？何處解析？在可導(dǎo)處求出導(dǎo)數(shù)。（1） ；解：，一階偏導(dǎo)連續(xù)，因此當(dāng) 時(shí)，即時(shí)可導(dǎo)，在平面處處不解析。（2） ； 解：，于是，當(dāng) 時(shí)，即時(shí)可導(dǎo)，在平面處處不解析。（3）。解：由解析函數(shù)的四則運(yùn)算法則可知，函數(shù)除外處處可導(dǎo)，處處解析。三、求下列積分1、 。 （被積函數(shù)解析，找出原函數(shù)） 2、。 3、解：因?yàn)楸环e函數(shù)有奇點(diǎn)，但不在內(nèi)，在內(nèi)解析，

2、所以4、 其中積分曲線：點(diǎn)點(diǎn)的直線段；解：，其中。5、解：用留數(shù)基本定理。1) 由于一級(jí)極點(diǎn)，于是；2）由于三級(jí)極點(diǎn)，于是。所以。另解：用復(fù)合閉路定理、柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式。被積函數(shù)在內(nèi)有奇點(diǎn)；于是以為圓心作兩個(gè)適當(dāng)大小的圓， 所以。6、解：由于是本性奇點(diǎn)，于是，于是；所以 。 7、1），被積函數(shù)在內(nèi)解析，所以 。2），被積函數(shù)在內(nèi)只有一個(gè)奇點(diǎn)，于是。3），被積函數(shù)在內(nèi)有二個(gè)奇點(diǎn)，于是 。8、 由于，故奇點(diǎn)： 而在內(nèi)，有奇點(diǎn)，而且是一級(jí)極點(diǎn)，于是。 因此， 。 9、。四、級(jí)數(shù)展開1、將展開成的冪級(jí)數(shù)；并求收斂域；解：，。2、求在點(diǎn)處的泰勒展開式；并求收斂域；解：， 。3、將在（1），（2

3、）（3）鄰域內(nèi)展開為洛朗級(jí)數(shù)。解：1），有。2），有。3），有五、問是否存在這樣的解析函數(shù)以為虛部？若有，求滿足的解析函數(shù)。解：由于，而解析， 故C-R條件成立，即，于是，對(duì)積分，得。代入初始條件，得，所以。六、求下列函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)1、； 解：是孤立奇點(diǎn)，并且是三級(jí)極點(diǎn)?？梢园阉闯伤募?jí)極點(diǎn)求留數(shù)更為方便些。；或可以將函數(shù)在的去心鄰域內(nèi)洛朗展開，于是。2、； 解：由于，所以為可去奇點(diǎn)，故。3、。解：由于不存在，所以為本性奇點(diǎn)，于是，所以。積分變換（本科）復(fù)習(xí)卷參考答案一、填空題1、；。2、； ； 3、；4、； ； 5、設(shè)，則；6、1； 7、；8、；9、； ；10、。二、求下列函數(shù)的付氏變換1設(shè)，求。解：，于是2 3 。4。5 6 。 7 8 9 。10。三、計(jì)算積分 1。 2。3 4、。四、求卷積 1、設(shè)，求：。解：，2、設(shè)，求：。解：；。五、求下列函數(shù)的拉氏變換1、 2、 3、 。4、 。 5、。 6、7、 。 8、 。 9、。10、 11、 。 12、。13、設(shè)試用單位階躍函數(shù)及延遲了的單位階躍函數(shù)表示，并求。解：；。六、求下列函數(shù)的拉氏逆變換1、。 2、 。 3、 4、5、 6、 ，其中，于是 。 7、。七、求解微分方程組1、 解：設(shè)，于是 ；所以。2、 解： 設(shè)，；于是，；故，所以 。3、 解：設(shè)于是，得，。要求背出下列公式：