第三章線性代數(shù)方程組的數(shù)值解

1、一般地說，差分格式被寫成如下的形式：一般地說，差分格式被寫成如下的形式： nnnnnnnnnnbTaTaTabTaTaTabTaTaTa22112222212111212111（3.1） 其中，其中，n是節(jié)點(diǎn)數(shù)，也即方程個(gè)數(shù)，每個(gè)方是節(jié)點(diǎn)數(shù)，也即方程個(gè)數(shù)，每個(gè)方程對(duì)應(yīng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)。程對(duì)應(yīng)一個(gè)節(jié)點(diǎn)。 和和bi（i=1，2，n；j=1，2，n）都是常數(shù)）都是常數(shù) 矩陣，矩陣，ija 第三章：線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法第三章：線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法1 引言引言方程組（方程組（3.1）可被進(jìn)一步寫成矩陣的形式）可被進(jìn)一步寫成矩陣的形式 : , I JIATB（3.2） 111211212222,12nnI

2、 JnnnnnaaaTaaaTATTaaa nIbbbB21其中其中n解線性代數(shù)方程組的解線性代數(shù)方程組的直接法直接法。n大家知道，線性方程組大家知道，線性方程組 BTA（3.3） 中只要矩陣的行列式中只要矩陣的行列式 ，方程組（，方程組（3.3）就有唯一解，其表達(dá)式為就有唯一解，其表達(dá)式為:0detAnjAATjj, 2 , 1det/det（3.4） 其中其中 為用右端向量為用右端向量 替換行列式替換行列式 的第的第 j 列而得的，這一公式為著名的列而得的，這一公式為著名的Cramer法則。法則。 jAdet BAdetn顯然，按顯然，按Cramer法則求解方程組（法則求解方程組（3.3）

3、需要計(jì)算）需要計(jì)算n+1個(gè)個(gè)n階行列式。每個(gè)階行列式。每個(gè)n階行列式按直接展開辦法階行列式按直接展開辦法來算，需作（來算，需作（n-1）n！次乘法和！次乘法和n!次加法運(yùn)算。次加法運(yùn)算。當(dāng)當(dāng)n=30時(shí)，共約需完成時(shí)，共約需完成 次乘法和加法運(yùn)算，這次乘法和加法運(yùn)算，這是一個(gè)十分驚人的數(shù)字，即使在一臺(tái)每秒作一億次是一個(gè)十分驚人的數(shù)字，即使在一臺(tái)每秒作一億次運(yùn)算的計(jì)算機(jī)上完成這一計(jì)算也是不可能的。所以，運(yùn)算的計(jì)算機(jī)上完成這一計(jì)算也是不可能的。所以，盡管這種辦法也是一種直接法，并且理論上可行，盡管這種辦法也是一種直接法，并且理論上可行，但實(shí)際上是無法進(jìn)行求解的。即使采用其它辦法來但實(shí)際上是無法進(jìn)行求

4、解的。即使采用其它辦法來計(jì)算行列式，按計(jì)算行列式，按Cramer法則求解的工作量也比通法則求解的工作量也比通常的直接法大得多。因而，常的直接法大得多。因而，Cramer法則對(duì)于數(shù)值法則對(duì)于數(shù)值計(jì)算來說是沒有什么用處的，僅在一些特殊場(chǎng)合才計(jì)算來說是沒有什么用處的，僅在一些特殊場(chǎng)合才有用。有用。3310n另外，矩陣求逆也是人們熟悉的求解線性方程另外，矩陣求逆也是人們熟悉的求解線性方程的一種方法。的一種方法。1BAT(3.5) 但求逆矩陣但求逆矩陣 時(shí)，要計(jì)算時(shí)，要計(jì)算 個(gè)個(gè)( n -1)階行列式，階行列式，和一個(gè)和一個(gè)n 階行列式，它的計(jì)算工作量也是相當(dāng)可階行列式，它的計(jì)算工作量也是相當(dāng)可觀的，對(duì)

5、于觀的，對(duì)于n 較大的情況也沒有什么現(xiàn)實(shí)意義。較大的情況也沒有什么現(xiàn)實(shí)意義。 2n1An現(xiàn)在計(jì)算機(jī)上常用的現(xiàn)在計(jì)算機(jī)上常用的直接解法直接解法大多數(shù)是以大多數(shù)是以系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣的三角形化三角形化為基礎(chǔ)的。就是說，為基礎(chǔ)的。就是說，先對(duì)方程組進(jìn)行變換，使其化為等價(jià)的先對(duì)方程組進(jìn)行變換，使其化為等價(jià)的（即具有相同解的）三角形方程組。由于（即具有相同解的）三角形方程組。由于三角形方程組三角形方程組的求解十分容易，原方程的的求解十分容易，原方程的求解問題即告解決。求解問題即告解決。為討論方便起見，我們首先敘述為討論方便起見，我們首先敘述三角形方程的解法三角形方程的解法，然后討論將原方程化為等價(jià)三角形

6、方程組的方法。然后討論將原方程化為等價(jià)三角形方程組的方法。由于計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)是有限的，每次運(yùn)算之后還要由于計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)是有限的，每次運(yùn)算之后還要對(duì)結(jié)果進(jìn)行舍入，所以，雖然理論上直接法在有對(duì)結(jié)果進(jìn)行舍入，所以，雖然理論上直接法在有限步內(nèi)可以得到精確解，但計(jì)算機(jī)上實(shí)際得到的只限步內(nèi)可以得到精確解，但計(jì)算機(jī)上實(shí)際得到的只是是近似解近似解。 2 三角形方程組的解法三角形方程組的解法 所謂三角形方程組是指下面兩種形式的方程組所謂三角形方程組是指下面兩種形式的方程組：(3.6) nnnnnnbTlTlTlbTlTlTlbTlTlbTl.2211333323213122221211111方程組方程組(3.6)

7、叫作叫作下三角形方程組下三角形方程組或或(3.7) 方程組方程組(3.7)叫作叫作上三角形方程組上三角形方程組。 nnnnnnnnnnnnnnndTudTuTudTuTuTudTuTuTuTu1, 111, 12232322211313212111.n若用矩陣符號(hào)可分別寫為：若用矩陣符號(hào)可分別寫為：,DTUBTL其中其中L為方程組為方程組(3.6)的系數(shù)所構(gòu)成的下三角的系數(shù)所構(gòu)成的下三角形矩陣，其元素滿足關(guān)系：形矩陣，其元素滿足關(guān)系：jilij 0U為方程組為方程組(2.7)的系數(shù)所構(gòu)成的上三角形的系數(shù)所構(gòu)成的上三角形矩陣，其元素滿足關(guān)系：矩陣，其元素滿足關(guān)系： jiuij 0n三角形方程組的

8、求解是很簡(jiǎn)單的。方程組三角形方程組的求解是很簡(jiǎn)單的。方程組(3.6)的的計(jì)算公式可歸結(jié)為：計(jì)算公式可歸結(jié)為：)(, 3, 2/ ),(/1122111111jinilTlTlTlbTlbTiiiiiiiii(3.8) 這個(gè)計(jì)算過程通常也只作這個(gè)計(jì)算過程通常也只作前推前推過程。過程。n對(duì)于方程組對(duì)于方程組(3.7)，其計(jì)算公式可歸結(jié)為：，其計(jì)算公式可歸結(jié)為：/,(,)/, 1 1, 221 ,2, ,1 ()Td unn nnTd uTuTu Tuiii iii iiin niii nnn j i (3.9) 這個(gè)計(jì)算過程通常也叫作這個(gè)計(jì)算過程通常也叫作回代方程回代方程。由以上分析可以看到，只要

9、把方程組化成了等由以上分析可以看到，只要把方程組化成了等價(jià)的三角形方程組，求解就容易了。價(jià)的三角形方程組，求解就容易了。 結(jié)論：結(jié)論：3 Gauss消去法消去法 Gauss消去法（簡(jiǎn)稱消去法）的提出已有相當(dāng)長(zhǎng)消去法（簡(jiǎn)稱消去法）的提出已有相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間了，是一種古老的方法。然而，近年來在的時(shí)間了，是一種古老的方法。然而，近年來在計(jì)算機(jī)上求解線性代數(shù)方程組的實(shí)踐表明，它仍計(jì)算機(jī)上求解線性代數(shù)方程組的實(shí)踐表明，它仍是是直接法直接法中最常用的一種方法，也是最有效的方中最常用的一種方法，也是最有效的方法之一。其基本思想是：法之一。其基本思想是：用逐次消去一個(gè)未知數(shù)用逐次消去一個(gè)未知數(shù)的辦法把原來的方程組

10、化為等價(jià)的（具有相同解）的辦法把原來的方程組化為等價(jià)的（具有相同解）三角形方程組三角形方程組。這樣，求解就很容易了。這樣，求解就很容易了。系數(shù)矩陣的系數(shù)矩陣的三角形化三角形化n假定把要求的假定把要求的n 階線性的方程組階線性的方程組(3.1)改寫成如改寫成如下形式：下形式： ) 1 () 1 (3) 1 (32) 1 (21) 1 (1) 1 (2) 1 (23) 1 (232) 1 (221) 1 (21) 1 (1) 1 (13) 1 (132) 1 (121) 1 (11nnnnnnnnnnnbTaTaTaTabTaTaTaTabTaTaTaTa(3.10) 用矩陣符號(hào)記為用矩陣符號(hào)記為

11、)1()1(BTAn其中其中 為為 方陣，方陣， 為為 向量，它們分向量，它們分別為：別為：分別從原方程組的第二個(gè)方程減去第一個(gè)方分別從原方程組的第二個(gè)方程減去第一個(gè)方程乘以程乘以 ，第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程，第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程乘以乘以 ，如此等等，即可消去后面，如此等等，即可消去后面n -1個(gè)方程中的未知量個(gè)方程中的未知量 。 ) 1 (11) 1 (21/aa)1(11)1(31/aa1T)1(Ann)1(B1n) 1 () 1 (2) 1 (1) 1 () 1 () 1 (3) 1 (2) 1 (1) 1 (2) 1 (23) 1 (22) 1 (21) 1 (1) 1 (13)

12、1 (12) 1 (11) 1 (,nnnnnnnnbbbBaaaaaaaaaaaaAn這時(shí)方程組這時(shí)方程組(3.10)就變?yōu)槿缦碌葍r(jià)方程組：就變?yōu)槿缦碌葍r(jià)方程組： (1)(1)(1)(1)(1)12311121311(2)(2)(2)(2)0_23222322(2)(2)(2)(2)0_233233330_(2)(2)(2)(2)0_2323aTaTaTaTbnnaTaTaTbnnaTaTaTbnnaTaTaTbnn nnnnn表示成矩陣形式為：表示成矩陣形式為：)2()2(BTA其中其中)2()2(3)2(2) 1 (1)2()2()2(3)2(2)2(3)2(33)2(23)2(2)2(

13、23)2(22) 1 (1) 1 (13) 1 (12) 1 (11)2(b,000nnnnnnnnbbbBaaaaaaaaaaaaaAn若令若令 ，則系數(shù)，則系數(shù) 和和 的計(jì)的計(jì) 算公式應(yīng)為：算公式應(yīng)為：) 1 (11) 1 (11/aamaii)2(ija)2(ibnjibmbbamaaiiijiijij, 3, 2,) 1 (11) 1 ()2() 1 (11) 1 ()2(類似地，分別從上述等價(jià)方程組的第三個(gè)方程減類似地，分別從上述等價(jià)方程組的第三個(gè)方程減去第二個(gè)方程乘以去第二個(gè)方程乘以 ，第四個(gè)方程減去第，第四個(gè)方程減去第二個(gè)方程乘以二個(gè)方程乘以 ，如此等等，即可進(jìn)一步，如此等等，即

14、可進(jìn)一步消去后面消去后面n -2個(gè)方程中的未知量個(gè)方程中的未知量T2，而將方程，而將方程(3.10)變?yōu)槿缦碌葍r(jià)形式：變?yōu)槿缦碌葍r(jià)形式： )2(22)2(32/ aa)2(22)2(42/ aa)3()3(3)3(3)3(44)3(43)3(43)3(33)3(33)3(33)2(2)2(23)2(232)2(22)1(1)1(13)1(132)1(121)1(11nnnnnnnnnnnbTaTabTaTabTaTabTaTaTabTaTaTaTa表示成矩陣形式為：表示成矩陣形式為：)3()3(BTAn其中其中)3()3(4)3(3)2(2) 1 (1)3()3()3(3)3(4)3(43)3

15、(3)3(33)2(2)2(23)2(22) 1 (1) 1 (13) 1 (12) 1 (11)3(,000000nnnnnnnnbbbbbBaaaaaaaaaaaaaA若令若令 ，則系數(shù)，則系數(shù) 和和 的計(jì)算的計(jì)算公式應(yīng)為：公式應(yīng)為：)2(22)2(22/aamii)3(ija)3(ibnjibmbbamaaiiijiijij, 4, 3,)2(22)2() 3()2(22)2() 3(n上述的消去步驟還可以進(jìn)行下去。如此繼續(xù)之，上述的消去步驟還可以進(jìn)行下去。如此繼續(xù)之，重復(fù)上述步驟重復(fù)上述步驟(n -1)次以后，我們即可得到如次以后，我們即可得到如下等價(jià)三角形方程組：下等價(jià)三角形方程組：

16、)()()3(3)3(33)3(33)2(2)2(23)2(232)2(22) 1 (1) 1 (13) 1 (132) 1 (121) 1 (11nnnnnnnnnnnnbTabTaTabTaTaTabTaTaTaTa(3.11) 表示為矩陣形式：表示為矩陣形式：)()(nnBTA其中其中 為如下上三角形矩陣，為如下上三角形矩陣， 為為 向量；向量；)(nA)(nB1n)() 3(3) 2(2) 1 (1)()() 3(3) 3(33) 2(2) 2(23) 2(22) 1 (1) 1 (13) 1 (13) 1 (11)(,nnnnnnnnnnnbbbbBaaaaaaaaaaA0(3.12

17、) n三角形方程組三角形方程組 很容易用前述的回很容易用前述的回代過程代過程(3.9)求解，這樣就完成了消去法求解求解，這樣就完成了消去法求解n階階線性代數(shù)方程組的過程。從原來方程組線性代數(shù)方程組的過程。從原來方程組(3.10)得得出等價(jià)三角形方程組出等價(jià)三角形方程組(3.11)的過程稱之為消去過的過程稱之為消去過程。采用前面的記號(hào)，我們可將消去過程的計(jì)算程。采用前面的記號(hào)，我們可將消去過程的計(jì)算公式歸結(jié)為對(duì)于公式歸結(jié)為對(duì)于 ，遞推地計(jì)，遞推地計(jì)算如下各量：算如下各量：)()(nnBTA1n21k,nijkjabaabbnjknikaaaaanjkibbnkaakijkkkkkkikkikik

18、kjkkkkikkijkijkikikijkij1,1011,) 1,.(2 , 1) 1()()()()() 1()()()()() 1()() 1()() 1(3.13) )( kiiaiia)(kiia)( kiia（i）系數(shù)矩陣中對(duì)角線上的元素）系數(shù)矩陣中對(duì)角線上的元素 都不應(yīng)都不應(yīng) 為零，因?yàn)樵谙倪^程中，不斷用為零，因?yàn)樵谙倪^程中，不斷用 作為除數(shù)，倘若有一個(gè)作為除數(shù)，倘若有一個(gè) 為零，為零， 計(jì)算就無法進(jìn)行下去。計(jì)算就無法進(jìn)行下去。（ii）在系數(shù)矩陣）在系數(shù)矩陣A每一行的元素中，每一行的元素中， 的絕對(duì)值最好比同一行的其他元素都的絕對(duì)值最好比同一行的其他元素都 大，這大，這

19、 樣在作除法運(yùn)算時(shí)，引起的舍樣在作除法運(yùn)算時(shí)，引起的舍 入誤差就比較小。入誤差就比較小。0Adet用用Gauss消去法解線性代數(shù)方程組時(shí)，為了能求到消去法解線性代數(shù)方程組時(shí)，為了能求到最后的解（盡管已經(jīng)具備了最后的解（盡管已經(jīng)具備了 的條件），并的條件），并使解盡可能的精確，應(yīng)使解盡可能的精確，應(yīng)注意注意如下兩點(diǎn)：如下兩點(diǎn)：n對(duì)照上節(jié)中差分格式，不難看到，由有限差分法對(duì)照上節(jié)中差分格式，不難看到，由有限差分法得到的系數(shù)矩陣是能夠滿足以上兩個(gè)條件的。因得到的系數(shù)矩陣是能夠滿足以上兩個(gè)條件的。因?yàn)槊總€(gè)節(jié)點(diǎn)方程（第為每個(gè)節(jié)點(diǎn)方程（第i個(gè)方程）都代表著一個(gè)單個(gè)方程）都代表著一個(gè)單元（第元（第i個(gè)單元）

20、與周圍單元或外界環(huán)境的熱量個(gè)單元）與周圍單元或外界環(huán)境的熱量交換關(guān)系。在這些熱量交換中，無疑都與該單元交換關(guān)系。在這些熱量交換中，無疑都與該單元的溫度的溫度(Ti)有關(guān)，有關(guān)，Ti 的系數(shù)的系數(shù)aii 當(dāng)然不能為零。當(dāng)然不能為零。 n而且在第而且在第i個(gè)方程中，個(gè)方程中，Ti 的地位比其周圍單的地位比其周圍單元溫度更為突出，表現(xiàn)在系數(shù)上，它的絕元溫度更為突出，表現(xiàn)在系數(shù)上，它的絕對(duì)值總是最大的。對(duì)于給定溫度的節(jié)點(diǎn)方對(duì)值總是最大的。對(duì)于給定溫度的節(jié)點(diǎn)方程而言，這種性質(zhì)更明顯。因?yàn)榉匠讨谐潭?，這種性質(zhì)更明顯。因?yàn)榉匠讨谐嗽摴?jié)點(diǎn)溫度以外再也沒有別的節(jié)點(diǎn)溫度，了該節(jié)點(diǎn)溫度以外再也沒有別的節(jié)點(diǎn)溫度

21、，它的系數(shù)當(dāng)然也就最大了。它的系數(shù)當(dāng)然也就最大了。n綜上所述，由于對(duì)穩(wěn)定導(dǎo)熱問題用有限綜上所述，由于對(duì)穩(wěn)定導(dǎo)熱問題用有限差分法得到的代數(shù)方程具有上述性質(zhì)，差分法得到的代數(shù)方程具有上述性質(zhì)，因此在求解方程組時(shí)，可大膽放心使用因此在求解方程組時(shí)，可大膽放心使用Gauss消去法。（對(duì)于更一般的方程組，消去法。（對(duì)于更一般的方程組，目前更多采用主元素消去法，而不用目前更多采用主元素消去法，而不用Gauss消去法。）消去法。）4 迭代法迭代法n前面介紹的解線性代數(shù)方程組的直接法對(duì)于前面介紹的解線性代數(shù)方程組的直接法對(duì)于階數(shù)不是很高的問題是非常有效的，這種場(chǎng)階數(shù)不是很高的問題是非常有效的，這種場(chǎng)合一般不使

22、用下面介紹的迭代法。合一般不使用下面介紹的迭代法。n 對(duì)于高階稀疏矩陣，盡管提出了很多特殊的直對(duì)于高階稀疏矩陣，盡管提出了很多特殊的直接法來處理它們，在運(yùn)算量和存儲(chǔ)量的節(jié)省接法來處理它們，在運(yùn)算量和存儲(chǔ)量的節(jié)省 方面也取得了很大的進(jìn)展，但仍然難于克服存方面也取得了很大的進(jìn)展，但仍然難于克服存 儲(chǔ)需要量大的缺點(diǎn)，特別在不具備大型計(jì)算機(jī)儲(chǔ)需要量大的缺點(diǎn)，特別在不具備大型計(jì)算機(jī) 的條件下，采用下面介紹的的條件下，采用下面介紹的迭代法迭代法更為合適。更為合適。 n迭代法的優(yōu)點(diǎn)：迭代法的優(yōu)點(diǎn)：由于不需要存儲(chǔ)系數(shù)矩由于不需要存儲(chǔ)系數(shù)矩陣的零元素，所以占用的存儲(chǔ)單元少。陣的零元素，所以占用的存儲(chǔ)單元少。同時(shí)

23、程序也比較簡(jiǎn)單，對(duì)于穩(wěn)定導(dǎo)熱用同時(shí)程序也比較簡(jiǎn)單，對(duì)于穩(wěn)定導(dǎo)熱用有限差分法所得到的方程組，求解收斂有限差分法所得到的方程組，求解收斂較快，因此廣泛地被采用。較快，因此廣泛地被采用。n 迭代法的缺點(diǎn)是：迭代法的缺點(diǎn)是：它所得到的是一種近似解，它所得到的是一種近似解， 在運(yùn)算過程中需要進(jìn)行多次迭代才能達(dá)到收斂在運(yùn)算過程中需要進(jìn)行多次迭代才能達(dá)到收斂 指標(biāo)的要求，而迭代次數(shù)事先是不知道的，指標(biāo)的要求，而迭代次數(shù)事先是不知道的， 這樣，往往要耗費(fèi)較多的時(shí)間。因此，這樣，往往要耗費(fèi)較多的時(shí)間。因此， 一般地講，直接法與迭代法各有優(yōu)缺點(diǎn)。一般地講，直接法與迭代法各有優(yōu)缺點(diǎn)。 n迭代法所要討論的問題，仍是如

24、下線性代數(shù)方程組：迭代法所要討論的問題，仍是如下線性代數(shù)方程組：11 112 21121 122 222.1 12 2a Ta Ta Tbn na TaTaTbn na TaTaTbnnnn nn(3.14) 簡(jiǎn)寫成：簡(jiǎn)寫成：nibTaijijnj, 2, 11(3.15) n迭代法的迭代法的基本思想基本思想: 構(gòu)造一個(gè)由構(gòu)造一個(gè)由 組成的向量序列，使其收斂于某個(gè)極限向量組成的向量序列，使其收斂于某個(gè)極限向量 ，并且，并且 就是方程組就是方程組(3.14)的精確解。的精確解。n21TTT,*2*1,nTTT*2*1,nTTT根據(jù)構(gòu)造向量序列的方法不同，常用的有簡(jiǎn)單根據(jù)構(gòu)造向量序列的方法不同，常

25、用的有簡(jiǎn)單迭代法，迭代法，GaussSeidel迭代法迭代法與與超松弛迭代法超松弛迭代法，下面分別予以介紹。下面分別予以介紹。n1簡(jiǎn)單迭代法簡(jiǎn)單迭代法 最簡(jiǎn)單的迭代法稱為簡(jiǎn)單迭代法，也稱同步迭代最簡(jiǎn)單的迭代法稱為簡(jiǎn)單迭代法，也稱同步迭代法，法，Jakobi迭代法。迭代的最終目的是求解方程迭代法。迭代的最終目的是求解方程組組(3.14)中的中的 。 n21TTT,niaii, 2, 1, 0前面已經(jīng)說到，用有限差分法（包括有限元法）前面已經(jīng)說到，用有限差分法（包括有限元法）得到的代數(shù)方程組能保證系數(shù)矩陣得到的代數(shù)方程組能保證系數(shù)矩陣A對(duì)角線上對(duì)角線上元素不為零，即元素不為零，即 n則可將式則可將

26、式(3.14)改寫成：改寫成： )()()(11111232312121222121211111nnnnnnnnnnnTaTabaTTaTaTabaTTaTabaT(3.16) 其中任一方程均可寫成：其中任一方程均可寫成：niTabaTjijnijjiiii, 2, 1)(11(3.17) (1). 任意給定各節(jié)點(diǎn)上的溫度值任意給定各節(jié)點(diǎn)上的溫度值 作為解的第零次近似，把它們代入式作為解的第零次近似，把它們代入式(3.17)的的 右端，由此算得右端，由此算得), 2, 1()0(niTiniTabaTjijnijjiiii, 2, 1)()0(11) 1 (計(jì)算步驟：計(jì)算步驟：(2). 作為解

27、的第一次近似，把第一次近似得到的解作為解的第一次近似，把第一次近似得到的解 再代入式再代入式(3.17)的右端，得到解的第二次近似。的右端，得到解的第二次近似。 一般地講，在已得到解的第一般地講，在已得到解的第k次近似次近似 后，代后，代 入式入式(3.17)右端，得右端，得)(kiTniTabaTkjijnijjiiiki, 2, 1)()(11) 1( 為解的第為解的第k+1次的似。這樣得到的序列次的似。這樣得到的序列 為方程組的近為方程組的近似解。只要方程組似解。只要方程組(2.43)存在唯一解，則不存在唯一解，則不論零次近似如何選取，當(dāng)論零次近似如何選取，當(dāng) 時(shí)，此序時(shí)，此序列列 必然

28、收斂，且收斂于方程組的必然收斂，且收斂于方程組的解解 。實(shí)際計(jì)算中。實(shí)際計(jì)算中k不可能取不可能取 ，但可以說，當(dāng)?shù)梢哉f，當(dāng)k充分大時(shí)，序列充分大時(shí)，序列 已足夠精確地接近方程組的。已足夠精確地接近方程組的。 ),(,)()()(210kTTTknk2k1kn21TTT,*2*1,nTTTn21TTT,n通常，對(duì)充分大的通常，對(duì)充分大的k，其相鄰兩次迭代解，其相鄰兩次迭代解 之間的偏差小于預(yù)先給定的適當(dāng)小量之間的偏差小于預(yù)先給定的適當(dāng)小量 ，即滿足即滿足),(,)()(n21kTTk21k1niTTkiki, 2, 1|)() 1(就結(jié)束迭代過程，而取就結(jié)束迭代過程，而取 作為方程組作為方程組

29、(3.17)的近似解。的近似解。 ), 2, 1()(niTkin2Gauss Seidel 迭代法迭代法 簡(jiǎn)單迭代法雖然計(jì)算程序簡(jiǎn)單，但它計(jì)算每一個(gè)簡(jiǎn)單迭代法雖然計(jì)算程序簡(jiǎn)單，但它計(jì)算每一個(gè) 都要用到全部都要用到全部 的值，因此在計(jì)的值，因此在計(jì)算機(jī)上，必須有兩套工作單元來存放全部節(jié)點(diǎn)的算機(jī)上，必須有兩套工作單元來存放全部節(jié)點(diǎn)的舊值和新值。為了節(jié)省工作單元，并加快迭代收舊值和新值。為了節(jié)省工作單元，并加快迭代收斂速度，對(duì)上述計(jì)算作如下修改。斂速度，對(duì)上述計(jì)算作如下修改。), 2, 1() 1(niTki)(kiTn方程組方程組(3.16)中的第一式仍寫成中的第一式仍寫成)()(1)(2121

30、111) 1(1knnkkTaTabaT或或)()(121111) 1(1kjjnjkTabaT方程組方程組(3.16)中第二式，其中中第二式，其中 換成第一次換成第一次算得算得 ，)(1kT) 1(1kT)()(23) 1(1212122) 1(2kjjnjkkTaTabaT(3.18) 即即 n按此規(guī)律，可得到的一般關(guān)系式：按此規(guī)律，可得到的一般關(guān)系式： )()(1) 1(111) 1(kjijnijkjijijiiikiTaTabaT(3.19) 這種計(jì)算方法稱為這種計(jì)算方法稱為Gauss-Seidel 迭代法，也迭代法，也稱為異步迭代法。用稱為異步迭代法。用Gauss-Seidel迭代

31、法時(shí)，迭代法時(shí)，必須將節(jié)點(diǎn)或單元按順序排列，并按順序逐個(gè)必須將節(jié)點(diǎn)或單元按順序排列，并按順序逐個(gè)進(jìn)行迭代。進(jìn)行迭代。n由式由式(3.19)即可看到，用即可看到，用Gauss-Seidel迭代法進(jìn)行迭代求解時(shí)，只需用一套工作迭代法進(jìn)行迭代求解時(shí)，只需用一套工作單元存放近似值單元存放近似值 或或 ，這樣節(jié)省，這樣節(jié)省了工作單元。同時(shí)在迭代過程中，有一半了工作單元。同時(shí)在迭代過程中，有一半用迭代的新值，加速了收斂速度。因此，用迭代的新值，加速了收斂速度。因此，Gauss-Seidel迭代法是一種常用的方法。迭代法是一種常用的方法。)(kiT) 1( kiTn3超松弛迭代法超松弛迭代法 實(shí)際計(jì)算表明，當(dāng)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)