第二章單自由度體系的振動(dòng)

1、第二章單自由度體系的振動(dòng)Page 22 2. .1 1.1 .1 單自由度體系自由振動(dòng)單自由度體系自由振動(dòng)2 2. .1 1 單自由度體系的自由振動(dòng)單自由度體系的自由振動(dòng)2 2. .1 1.2 .2 單自由度體系自由振動(dòng)微分方程解答單自由度體系自由振動(dòng)微分方程解答2 2. .1 1.3 .3 結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率2 2. .1 1.4 .4 阻尼對自由振動(dòng)的影響阻尼對自由振動(dòng)的影響Page 32 2. .1 1.1 .1 單自由度體系自由振動(dòng)單自由度體系自由振動(dòng) 最典型的無阻尼自由振最典型的無阻尼自由振動(dòng)模型就是右圖所示的質(zhì)動(dòng)模型就是右圖所示的質(zhì)量彈簧振子體系，我們

2、知量彈簧振子體系，我們知道，它的運(yùn)動(dòng)方程為道，它的運(yùn)動(dòng)方程為 同除以同除以m,m,得得 令令0kyym 0ymky mk2Page 4C C1 1和和C C2 2由振動(dòng)的初始條件決定。由振動(dòng)的初始條件決定。我們之前已經(jīng)知道，質(zhì)量彈簧體系作周期振動(dòng)，我們稱之為我們之前已經(jīng)知道，質(zhì)量彈簧體系作周期振動(dòng)，我們稱之為簡諧振動(dòng)或諧和振動(dòng)。簡諧振動(dòng)或諧和振動(dòng)。 叫做自振周期。叫做自振周期。 ，叫做自振頻率。，叫做自振頻率。得微分方程得微分方程 它是二階線性齊次微分方程，其一般解為：它是二階線性齊次微分方程，其一般解為：02yy tCtCtycossin)(2121Tf,2TPage 5 下面我們討論建立自

3、由振動(dòng)微分方程的兩種方法：下面我們討論建立自由振動(dòng)微分方程的兩種方法：1 1、 剛度法剛度法：研究作用于被隔離的質(zhì)量上的：研究作用于被隔離的質(zhì)量上的力，建立力，建立動(dòng)力動(dòng)力平衡方程。平衡方程。m.yj.yd靜平衡位置質(zhì)量m在任一時(shí)刻的位移 y(t)=yj+ydk力學(xué)模型力學(xué)模型.ydmmWS(t)I(t)+重力重力 W彈性力彈性力 )()()(djyyktkytS恒與位移反向恒與位移反向慣性力慣性力)()()(djyymtymtI Wyykyymdjdj)()( (a)其中 kyj=W 及0jy 上式可以簡化為0ddkyym 或或).(.0bkyym 由平衡位置計(jì)量。以位移為未知量的平衡方程式

4、，引用了剛度系數(shù)，稱剛度法。由平衡位置計(jì)量。以位移為未知量的平衡方程式，引用了剛度系數(shù)，稱剛度法。Page 62 2、 柔度法柔度法：研究結(jié)構(gòu)上質(zhì)點(diǎn)的位移，建立位移協(xié)調(diào)方程。：研究結(jié)構(gòu)上質(zhì)點(diǎn)的位移，建立位移協(xié)調(diào)方程。.m靜平衡位置I(t).(.)()()(ctymtIty 0)( ytym k1可得與可得與 ( (b b) ) 相同的方程相同的方程剛度法常用于剛架類結(jié)構(gòu)，柔度法常用于梁式結(jié)構(gòu)。剛度法常用于剛架類結(jié)構(gòu)，柔度法常用于梁式結(jié)構(gòu)。2 2. .1 1.2 .2 單自由度體系自由振動(dòng)微分方程解答單自由度體系自由振動(dòng)微分方程解答).(.0bkyym 改寫為0ymky 02yy 其中mk2它是

5、二階線性齊次微分方程，其一般解為：它是二階線性齊次微分方程，其一般解為：tCtCtycossin)(21積分常數(shù)積分常數(shù)C1，C2由初始條件確定由初始條件確定Page 7m靜平衡位置靜平衡位置I(t).(cossin)(21dtCtCty設(shè)設(shè) t=0 時(shí)時(shí)vyyy)0()0(vCyC12.（d）式可以寫成式可以寫成).(.sincos)(etvtyty 由式可知，位移是由初位移由式可知，位移是由初位移y 引起的余弦運(yùn)動(dòng)和由初速度引起的余弦運(yùn)動(dòng)和由初速度v 引起的正弦引起的正弦運(yùn)動(dòng)的合成，為了便于研究合成運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)的合成，為了便于研究合成運(yùn)動(dòng), ,令令cos,sinAvAy(e)式改寫成式改寫成)

6、.(.).sin()(ftAty它表示合成運(yùn)動(dòng)仍是一個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)。其中它表示合成運(yùn)動(dòng)仍是一個(gè)簡諧運(yùn)動(dòng)。其中A和和 可由下式確定可由下式確定).(.122gvytgvyA振幅振幅相位角相位角Page 8).(.sincos)(etvtyty).(.).sin()(ftAtyy0ty-yTTTvvyt0yt0 A-AtycostvsintAsinPage 9 2 2. .1 1.3 .3 結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率結(jié)構(gòu)的自振周期和自振頻率由式由式)sin()(tAty及圖可見位移方程是一個(gè)周期函數(shù)。及圖可見位移方程是一個(gè)周期函數(shù)。Tyt0 A-A周期周期,2T頻率頻率21Tf圓圓頻率頻率Tf22計(jì)算頻

7、率和周期的幾種形式計(jì)算頻率和周期的幾種形式stgWgmmk1gkmTst22頻率頻率和周和周期的期的討論討論1.1.只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量與剛度有關(guān)，與外界干擾無關(guān)；只與結(jié)構(gòu)的質(zhì)量與剛度有關(guān)，與外界干擾無關(guān)；2.2.與與m的平方根成正比，與的平方根成正比，與k成反比，據(jù)此可改變周期；成反比，據(jù)此可改變周期；3.3.是結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的重要數(shù)量標(biāo)志。是結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性的重要數(shù)量標(biāo)志。Page 10例例1. 1. 計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的頻率和周期。計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的頻率和周期。mEI l /2 l /21EIl483348mlEIEImlT4823例例2.2.計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的水平和豎向振動(dòng)頻率。計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)的水平和豎向振動(dòng)頻率

8、。mlA,E,IHE,I1HHm1E,A1VVVm1IIEI1=mh1k26hEI26hEI26hEI26hEI例例2 2. .計(jì)算圖示剛架的頻率和周期。計(jì)算圖示剛架的頻率和周期。 312hEI312hEI由截面平衡由截面平衡324hEIk 324mhEImkEImhT223Page 11例例3 3. . 計(jì)算圖示體系的自振頻率。計(jì)算圖示體系的自振頻率。ABCDEI= l /2 l /2lmm 1mm312kBCk1m2m.A1.A2lk1I2I 解：單自由度體系，解：單自由度體系， 以以 表示位移參數(shù)的幅值表示位移參數(shù)的幅值, , 各質(zhì)點(diǎn)上所受的力為：各質(zhì)點(diǎn)上所受的力為：221211lmAm

9、IlmlmAmI222222212331建立力矩平衡方程建立力矩平衡方程0BM023221llklIlI0232122122llkllmllm化簡后得化簡后得km2mkPage 122 2. .1 1.4 .4 阻尼對自由振動(dòng)的影響阻尼對自由振動(dòng)的影響mky1) 不考慮阻尼aamky=0c2) 考慮阻尼阻尼是客觀存在的阻尼是客觀存在的 振幅隨時(shí)間減小，這表明在振動(dòng)過程中要產(chǎn)生能量的損耗，稱為阻尼阻尼。 （1 1）產(chǎn)生阻尼的原因產(chǎn)生阻尼的原因1)結(jié)構(gòu)與支承之間的外摩擦2)材料之間的內(nèi)摩擦3)周圍介質(zhì)的阻力 （2 2）阻尼力的確定）阻尼力的確定1)與質(zhì)點(diǎn)速度成正比2)與質(zhì)點(diǎn)速度平方成正比3)與質(zhì)點(diǎn)

10、速度無關(guān)粘滯阻尼粘滯阻尼( )R tcy Page 13取質(zhì)量取質(zhì)量m m為隔離體為隔離體建立動(dòng)平衡方程：建立動(dòng)平衡方程：y(t)mykymy kmccy 有阻尼模型有阻尼模型0ymkymcy 0kyycym 令mc2mk2及022yyy 特征方程特征方程0222),1(22, 1特征值特征值一般解一般解tteBeBty2121)(設(shè)解為：tBeyPage 14討論討論: :111 、小阻尼、臨界阻尼、過阻尼的自由振動(dòng)Page 15（1）低阻尼情形低阻尼情形 ( 1 )令 則此時(shí)，微分方程的解為 由初始條件 21r,122, 1i)sincos()(21tCtCetyrrt得得ryvCyC21

11、Page 16也可寫成也可寫成其中其中我們再根據(jù)以上解答，對低阻尼自由振動(dòng)做如下討論：我們再根據(jù)以上解答，對低阻尼自由振動(dòng)做如下討論：)sin)(tAetyrt(yvytgyvyArr122Page 171 1）是一種衰減振動(dòng)）是一種衰減振動(dòng)2 2）對自振頻率的影響）對自振頻率的影響 當(dāng)0.2時(shí),則 0.9798r/1.0在工程結(jié)構(gòu)問題中0.01)引起的動(dòng)力反應(yīng)微分沖量微分沖量01( )( )sin()ty tPtdm一般動(dòng)荷載的動(dòng)力反應(yīng)一般動(dòng)荷載的動(dòng)力反應(yīng): :杜哈梅積分杜哈梅積分初始位移初始位移 y0 和初和初 始速度始速度 v0 為零為零Page 28（1 1）突加荷載突加荷載 P(t)

12、tPo001( )sin()ty tPtdm02(1cos)(1cos)stPtytmyst質(zhì)點(diǎn)圍繞靜力平衡質(zhì)點(diǎn)圍繞靜力平衡 位置作簡諧振動(dòng)位置作簡諧振動(dòng)ystyst舉例說明舉例說明000( ) 0tP tPt01( )( )sin()ty tPtdm下面討論兩種動(dòng)荷載作用時(shí)的動(dòng)力反應(yīng)：下面討論兩種動(dòng)荷載作用時(shí)的動(dòng)力反應(yīng)：max ( )2sty ty動(dòng)力系數(shù)：動(dòng)力系數(shù)：Page 29 （2 2）線性漸增荷載線性漸增荷載 00 0( ) rrrPttttP tPtt 當(dāng)當(dāng)P(t)tP0trsin()( )11sinsin()strrstrrryttttty tytttttt當(dāng)當(dāng) 對于這種線性漸增

13、荷載，其動(dòng)力反應(yīng)與升載時(shí)間對于這種線性漸增荷載，其動(dòng)力反應(yīng)與升載時(shí)間tr的長的長短有很大的關(guān)系。短有很大的關(guān)系。Page 3000 0( ) rrrPttttP tPtt 當(dāng)當(dāng)P(t)tP0tr01.02.03.04.0rtT1.41.21.01.61.82.0動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜( (T,tr ) )討論：討論：與與tr的關(guān)系的關(guān)系Page 312.22.2.4 .4 阻尼對受簡諧荷載強(qiáng)迫振動(dòng)的影響阻尼對受簡諧荷載強(qiáng)迫振動(dòng)的影響計(jì)算簡圖: 建立平衡方程： ( )mycykyP t簡諧荷載：22sinFyyytm( )sinP tFt方程的解： 齊次解（ ）特解（ ）rsin()yat

14、振幅：2222221(1)4stayy(t)kmym隔離體隔離體( )P t( )P tmy kycy 設(shè)特解：2222221(1)4stay動(dòng)力系數(shù)：1222tan(1)相位角：Page 324.03.02.01.001.02.03.0=0=0.2=0.3=0.5=1.0動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜動(dòng)力系數(shù)反應(yīng)譜( , )1 1）當(dāng)）當(dāng) 或或 時(shí)，可時(shí)，可 以不考慮阻尼的影響以不考慮阻尼的影響111靜荷載靜荷載0位移為位移為0 02 2）當(dāng)）當(dāng) 時(shí)，阻尼作用明顯時(shí)，阻尼作用明顯1112共振：共振：max10.751.3共振區(qū)共振區(qū)Page 332.22.2.5 .5 有阻尼時(shí)的杜哈梅積分有阻尼時(shí)的杜哈梅積分000cossintrrryyeytt0sintrryet由沖量 引起的振動(dòng)位移：0SmsintrrSyetm時(shí)刻的微分沖量對t 瞬時(shí)(t)引起的動(dòng)