相似三角形習(xí)題精講及答案

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上相似三角形習(xí)題精講及答案 相似三角形是初中幾何的重要內(nèi)容，包括相似三角形的性質(zhì)、判定定理及其應(yīng)用，是中考必考內(nèi)容，以相似三角形為背景的綜合題是常見(jiàn)的熱點(diǎn)題型，所以掌握好相似三角形的基礎(chǔ)知識(shí)至關(guān)重要，本講就如何判定三角形相似，以及應(yīng)用相似三角形的判定、性質(zhì)來(lái)解決與比例線段有關(guān)的計(jì)算和證明的問(wèn)題進(jìn)行探索。一、如何證明三角形相似例1、如圖：點(diǎn)G在平行四邊形ABCD的邊DC的延長(zhǎng)線上,AG交BC、BD于點(diǎn)E、F，則AGD 。分析：關(guān)鍵在找“角相等”，除已知條件中已明確給出的以外，還應(yīng)結(jié)合具體的圖形，利用公共角、對(duì)頂角及由平行線產(chǎn)生的一系列相等的角。本例除公共角G外,由BCAD

2、可得1=2，所以AGDEGC。再1=2（對(duì)頂角），由ABDG可得4=G，所以EGCEAB。評(píng)注：（1）證明三角形相似的首選方法是“兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似”。（2）找到兩個(gè)三角形中有兩對(duì)角對(duì)應(yīng)相等，便可按對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的順序準(zhǔn)確地把這一對(duì)相似三角形記下來(lái)。例2、已知ABC中，AB=AC，A=36°，BD是角平分線，求證：ABCBCD 分析：證明相似三角形應(yīng)先找相等的角，顯然C是公共角，而另一組相等的角則可以通過(guò)計(jì)算來(lái)求得。借助于計(jì)算也是一種常用的方法。證明：A=36°，ABC是等腰三角形，ABC=C=72°又BD平分ABC，則DBC=36°在ABC和BC

3、D中，C為公共角，A=DBC=36°ABCBCD例3：已知，如圖，D為ABC內(nèi)一點(diǎn)連結(jié)ED、AD，以BC為邊在ABC外作CBE=ABD，BCE=BAD求證：DBEABC分析： 由已知條件ABD=CBE，DBC公用。所以DBE=ABC，要證的DBE和ABC，有一對(duì)角相等，要證兩個(gè)三角形相似，或者再找一對(duì)角相等，或者找?jiàn)A這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。從已知條件中可看到CBEABD，這樣既有相等的角，又有成比例的線段，問(wèn)題就可以得到解決。證明：在CBE和ABD中，CBE=ABD, BCE=BADCBEABD=即：=在DBE和ABC中CBE=ABD, DBC公用CBE+DBC=ABD+DBCDBE

4、=ABC且=DBEABC例4、矩形ABCD中，BC=3AB，E、F，是BC邊的三等分點(diǎn)，連結(jié)AE、AF、AC，問(wèn)圖中是否存在非全等的相似三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論。分析：本題要找出相似三角形，那么如何尋找相似三角形呢？下面我們來(lái)看一看相似三角形的幾種基本圖形：（1） 如圖：稱為“平行線型”的相似三角形(2)如圖：其中1=2，則ADEABC稱為“相交線型”的相似三角形。(3)如圖：1=2，B=D，則ADEABC，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。觀察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是“相交線型”的相似三角形，及EAF與ECA解：設(shè)AB=a，則BE=EF=FC=3a，由勾股定理可求得AE=， 在EAF與

5、ECA中，AEF為公共角，且所以EAFECA（兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似）注：以上兩例中都用了相似三角形的判定定理2，該定理的靈活應(yīng)用是教學(xué)上的難點(diǎn)所在，應(yīng)注重加強(qiáng)訓(xùn)練。二、如何應(yīng)用相似三角形證明比例式和乘積式例1、ABC中，在AC上截取AD，在CB延長(zhǎng)線上截取BE，使AD=BE，求證：DFAC=BCFE分析：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及DF：FE=BC：AC，再利用相似三角形或平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明：證明：過(guò)D點(diǎn)作DKAB，交BC于K，DKAB，DF：FE=BK：BE又AD=BE，DF：FE=BK：AD，而B(niǎo)K：AD=BC：AC即DF：FE= BC：AC，DFAC=BC

6、FE例2：已知：如圖，在ABC中，BAC=900，M是BC的中點(diǎn)，DMBC于點(diǎn)E，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D。求證：（1）MA2=MDME；（2）證明：（1）BAC=900，M是BC的中點(diǎn)，MA=MC，1=C，DMBC，C=D=900-B，1=D，2=2，MAEMDA，MA2=MDME，（2）MAEMDA，評(píng)注：（1）通過(guò)一對(duì)相似三角形來(lái)證明比例線段，是證比例線段的一種基本方法。本例第（1）小題證明MA2=MDME，經(jīng)?？梢园哑渲械腗A看作一對(duì)相似三角形的公共邊，再去尋覓與確定需證相似的三角形。（2）本例的關(guān)鍵是證明MAEMDA，這種具有特殊關(guān)系（有一個(gè)公共角和一條公共邊）的三角形的相似，在解題中應(yīng)

7、用很多，應(yīng)從下面兩個(gè)方面深刻理解：命題1 如圖，如果1=2，那么ABDACB，AB2=ADAC。命題2 如圖，如果AB2=ADAC，那么ABDACB，1=2。例3：如圖ABC中，AD為中線，CF為任一直線，CF交AD于E，交AB于F，求證：AE：ED=2AF：FB。分析：圖中沒(méi)有現(xiàn)成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線構(gòu)造相似形。怎樣作？觀察要證明的結(jié)論，緊緊扣住結(jié)論中“AE：ED”的特征，作DGBA交CF于G，得AEFDEG，。與結(jié)論相比較，顯然問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證。證明：過(guò)D點(diǎn)作DGAB交FC于G則AEFDEG。（平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線所得三角形與原三角

8、形相似） （1）D為BC的中點(diǎn)，且DGBFG為FC的中點(diǎn)則DG為CBF的中位線， （2）將（2）代入（1）得：評(píng)注：（1）為了得到比例式，通常用過(guò)一點(diǎn)作某一直線的平行線的方法，在作平行線時(shí)必須注意緊扣與結(jié)論有關(guān)的線段。（2）在探索證題思路的過(guò)程中，我們可以采取“做做比比，比比做做”的方法，即構(gòu)造相似形，寫(xiě)出比例式時(shí)要始終注意待證結(jié)論中的有關(guān)線段，并及時(shí)與待證結(jié)論中的有關(guān)線段進(jìn)行比較，以便確定下一步需要解決什么問(wèn)題。三、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例1：已知：如圖E、F分別是正方形ABCD的邊AB和AD上的點(diǎn)，且。求證：AEF=FBD分析：要證角相等，一般來(lái)說(shuō)可通過(guò)全等三角

9、形、相似三角形，等邊對(duì)等角等方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，本題要證的兩個(gè)角分別在兩個(gè)三角形中，可考慮用相似三角形來(lái)證，但要證的兩個(gè)角所在的三角形顯然不可能相似（一個(gè)在直角三角形中，另一個(gè)在斜三角形中），所以證明本題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，證明：作FGBD，垂足為G。設(shè)AB=AD=3k則BE=AF=k，AE=DF=2k，BD=ADB=450，F(xiàn)GD=900DFG=450DG=FG=BG=又A=FGB=900AEFGBF AEF=FBD評(píng)注：本例是通過(guò)構(gòu)造一對(duì)相似三角形，而證明兩個(gè)角相等，而證明兩個(gè)三角形相似又運(yùn)用了代數(shù)法，設(shè)參數(shù)，計(jì)算邊長(zhǎng)，從而證明兩個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例。運(yùn)用代數(shù)法解幾何題一般在遇到正方形和正三

10、角形的條件時(shí)效果很好，同學(xué)們可以試試看。例2、在平行四邊形ABCD內(nèi)，AR、BR、CP、DP各為四角的平分線， 求證：SQAB，RPBC分析：要證明兩線平行較多采用平行線的判定定理，但本例不具備這樣的條件，故可考慮用比例線段去證明。利用比例線段證明平行線最關(guān)鍵的一點(diǎn)就是要明確目標(biāo)，選擇適當(dāng)?shù)谋壤€段。要證明SQAB，只需證明AR：AS=BR：DS。 證明：在ADS和ARB中。 DAR=RAB=DAB，DCP=PCB=ABCADSABR 但ADSCBQ，DS=BQ，則，SQAB，同理可證，RPBC例3、已知A、C、E和B、F、D分別是O的兩邊上的點(diǎn)，且ABED，BCFE，求證：AFCD分析：要證

11、明AFCD，已知條件中有平行的條件，因而有好多的比例線段可供利用，這就要進(jìn)行正確的選擇。其實(shí)要證明AFCD，只要證明即可，因此只要找出與這四條線段相關(guān)的比例式再稍加處理即可成功。證明：ABED，BCFE， 兩式相乘可得： 例4、直角三角形ABC中，ACB=90°，BCDE是正方形，AE交BC于F，F(xiàn)GAC交AB于G，求證：FC=FG 分析：要證明FC=FG，從圖中可以看出它們所在的三角形顯然不全等，但存在較多的平行線的條件，因而可用比例線段來(lái)證明。要證明FC=FG，首先要找出與FC、FG相關(guān)的比例線段，圖中與FC、FG相關(guān)的比例式較多，則應(yīng)選擇與FC、FG都有聯(lián)系的比作為過(guò)渡，最終必須得到（“？”代表相同的線段或相等的線段），便可完成證明。 證明： FGACBE，ABEAGF 則有而FCDE AEDAFC則有 又BE=DE（正方形的邊長(zhǎng)相等），即GF=CF。例5、RtABC銳角C的平分線交AB于E，交斜邊上的高AD于O，過(guò)O引BC的平行線交AB于F，求證：AE=BF證明：CO平分C，2=3，故RtCAERtCDO，又OFBC，又RtABDRtCAD，即AE=BF。評(píng)注：應(yīng)用比例線段證明兩直線平行或兩線