高一上學(xué)期函數(shù)的單調(diào)性-奇偶性及周期性知識點和題型

1、（一）函數(shù)的單調(diào)性知識梳理1函數(shù)單調(diào)性定義：對于給定區(qū)間D上的函數(shù)f(x)，若對于任意x,xD,當(dāng)x<x時，都有f(x) <f(x)，則稱f(x)是區(qū)間D上的增函數(shù)，D叫f(x)單調(diào)遞增區(qū)間當(dāng)x<x時，都有f(x)> f(x)，則稱f(x)是區(qū)間D上的減函數(shù)，D叫f(x)單調(diào)遞減區(qū)間2函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：（1） 從直觀上看，函數(shù)圖象從左向右看，在某個區(qū)間上，圖象是上升的，則此函數(shù)是增函數(shù)，若圖象是下降的，則此函數(shù)是減函數(shù)。（2） 一般地，設(shè)函數(shù)的定義域為如果對于屬于定義域內(nèi)某個區(qū)間上的任意兩個自變量的值，且，則（1）在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）在區(qū)間上是減函數(shù)如果函數(shù)在某

2、個區(qū)間上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）的單調(diào)性，這一區(qū)間叫做的單調(diào)區(qū)間單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子區(qū)間，因此函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì)，應(yīng)以定義域為前提；必須指明在某個區(qū)間上函數(shù)是增函數(shù)或減函數(shù)（3）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷方法：設(shè)若內(nèi)外兩函數(shù)的單調(diào)性相同，則在x的區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞增，若內(nèi)外兩函數(shù)的單調(diào)性相反時，則在x的區(qū)間D內(nèi)單調(diào)遞減（同增異減）3常見結(jié)論若f(x)為減函數(shù)，則-f(x)為增函數(shù) ； 若f(x)>0（或<0）且為增函數(shù)，則函數(shù)在其定義域內(nèi)為減函數(shù)【題型一、單調(diào)性的判斷】例、寫出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（1） （2）， （3） 如圖是定義在區(qū)間5，5上的函數(shù)y

3、=f(x)，根據(jù)圖象說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上， 它是增函數(shù)還是減函數(shù)？【題型二、用定義法證明單調(diào)性】例、定義法證明函數(shù)y=2x+3在的單調(diào)性.例、判斷函數(shù)f（x）在（0,1）上的單調(diào)性【變式訓(xùn)練1】證明函數(shù)在上是增函數(shù)【方法技巧】根據(jù)函數(shù)的定義法來進行判別，記好步驟?！绢}型三、單調(diào)性的運用】例、已知在R上是增函數(shù),則k的取值范圍 例、函數(shù)在上是減函數(shù),則求a的取值范圍 【變式訓(xùn)練2】已知函數(shù)上是單調(diào)函數(shù)，的取值范圍是 【變式訓(xùn)練3】函數(shù)f（x）是R上的減函數(shù),求f（a2a1）與f（）的大小關(guān)系 【題型四、抽象函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用】例、已知y=f(x)是定義在（-2，2）上的增函

4、數(shù)，若f(m-1)f(1-2m)，則m的取值范圍是 例、設(shè)f（x）定義在R+上，對于任意a、bR+，有f（ab）f（a）f（b）求證：（1）f（1）0；（2）f（ ）f（x）；（3）若x（1，+）時，f（x）0，則f（x）在（1，+）上是減函數(shù)【題型五、復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性】例、求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間。求f(x)=的單調(diào)區(qū)間課后作業(yè)：一、選擇題1、函數(shù)f(x)|x|和g(x)x(2x)的遞增區(qū)間依次是() A(，0，(，1 B(，0，1，) C0，)，(，1 D0，)，1，)2、當(dāng) 時，函數(shù) 的值有正也有負(fù)，則實數(shù)a的取值范圍是（   ）A   B   C &

5、#160; D 3、若函數(shù)在區(qū)間（a，b）上為增函數(shù)，在區(qū)間（b，c）上也是增函數(shù)，則函數(shù) 在區(qū)間（a，c）上（ ） A. 必是增函數(shù) B. 必是減函數(shù) C. 是增函數(shù)或是減函數(shù) D. 無法確定增減性二、填空題4、函數(shù) ,當(dāng) 時,是增函數(shù),當(dāng) 時是減函數(shù),則f(1)=_5、已知 在定義域內(nèi)是減函數(shù)，且 ，在其定義域內(nèi)判斷下列函數(shù)的單調(diào)性： ( 為常數(shù))是_； ( 為常數(shù))是_； 是_； 是_6、函數(shù)f(x) = ax24(a1)x3在2，上遞減，則a的取值范圍是_ 7、若函數(shù)f(x)則f(x)的遞減區(qū)間是_三、解答題8、討論函數(shù)在(-2,2)內(nèi)的單調(diào)性。9、設(shè)f(x)是定義在(0,+）上的增函

6、數(shù)，f(2)=1 ，且 f(xy)=f(x)+f(y)，求滿足不等式f(x)+f(x-3)2 的x的取值范圍.（二）函數(shù)的奇偶性知識梳理1、函數(shù)奇偶性定義：1、 一般地，如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么就稱函數(shù)為偶函數(shù).偶函數(shù)圖象關(guān)于軸對稱.2、 一般地，如果對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個，都有，那么就稱函數(shù)為奇函數(shù).奇函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱.如果函數(shù)f(x)不具有上述性質(zhì)，則f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；如果函數(shù)同時具有上述兩條性質(zhì)，則f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)2、函數(shù)奇偶性的判定方法：定義法、圖像法（1）利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟：首先確定函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱；確

7、定f(x)與f(x)的關(guān)系；作出相應(yīng)結(jié)論：若f(x) = f(x) 或 f(x)f(x) = 0，則f(x)是偶函數(shù)；若f(x) =f(x) 或 f(x)f(x) = 0或f(x)=-f(-x)，則f(x)是奇函數(shù)（2）函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)稱為函數(shù)的奇偶性，函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)；由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個必要條件是，定義域關(guān)于原點對稱（3）利用圖像判斷函數(shù)奇偶性的方法：圖像關(guān)于原點對稱的函數(shù)為奇函數(shù)，圖像關(guān)于y軸對稱的函數(shù)為偶函數(shù)3、函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：奇函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相同的單調(diào)性；偶函數(shù)在對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)有相反的單調(diào)性4、（1）奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原

8、點對稱。若是定義域中的一個數(shù)值，則也必然在定義域中，因此，函數(shù)是奇函數(shù)或是偶函數(shù)的一個必不可少的條件是定義域關(guān)于原點對稱。換言之，所給函數(shù)的定義域若不關(guān)于原點對稱，則這個函數(shù)必不具奇偶性。（2）若奇函數(shù)在處有定義，則。（3）為偶函數(shù)，為奇函數(shù)。（4）函數(shù)的奇偶性是相對于整個定義域來說的，而單調(diào)性是相對于定義域內(nèi)某個區(qū)間而言的，是局部性質(zhì)?！绢}型一、有關(guān)函數(shù)奇偶性的判斷或證明的問題】例、判斷下列函數(shù)的奇偶性。 , , 【方法技巧】判斷函數(shù)的奇偶性，第一步是要先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱，如果不對稱，就是非奇非偶函數(shù)，如果對稱，接下去再去找f(x)與f(-x)之間的關(guān)系，牢記好，在定義域內(nèi)f

9、(x)=f(-x)則為偶函數(shù)，f(-x)=-f(x)則為奇函數(shù)。【變式訓(xùn)練4】函數(shù)是( )A奇函數(shù)B偶函數(shù)C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)【變式訓(xùn)練5】若函數(shù)是偶函數(shù)，則有 ( )A. B. C. D. 【變式訓(xùn)練6】設(shè)函數(shù)，且則等于（ ）A.-3 B.3 C.-5 D. 5【題型二、應(yīng)用函數(shù)奇偶性求值、求解析式】例、（1）已知偶函數(shù)的定義域是，當(dāng)時，求的解析式.（2）已知奇函數(shù)的定義域是R，當(dāng)時，求的解析式.【變式訓(xùn)練7】已知是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，求的解析式?！绢}型三、抽象函數(shù)的奇偶性的判斷】例、設(shè)函數(shù)f(x)，g(x)的定義域為R，且f(x)是奇函數(shù)，g(x)是偶

10、函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是() Af(x)g(x)是偶函數(shù) B|f(x)|g(x)是奇函數(shù) Cf(x)|g(x)|是奇函數(shù) D|f(x)g(x)|是奇函數(shù)【變式訓(xùn)練8】設(shè)是定義在上的一個函數(shù)，則函數(shù)，在上一定是( )A奇函數(shù) B偶函數(shù) C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D非奇非偶函數(shù).【題型四、有關(guān)函數(shù)奇偶性的綜合問題】 例、設(shè)奇函數(shù)在上為增函數(shù)，且，則不等式的解集為 （ ）A、 B、 C、 D、例、已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，則 ，例、設(shè)函數(shù)對任意，都有，求證是奇函數(shù)； 【變式訓(xùn)練9】設(shè)f(x)=ax5+bx3+cx5(a,b,c是常數(shù))且,則f（7）= 若y（m1）x22mx3是偶函數(shù)，則m _ 已

11、知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)求實數(shù)m的值； (三)函數(shù)的周期性1周期函數(shù)對于函數(shù)yf(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(xT)f(x)，那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期2最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期例、設(shè)是上的奇函數(shù)，當(dāng)時，求的值。例、已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x4)f(x)，且在區(qū)間0,2上是增函數(shù)，則 ()Af(25)<f(11)<f(80)Bf(80)<f(11)<f(25)Cf(11)<f(80)<f(25)Df

12、(25)<f(80)<f(11)【變式訓(xùn)練】設(shè)f(x)是(，)上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當(dāng)0x1時，f(x)x.(1)求f()的值；(2)當(dāng)4x4時，求f(x)的圖象與x軸所圍成圖形的面積；(3)寫出(，)內(nèi)函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間課后作業(yè)1函數(shù)f(x)=4x2mx5在區(qū)間2，上是增函數(shù)，在區(qū)間(，2)上是減函數(shù)，則f(1)等于（ ）A7 B1C17D252已知函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上單調(diào)，且f(a)f(b)0，則方程f(x)=0在區(qū)間a，b內(nèi)（ ）A至少有一實根 B至多有一實根 C沒有實根 D必有唯一的實根3已知函數(shù)f(x)=82xx2，如果g(x)=f( 2x2 )，那么

13、函數(shù)g(x)（ ） A在區(qū)間(1，0)上是減函數(shù) B在區(qū)間(0，1)上是減函數(shù) C在區(qū)間(2，0)上是增函數(shù) D在區(qū)間(0，2)上是增函數(shù)4. 若函數(shù)是奇函數(shù)，則下列坐標(biāo)表示的點一定在函數(shù)圖象上的是（ ） A B C D 5 下列函數(shù)中為偶函數(shù)的是（ ） A B C D 6. 已知函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為（ ） A B C D7. 設(shè)偶函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，是增函數(shù)，則 ，的大小關(guān)系是 （ ）A B C D 8若函數(shù)是奇函數(shù)，則的值為_ . 9已知分段函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時的解析式為，則這個函數(shù)在區(qū)間上的解析式為 10. 判斷下列函數(shù)是否具有奇偶性： (1)； (2) ；(3) ； (4) ； (5) .11. 已