高一數(shù)學(xué)寒假課程第2講-函數(shù)的解析式、定義域和值域

1、第二講 函數(shù)的解析式、定義域和值域一、知識(shí)梳理1函數(shù)的概念設(shè)集合A是一個(gè)非空的數(shù)集，對(duì)A中的任意數(shù)，按照確定的法則，都有唯一確定的數(shù)與它對(duì)應(yīng)，則這種對(duì)應(yīng)關(guān)系叫做集合A上的一個(gè)函數(shù)記作 ，函數(shù)的本質(zhì)含義是定義域內(nèi)任一值，必須有且僅有惟一的值與之對(duì)應(yīng)函數(shù)的定義域與值域：函數(shù)的定義中，自變量取值的范圍叫做這個(gè)函數(shù)的定義域；所有函數(shù)值構(gòu)成的集合叫做這個(gè)函數(shù)的值域確定一個(gè)函數(shù)的兩個(gè)要素：定義域，對(duì)應(yīng)法則函數(shù)好比數(shù)的加工廠，定義域是加工范圍，值域是產(chǎn)品系列，是加工手段2函數(shù)的表示法：列表法，圖象法，解析法圖象法和解析法是考查的重點(diǎn)3映射的概念設(shè)A，B是兩個(gè)非空的集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則，對(duì)A中的任意一個(gè)

2、元素，在B中有一個(gè)且僅有一個(gè)元素與對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)是集合A到集合B的映射這時(shí)，稱(chēng)是在映射作用下的象，記作，于是，稱(chēng)作 的原象映射也可記為 其中A叫做映射的定義域，由所有象構(gòu)成的集合叫做映射的值域二、方法歸納求函數(shù)的解析式的一般方法：配湊法、換元法、待定系數(shù)法、特殊值法等等求函數(shù)的定義域的一般原則：分母不為零，偶次根下的式子不負(fù)，零的零次冪沒(méi)意義，零和負(fù)數(shù)無(wú)對(duì)數(shù)，等等求函數(shù)的值域的常見(jiàn)方法：直接法、配方法、換元法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法、反函數(shù)法、單調(diào)性法等等判斷某“對(duì)應(yīng)法則”是否為AB的映射，主要表現(xiàn)為“一對(duì)一”及“多對(duì)一”的兩種特殊對(duì)應(yīng)；應(yīng)特別注意：A中任一元素在B中應(yīng)有象，且象唯一；B中可以有空閑

3、元素，即B中可以有元素沒(méi)有原象三、典型例題精講【例1】如果，那么 .解析：方法一（配湊法）， 方法二（換元法） 設(shè)，則，于是，即技巧提示：（1）湊配法：若已知的表達(dá)式，需求的表達(dá)式，可把看成一個(gè)整體，把右邊變?yōu)橛山M成的式子，再將統(tǒng)一換為，求出的表達(dá)式（2）換元法：已知的表達(dá)式，需求，我們常設(shè)，從而求得，然后代入的表達(dá)式，從而得到的表達(dá)式，即為的表達(dá)式用湊配法和換元法求的解析式時(shí)，不單是關(guān)注對(duì)應(yīng)法則的變化，還需要考慮定義域的變化又例:已知，求函數(shù).錯(cuò)解分析：，.定義域是函數(shù)的一個(gè)要素，沒(méi)有考慮定義域的變化，所求函數(shù)出錯(cuò)解析：， 又，有，.再例:已知函數(shù)滿足 （0，1，0)，求的表達(dá)式. 錯(cuò)解分析

4、：令，于是1，0；，0將代入，得， （1，0；，0）在0，1，0的條件下，解析：令， 將 代入，得 （0，）【例2】已知二次函數(shù)滿足，求的表達(dá)式 解析：由，得并且，不能同時(shí)等于1或1，所以所求函數(shù)為：或或或或或.技巧提示：待定系數(shù)法：若已知的結(jié)構(gòu)時(shí)，可設(shè)出含參數(shù)的表達(dá)式，再根據(jù)已知條件，列方程或方程組，從而求出待定的參數(shù)，求得的表達(dá)式又例:已知一次函數(shù)滿足，求的表達(dá)式解析：設(shè)，則，由，得比較系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)，得，再例:如果函數(shù)N+）滿足0，2，且求函數(shù)的解析式解析：依題意，得 ，即 又由，得 N+，1 或 2又2，故當(dāng)1時(shí)， 0，不符合題意；當(dāng)2時(shí)，2 【例3】 已知滿足對(duì)任意，有求解析： 將用代

5、之，得由，得技巧提示：若已知以函數(shù)為元的方程形式，若能設(shè)法構(gòu)造另一個(gè)方程，組成方程組，再解這個(gè)方程組，求出函數(shù)元，稱(chēng)這個(gè)方法為消元法又例：設(shè)滿足1，并且對(duì)任意實(shí)數(shù)、都成立，求的解析式解析：方法一 ：由1，令，得，.方法二：令0，得，技巧提示：賦值法：在求某些函數(shù)的表達(dá)式或求某些函數(shù)值時(shí)，有時(shí)把已知條件中的某些變量賦值，使問(wèn)題簡(jiǎn)單明了，從而易于求出函數(shù)的表達(dá)式【例4】求函數(shù)的定義域解析：這個(gè)函數(shù)是兩項(xiàng)之和，由第一項(xiàng)有：， 由第二項(xiàng)有：，取兩者之交集，得所求函數(shù)的定義域?yàn)榧记商崾荆呵蠛瘮?shù)的定義域就是要使函數(shù)有意義，目前我們知道：分母為零無(wú)意義，負(fù)數(shù)開(kāi)偶次方無(wú)意義，零的零次冪沒(méi)意義，零和負(fù)數(shù)的對(duì)數(shù)無(wú)

6、意義等等求函數(shù)的定義域往往需要解不等式或不等式組；使函數(shù)有意義就要使函數(shù)的每一部分都要有意義，所以通常需要求數(shù)集的交集又例:（1）函數(shù)的定義域是（2）函數(shù)的定義域是.解析：（1）要使函數(shù)有意義，必須有，即應(yīng)填：（2）要使函數(shù)有意義，必須有0， ，即應(yīng)填：再例：函數(shù)的定義域是 .解析：這是分段函數(shù)，其定義域應(yīng)是各段函數(shù)定義域的并集，應(yīng)填：【例5】 若的定義域?yàn)?，則的定義域是 解析： 由， 有 得的定義域?yàn)?應(yīng)填：技巧提示：函數(shù)的定義域?yàn)?，意思是只能?duì)中的數(shù)作用，也就是對(duì)中的數(shù)才有意義函數(shù)要有意義，必須對(duì)能作用，所以必須又例:已知函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)，則的取值范圍是（ ）A04 B01 C4 D

7、04錯(cuò)解分析：由對(duì)全體實(shí)數(shù)都成立，得，即的取值范圍是04故選A解析：由0對(duì)全體實(shí)數(shù)都成立，得當(dāng)0時(shí)，10，對(duì)全體實(shí)數(shù)都成立；當(dāng)0時(shí)，即的取值范圍是04故選B技巧提示：這是求函數(shù)的定義域的逆問(wèn)題，即給定函數(shù)的定義域，求參數(shù)的取值范圍此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問(wèn)題，但要注意二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為字母時(shí)的分類(lèi)討論再例：已知函數(shù)的定義域?yàn)?，求?shí)數(shù)的取值范圍解析：由題意知時(shí)，恒成立（1）當(dāng)且時(shí)，有1，此時(shí)1，顯然對(duì)時(shí)，恒成立（2）當(dāng)時(shí)，有，解不等式組得綜上知，當(dāng)時(shí)，使得有意義的的取值范圍是1，9【例6】 求函數(shù)的值域解析：本題中含有二次函數(shù)可利用配方法求解，為便于計(jì)算不妨設(shè)，配方得利用二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)得

8、，從而得出所求函數(shù)的值域?yàn)榧记商崾荆号浞椒芙鉀Q與二次函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的值域問(wèn)題本題可以直接配方，得，然后經(jīng)分析得所求函數(shù)的值域?yàn)?，因此，有時(shí)直接分析也能得到函數(shù)的值域又例：求的值域解析：由絕對(duì)值知識(shí)及二次函數(shù)值域的求法易得，再例：求函數(shù)的值域解析：觀察分子、分母中均含有項(xiàng)，可先變形后再采取分析法由0，有， 0，0，11， 所求函數(shù)的值域?yàn)?技巧提示：配方法、分析法、配方分析法都是解決含項(xiàng)的函數(shù)值域問(wèn)題的重要方法本題亦可采用判別式法:將重新整理為關(guān)于的二次方程，得，這個(gè)關(guān)于的二次方程有解，且判別式，由，得0， 所求函數(shù)的值域?yàn)?【例7】已知函數(shù)的值域?yàn)?，3，求、的值解析：由題意知，把原函數(shù)變形

9、為當(dāng)時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，因，所以，即，1和3是方程的兩個(gè)實(shí)根，由韋達(dá)定理解得技巧提示：這是求函數(shù)的值域的逆問(wèn)題，即在給定函數(shù)值域的條件下求參數(shù)的值解決此問(wèn)題的關(guān)鍵在于把求值域的問(wèn)題和解一元二次不等式的問(wèn)題聯(lián)系起來(lái)，最后通過(guò)比較同解不等式的系數(shù)，列方程求出參數(shù)的值又例：已知 （1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）若對(duì)任意，0恒成立，試求實(shí)數(shù)的取值范圍解析：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，于是，所以的最小值為.（2）0即為0，又， 恒成立而當(dāng)時(shí)，3，3四、課后訓(xùn)練1已知，則 （ ） A B 8 C18 D2已知函數(shù)其中N，則等于（ ）A2B4C6D73.若函數(shù)()在定義域內(nèi)恒有，則( )A

10、.3B. C.D. 34（1）已知的定義域?yàn)?，求的定義域；（2）已知的定義域?yàn)?，求函?shù)的定義域5已知函數(shù)的定義域是，求實(shí)數(shù)的取值范圍 6已知函數(shù)（1）求證：；（2）若1，求的值 7求函數(shù)的值域8求函數(shù)的值域9求函數(shù)=(1且0)的最小值.10求函數(shù)y=的最大值和最小值.五、參考答案1答案：D解析：由，知，令，得，故選D2答案：D解析：7，故選D3答案: A解析: . ，整理比較系數(shù)得3. 4解析：（1）令，得，即，因此，從而，故函數(shù)的定義域是（2）因?yàn)榈亩x域?yàn)椋垂屎瘮?shù)的定義域?yàn)橄铝胁坏仁浇M的解集，即即兩個(gè)區(qū)間與的交集，比較兩個(gè)區(qū)間左、右端點(diǎn)，知（i）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?；（ii）當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)?；（iii）當(dāng)或時(shí)，上述兩區(qū)間的交集為空集，此時(shí)不能構(gòu)成函數(shù)5解析：要使函數(shù)有意義，則必須0恒成立，因?yàn)榈亩x域?yàn)?，即方程無(wú)實(shí)根當(dāng)0時(shí)，需恒成立，解得；當(dāng)0時(shí)，方程變?yōu)?0恒無(wú)實(shí)根綜上的取值范圍是6解析：（1）證明：； 又 （2），又 117解析：方法一: 由于本題的分子、分母均為關(guān)于的二次形式，因此可以考慮使用判別式法將原函數(shù)變形為 ，整理得，顯然，