第4課分式及其運算

1、第4課分式及其運算 1 1分式的基本概念：分式的基本概念： (1)(1)形如形如 的式子的式子 叫分式；叫分式； (2)(2)當(dāng)當(dāng) 時，分式時，分式 有意義；當(dāng)有意義；當(dāng) 時，分式無意時，分式無意 義；當(dāng)義；當(dāng) 時，分式的值為零時，分式的值為零要點梳理要點梳理( (A，B是整式，且是整式，且B中含有字母，中含有字母，B0)0)B00B0 0A0 0且且B002 2分式的基本性質(zhì)：分式的基本性質(zhì)： 分式的分子與分母都乘以分式的分子與分母都乘以( (或除以或除以) ) ，分式的值不變，用式子表示為：分式的值不變，用式子表示為： ， 同一個不等于零的整式同一個不等于零的整式，( (M是不等于零的整式

2、是不等于零的整式) )3 3分式的運算法則：分式的運算法則： (1)(1)符號法則：分子、分母與分式本身的符號，改變其中符號法則：分子、分母與分式本身的符號，改變其中任何兩個，分式的值不變?nèi)魏蝺蓚€，分式的值不變 用式子表示為：用式子表示為： ， . . (2) (2)分式的加減法：分式的加減法： 同分母加減法：同分母加減法： ； 異分母加減法：異分母加減法： . . (3)(3)分式的乘除法：分式的乘除法： ， . .(4)(4)分式的乘方：分式的乘方： n ( (n為正整數(shù)為正整數(shù)) )4 4分式的約分、通分：分式的約分、通分： 把分式中分子與分母的公因式約去，這種變形叫做約分，把分式中分子

3、與分母的公因式約去，這種變形叫做約分，其根據(jù)是分式的基本性質(zhì)其根據(jù)是分式的基本性質(zhì) 把幾個異分母分式化為與原分式的值相等的同分母分式，把幾個異分母分式化為與原分式的值相等的同分母分式，這種變形叫做分式的通分，通分的根據(jù)是分式的基本性這種變形叫做分式的通分，通分的根據(jù)是分式的基本性質(zhì)通分的關(guān)鍵是確定幾個分式的最簡公分母質(zhì)通分的關(guān)鍵是確定幾個分式的最簡公分母5 5分式的混合運算：分式的混合運算： 在分式的混合運算中，應(yīng)先算乘方，再將除法化為乘法，在分式的混合運算中，應(yīng)先算乘方，再將除法化為乘法，進行約分化簡，最后進行加減運算遇有括號，先算括號進行約分化簡，最后進行加減運算遇有括號，先算括號里面的靈

4、活運用運算律，運算結(jié)果必須是最簡分式或整里面的靈活運用運算律，運算結(jié)果必須是最簡分式或整式式6 6解分式方程解分式方程，其思路是去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，要特別注，其思路是去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，要特別注意驗根，使分母為意驗根，使分母為0 0的未知數(shù)的值，是增根，需舍去的未知數(shù)的值，是增根，需舍去1 1正確理解分式的概念及分式有意義正確理解分式的概念及分式有意義 判斷某一個代數(shù)式屬于不屬于分式，不能看化簡后的結(jié)果，判斷某一個代數(shù)式屬于不屬于分式，不能看化簡后的結(jié)果，而應(yīng)看到它的本來面目，分式的概念是以形式上規(guī)定的而應(yīng)看到它的本來面目，分式的概念是以形式上規(guī)定的 解有關(guān)分式是否有意義的問題時，常用到解

5、有關(guān)分式是否有意義的問題時，常用到“或或”與與“且且”來來表達，正確使用表達，正確使用“或或”與與“且且”也是解題的關(guān)鍵也是解題的關(guān)鍵“或或”表示一種選擇關(guān)系，含有表示一種選擇關(guān)系，含有“你行，他也行你行，他也行”的意思；的意思；“且且”表示遞進關(guān)系，也有表示遞進關(guān)系，也有“同時同時”的意思的意思 難點正本難點正本 疑點清源疑點清源 2 2注意分式運算的法則和順序注意分式運算的法則和順序 分式的乘除運算，一般先利用法則轉(zhuǎn)化為分式的乘法后，分式的乘除運算，一般先利用法則轉(zhuǎn)化為分式的乘法后，能約分的要先約分，再計算，否則運算非常復(fù)雜；對于能約分的要先約分，再計算，否則運算非常復(fù)雜；對于乘除、乘方混

6、合運算，就遵循乘除、乘方混合運算，就遵循“先乘方，后乘除先乘方，后乘除”的運的運算順序；異分母分式相加減，或分式與整式的加減運算，算順序；異分母分式相加減，或分式與整式的加減運算，可把整式看作一個整體與分式通分后，按同分母的分式可把整式看作一個整體與分式通分后，按同分母的分式相加減來進行運算分式運算中，每步運算都要符合法相加減來進行運算分式運算中，每步運算都要符合法則或運算律，不能隨意套用運算律則或運算律，不能隨意套用運算律3 3理解分式方程的增根并檢驗是否產(chǎn)生增根理解分式方程的增根并檢驗是否產(chǎn)生增根 在分式方程化為整式方程時，一般是將方程兩邊同乘以含在分式方程化為整式方程時，一般是將方程兩邊

7、同乘以含未知數(shù)的整式未知數(shù)的整式( (最簡公分母最簡公分母) )，當(dāng)所乘整式不為零時，所得，當(dāng)所乘整式不為零時，所得整式的根為增根，因此，驗根是解分式方程的必要步驟整式的根為增根，因此，驗根是解分式方程的必要步驟 分式方程的增根是解題時極易忽視的知識點，在一般情形分式方程的增根是解題時極易忽視的知識點，在一般情形下，檢驗未知數(shù)的值是否是增根并不難，而當(dāng)題目明確有下，檢驗未知數(shù)的值是否是增根并不難，而當(dāng)題目明確有增根時，反推此時未知數(shù)的值就會讓人不知所措，此時關(guān)增根時，反推此時未知數(shù)的值就會讓人不知所措，此時關(guān)鍵是要具備逆向的思維能力，特別是涉及分式方程的解而鍵是要具備逆向的思維能力，特別是涉及

8、分式方程的解而又未明確涉及增根問題時，探討是否有增根又未明確涉及增根問題時，探討是否有增根( (或與增根有關(guān)或與增根有關(guān)問題問題) )就成了隱含條件，稍不留心就會發(fā)生差錯就成了隱含條件，稍不留心就會發(fā)生差錯1 1(2011(2011江津江津) )下列式子是分式的是下列式子是分式的是( () ) A. . B. . C. . y D. . 解析：根據(jù)分式的定義，分母中必含字母的代數(shù)式叫分式解析：根據(jù)分式的定義，分母中必含字母的代數(shù)式叫分式基礎(chǔ)自測基礎(chǔ)自測B2 2(2011(2011南充南充) )當(dāng)分式當(dāng)分式 的值為的值為0 0時，時，x的值是的值是( () ) A0 0 B1 1 C1 1 D2

9、 2 解析：當(dāng)解析：當(dāng)x1 1時，分子時，分子x1 10 0，而分母，而分母x2 23030， 所以分式的值為所以分式的值為0.0.3 3(2011(2011金華金華) )計算計算 的結(jié)果為的結(jié)果為( () ) A. . B C1 1 D2 2 解析：解析： 1.1.BC4 4(2011(2011潛江潛江) )化簡化簡( ( ) )( (m2)2)的結(jié)果是的結(jié)果是( () ) A0 0 B1 1 C1 1 D( (m2)2)2 2 解析：原式解析：原式 1.1.5 5(2011(2011蕪湖蕪湖) )分式方程分式方程 的解是的解是( () ) Ax2 2 Bx2 2 Cx1 1 Dx1 1或或

10、x2 2 解析：當(dāng)解析：當(dāng)x1 1時，方程左邊時，方程左邊 3 3， 右邊右邊 3 3，x1 1是原方程的解是原方程的解. . BC題型一分式的概念，求字母的取值范圍題型一分式的概念，求字母的取值范圍【例【例1 1】(1)(1)當(dāng)當(dāng)x_時，分式時，分式 無意義；無意義； 解析：當(dāng)解析：當(dāng)x1 10 0，x1 1時，分式無意義時，分式無意義 (2)(2011(2)(2011泉州泉州) )當(dāng)當(dāng)x_時，分式時，分式 的值為的值為0.0. 解析：當(dāng)解析：當(dāng)x2 20 0，x2 2時，分母時，分母x2 24 4，分式的值是，分式的值是0.0.題型分類題型分類 深度剖析深度剖析1 12 2探究提高探究提高

11、 1.1.首先求出使分母等于首先求出使分母等于0 0的字母的值，然后讓未知數(shù)不等于的字母的值，然后讓未知數(shù)不等于這些值，便可使分式有意義這些值，便可使分式有意義 2.2.首先求出使分子為首先求出使分子為0 0的字母的值，再檢驗這個字母的值是的字母的值，再檢驗這個字母的值是否使分母的值為否使分母的值為0 0，當(dāng)它使分母的值不為，當(dāng)它使分母的值不為0 0時，這就是所要求時，這就是所要求的字母的值的字母的值知能遷移知能遷移1 1(1)(1)使分式使分式 有意義的有意義的x的取值范圍是的取值范圍是_ 解析：當(dāng)解析：當(dāng)2 2x4040，x22時，分式有意義，時，分式有意義， 故故x的取值范圍是的取值范圍

12、是x2.2. (2) (2)當(dāng)當(dāng)x_時，分式時，分式 的值為的值為0.0. 解析：當(dāng)解析：當(dāng)| |x| |3 30 0，| |x| |3 3，x3 3， 而而x3030，x33，故，故x3.3.x223 3 (3) (3)若分式若分式 的值為的值為0 0，則，則x的值為的值為( () ) A1 1 B1 1 C1 1 D2 2解析：當(dāng)解析：當(dāng)x2 20 0，x2 2時，時，x2 21010，故選，故選D. .D題型二分式的性質(zhì)題型二分式的性質(zhì)【例【例2 2】(1)(2011(1)(2011湛江湛江) )化簡化簡 的結(jié)果是的結(jié)果是( () ) Aab Bab Ca2 2b2 2 D1 1 解析：

13、解析： ab. .A(2)(2)已知已知 3 3，求分式，求分式 的值的值 解法一：解法一： 3 3， 3 3，yx3 3xy，xy3 3xy. . 原式原式 4.4.解法二：解法二： 3 3，xy00， 原式原式 4.4.探究提高探究提高 1.1.分式的基本性質(zhì)是分式變形的理論依據(jù)，所有分式變形分式的基本性質(zhì)是分式變形的理論依據(jù)，所有分式變形都不得與此相違背，否則分式的值改變都不得與此相違背，否則分式的值改變. . 2. 2.將分式化簡，即約分，要先找出分子、分母的公因式，將分式化簡，即約分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多項式，要先將它們分別分解因式，然如果分子、分母是多項式

14、，要先將它們分別分解因式，然后再約分，約分應(yīng)徹底后再約分，約分應(yīng)徹底. . 3. 3.巧用分式的性質(zhì)，可以解決某些較復(fù)雜的計算題，可應(yīng)巧用分式的性質(zhì)，可以解決某些較復(fù)雜的計算題，可應(yīng)用逆向思維，將要求的算式向已知條件用逆向思維，將要求的算式向已知條件“湊湊”而求得結(jié)而求得結(jié)果果知能遷移知能遷移2 2(1)(2011(1)(2011聊城聊城) )化簡：化簡： . . 解析：解析： . . (2) (2)下列運算中，錯誤的是下列運算中，錯誤的是( () ) A. . ( (c c0) 0) B. . 1 1 C. . D. . 解析：解析： . .D題型三分式的四則混合運算題型三分式的四則混合運算

15、【例【例3 3】先化簡代數(shù)式】先化簡代數(shù)式( ( ) ) ，然后選取一個，然后選取一個合適的合適的a值，代入求值值，代入求值 解題示范解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！ 解：原式解：原式( ( ) )( (a2)(2)(a2) 22) 2分分 a( (a2)2)2(2(a2)2)a2 22 2a2 2a4 4 a2 24 34 3分分 取取a1 1，得原式，得原式1 12 24 45 55 5分分 探究提高探究提高準(zhǔn)確、靈活、簡便地運用法則進行化簡，注意在取準(zhǔn)確、靈活、簡便地運用法則進行化簡，注意在取a的的值時，不能取使分式無意義的值時，不能取使分式無意義的2

16、.2.知能遷移知能遷移3 3(1)(2011(1)(2011安徽安徽) )先化簡，再求值：先化簡，再求值： ，其中，其中x2.2. 解：原式解：原式 1.1.(2)(2)計算：計算：( ( ) ) 解：原式解：原式 3(3(a3)3)( (a3)3) 2 2a12.12.(3)(2011(3)(2011貴陽貴陽) )在三個整式在三個整式x2 21 1，x2 22 2x1 1，x2 2x中，請你從中，請你從中任意選擇兩個，將其中一個作為分子，另一個作為分母組中任意選擇兩個，將其中一個作為分子，另一個作為分母組成一個分式，并將這個分式進行化簡，再求當(dāng)成一個分式，并將這個分式進行化簡，再求當(dāng)x2 2

17、時分式的時分式的值值 解：答案不唯一解：答案不唯一 如，選擇如，選擇x2 21 1為分子，為分子，x2 22 2x1 1為分母，為分母， 組成分式組成分式 . . . . 將將x2 2代入代入 ，得原式，得原式 . .題型四分式方程的解法題型四分式方程的解法【例【例4 4】解分式方程：】解分式方程： 0.0. 解題示范解題示范規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！規(guī)范步驟，該得的分，一分不丟！ 解：原式解：原式 0 0， 去分母，去分母，5(5(x1)1)( (x3)3)0 0， 去括號，去括號，5 5x5 5x3 30 0， 22分分 4 4x8 80 0， 4 4x8 8，x2.2. 經(jīng)檢驗，經(jīng)檢

18、驗，x2 2是原方程的根是原方程的根 原方程的根是原方程的根是x2. 42. 4分分 探究提高探究提高 1.1.按照基本步驟解分式方程，其關(guān)鍵是確定各分式的最簡公按照基本步驟解分式方程，其關(guān)鍵是確定各分式的最簡公分母若分母為多項式時，應(yīng)首先進行分解因式將分式方分母若分母為多項式時，應(yīng)首先進行分解因式將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程，乘最簡公分母時，應(yīng)乘原分式方程的每程轉(zhuǎn)化為整式方程，乘最簡公分母時，應(yīng)乘原分式方程的每一項，不要漏乘常數(shù)項一項，不要漏乘常數(shù)項 2.2.檢驗是否產(chǎn)生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后檢驗是否產(chǎn)生增根：分式方程的增根是分式方程去分母后整式方程的某個根，但因為它使分式方程的

19、某些分母為零，整式方程的某個根，但因為它使分式方程的某些分母為零，故應(yīng)是原方程的增根，須舍去故應(yīng)是原方程的增根，須舍去知能遷移知能遷移4 4(1)(2011(1)(2011潼南潼南) )解分式方程：解分式方程： 1.1. 解：方程兩邊同乘解：方程兩邊同乘( (x1)(1)(x1)1)，得，得 x( (x1)1)( (x1)1)( (x1)(1)(x1)1)， 化簡，得化簡，得2 2x1 11 1， 解得解得 x0.0. 檢驗：當(dāng)檢驗：當(dāng)x0 0時，時，( (x1)(1)(x1)01)0， 所以所以x0 0是原分式方程的解是原分式方程的解(2)(2)若方程若方程 無解，則無解，則m_._. 解析

20、：解析： ， 去分母，去分母，x3 3m，m3 3x. . 當(dāng)當(dāng)x2 2時，時，m3 32 21.1.1 11 1勿忘分母不能為零勿忘分母不能為零考題再現(xiàn)當(dāng)考題再現(xiàn)當(dāng)a取什么值時，方程取什么值時，方程 的解是負(fù)數(shù)？的解是負(fù)數(shù)？學(xué)生作答學(xué)生作答 解：原方程兩邊同乘以解：原方程兩邊同乘以( (x2)(2)(x1)1)，得，得 x2 21 1x2 24 4x4 42 2xa，2 2xa5 5， x . . 由由 0,0,得得a5.5. 故當(dāng)故當(dāng)a5 5時，原方程的解是負(fù)數(shù)時，原方程的解是負(fù)數(shù)答題規(guī)范答題規(guī)范規(guī)范解答規(guī)范解答 解：當(dāng)解：當(dāng)x1 1且且x22時，原方程兩邊都乘以時，原方程兩邊都乘以( (

21、x2)(2)(x1)1)， 得得x2 21 1x2 24 4x4 42 2xa， 2 2xa5 5， x . . 由由 0 0，得，得a5.5. 又由又由 22，得，得a1 1； 1 1，得，得a7 7， 故當(dāng)故當(dāng)a5 5且且a7 7時，原方程的解是負(fù)數(shù)時，原方程的解是負(fù)數(shù)老師忠告老師忠告 (1)(1)分式中的分母不能為零，這是同學(xué)們熟知的，但在解題時，分式中的分母不能為零，這是同學(xué)們熟知的，但在解題時，往往忽視題目中的這一隱含條件，從而導(dǎo)致解題錯誤；往往忽視題目中的這一隱含條件，從而導(dǎo)致解題錯誤； (2)(2)利用分式的基本性質(zhì)進行恒等變形時，應(yīng)注意分子與分母同利用分式的基本性質(zhì)進行恒等變形

22、時，應(yīng)注意分子與分母同乘或同除的整式的值不能是零；乘或同除的整式的值不能是零； (3)(3)解分式方程為什么要檢驗？因為用各分母的最簡公分母去乘解分式方程為什么要檢驗？因為用各分母的最簡公分母去乘方程的兩邊時，不能肯定所得方程與原方程同解如果最后方程的兩邊時，不能肯定所得方程與原方程同解如果最后x取取值使這個最簡公分母不為零，則這個步驟符合方程同解原理，值使這個最簡公分母不為零，則這個步驟符合方程同解原理，這個取值就是方程的解；否則，不保證新方程與原方程同解這個取值就是方程的解；否則，不保證新方程與原方程同解 從另一角度看，既然使各分母的最簡公分母為零，則必使某個從另一角度看，既然使各分母的最簡公分母為零，則必使某個分母為零，該分式則無意義，原方程不可能成立，這個取值就分母為零，該分式則無意義，原方程不可能成立，這個