1中點(diǎn)弦問題點(diǎn)差法

1、圓錐曲線常規(guī)題型方法歸納與總結(jié)中點(diǎn)弦問題;焦點(diǎn)三角形;直線與圓錐位置關(guān)系問題;圓錐曲線的相關(guān)最值（范圍）問題;求曲線的方程問題;存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱問題;兩線段垂直問題圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題-點(diǎn)差法與圓錐曲線的弦的中點(diǎn)有關(guān)的問題，我們稱之為圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題。解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解。解題策略：具有斜率的弦中點(diǎn)問題，常用設(shè)而不求法（點(diǎn)差法）：若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)（弦的端點(diǎn)）坐標(biāo)為、，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點(diǎn)關(guān)系及斜率公式（當(dāng)然在這里也要注意斜率不存在的

2、請款討論），消去四個參數(shù)。如：（1）與直線相交于A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)，則有。（2）與直線l相交于A、B，設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0)則有（3）y2=2px（p>0）與直線l相交于A、B設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(x0,y0),則有2y0k=2p,即y0k=p.經(jīng)典例題講解一、求以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程例1、過橢圓內(nèi)一點(diǎn)引一條弦，使弦被點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程。解：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為、為的中點(diǎn) 又、兩點(diǎn)在橢圓上，則，兩式相減得于是即，故所求直線的方程為，即。例2、已知雙曲線，經(jīng)過點(diǎn)能否作一條直線，使與雙曲線交于、，且點(diǎn)是線段的中點(diǎn)。若存在這樣的直線，求出它的方程，若

3、不存在，說明理由。策略：這是一道探索性習(xí)題，一般方法是假設(shè)存在這樣的直線，然后驗(yàn)證它是否滿足題設(shè)的條件。本題屬于中點(diǎn)弦問題，應(yīng)考慮點(diǎn)差法或韋達(dá)定理。解：設(shè)存在被點(diǎn)平分的弦，且、則，兩式相減，得故直線由消去，得這說明直線與雙曲線不相交，故被點(diǎn)平分的弦不存在，即不存在這樣的直線。評述：本題如果忽視對判別式的考察，將得出錯誤的結(jié)果，請務(wù)必小心。由此題可看到中點(diǎn)弦問題中判斷點(diǎn)的位置非常重要。（1）若中點(diǎn)在圓錐曲線內(nèi)，則被點(diǎn)平分的弦一般存在；（2）若中點(diǎn)在圓錐曲線外，則被點(diǎn)平分的弦可能不存在。二. 求弦的中點(diǎn)坐標(biāo)、弦中點(diǎn)軌跡例3、已知橢圓的一條弦的斜率為3，它與直線的交點(diǎn)恰為這條弦的中點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)。解

4、：設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則 ， 又 ，兩式相減得即 ，即點(diǎn)的坐標(biāo)為。例4、已知橢圓,求它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程。解：設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則， 又 ，兩式相減得即，即 ，即由，得點(diǎn)在橢圓內(nèi)它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程為三.求與中點(diǎn)弦有關(guān)的圓錐曲線的方程例5、已知中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為的橢圓被直線截得的弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程。解：設(shè)橢圓的方程為，則設(shè)弦端點(diǎn)、，弦的中點(diǎn)，則， ，又，兩式相減得即 聯(lián)立解得，所求橢圓的方程是四、圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對稱問題例6、已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上總有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對稱。解：設(shè)，為橢圓上關(guān)于直線的對稱兩點(diǎn)，為弦的中點(diǎn)，則，兩式相減得，即，這就是弦中點(diǎn)軌跡方程。它與直線的交點(diǎn)必須在橢圓內(nèi)聯(lián)立，得則必須滿足，即，解得五、注意的問題（1）雙曲線的中點(diǎn)弦存在性問題；（2）弦中點(diǎn)的軌跡應(yīng)在曲線內(nèi)。習(xí)題實(shí)戰(zhàn)1.直線與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，則AB中點(diǎn)坐標(biāo) 2.已知，橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，一條準(zhǔn)線的方程是x=b，傾斜角為的直線交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為，求橢圓C的方程.3. 已知雙曲線，經(jīng)過點(diǎn)能否作一條直線，使與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，且M是線段AB的中點(diǎn)，若存在這樣的直線，求出它的方程，若不存在，說明理由？4.已知又曲線線C的漸近線方程，其一個焦點(diǎn)為