二階變系數(shù)線性微分方程的一些解法

1、第九節(jié) 二階變系數(shù)線性微分方程的一些解法常系數(shù)線性齊次方程和某些特殊自由項(xiàng)的常系數(shù)線性非齊次方程的解法已在第七節(jié)中介紹，而對(duì)于變系數(shù)線性方程，要求其解一般是很困難的。本節(jié)介紹處理這類方程的二種方法9.1 降階法在第五節(jié)中我們利用變量替換法使方程降階，從而求得方程的解，這種方法也可用于二階變系數(shù)線性方程的求解。考慮二階線性齊次方程 p(x) q(x)y0 (9.1)設(shè)已知其一個(gè)非零特解y，作變量替換，令 yuy1 (9.2)其中uu(x)為未知函數(shù)，求導(dǎo)數(shù)有 y1u求二階導(dǎo)數(shù)有y12u代入(9.1)式得 y1（2p(x)y1）(p(x) q(x)y1)u0 (9.3)這是一個(gè)關(guān)于u的二階線性齊次

2、方程，各項(xiàng)系數(shù)是x的已知函數(shù)，因?yàn)閥1是(9.1)的解，所以其中 p(x) q(x)y10故(9.3)式化為 y1(2p(x)y1) 0再作變量替換，令z得 y1(2p(x)y1)z0分離變量 dzp(x)dx兩邊積分，得其通解 zep(x)dx 其中C2為任意常數(shù)積分得uC2ep(x)dxdxC1代回原變量得(9.1)的通解 yy1CC2ep(x)dxdx此式稱為二階線性方程的劉維爾(Liouville)公式。綜上所述，對(duì)于二階線性齊次方程，若已知其一個(gè)非零特解，作二次變換，即作變換yy1zdx可將其降為一階線性齊次方程，從而求得通解。對(duì)于二階線性非齊次方程，若已知其對(duì)應(yīng)的齊次方程的一個(gè)特解

3、，用同樣的變換，因?yàn)檫@種變換并不影響方程的右端，所以也能使非齊次方程降低一階。例1. 已知y是方程y0的一個(gè)解，試求方程的通解解 作變換 yy1zdx則有 y1zzdxy12zzdx代入原方程，并注意到y(tǒng)1是原方程的解，有 y1(2)z0即 ctanxz積分得 z于是 y y1zdxdxC2 (C1ctanxC2) (C2sinxC1cosx)這就是原方程的通解。9.2 常數(shù)變易法在第三節(jié)求一階線性非齊方程通解時(shí)，我們?cè)鴮?duì)其對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解，利用常數(shù)變易法求得非齊次方程的通解。對(duì)于二階線性非齊次方程 p(x) p(x)yf(x) (9.4)其中p(x),q(x)，f(x)在某區(qū)間上連續(xù)，如

4、果其對(duì)應(yīng)的齊次方程 p(x) q(x)y0的通解 yC1yCy2已經(jīng)求得。那么也可通過如下的常數(shù)變易法求得非齊次方程的通解。設(shè)非齊次方程(9.4)具有形式 u1y1uy2 (9.5)的特解，其中u1u1(x)，u2u(x)是兩個(gè)待定函數(shù)，對(duì)求導(dǎo)數(shù)得 u1y1u2y2y1uy2u2由于用(9.5)代入(9.4)，可確定u1，u2的一個(gè)方程，為了同時(shí)確定這兩個(gè)函數(shù)，還須添加一個(gè)條件，為計(jì)算方便，我們補(bǔ)充一個(gè)條件：yuy2u20這樣 u1y1u2y2u1y1u2y2u1y1u2y2代入方程(9.3)，并注意到y(tǒng)1，y2是齊次方程的解，整理得 uy1uyf(x)與補(bǔ)充條件聯(lián)列得方程組因?yàn)閥1，y2線性

5、無關(guān)，即常數(shù)，所以()0設(shè)w(x)y1y2y2y1，則有w(x)0所以上述方程組有唯一解。解得 積分并取其一個(gè)原函數(shù)得 u1dx udx則所求特解為 y1dxy2dx所求方程的通解 yYC1y1C2y2y1dxy2dx上述求特解的方法也適用于常系數(shù)非齊次方程情形。例1. 求方程x的通解解 先求對(duì)應(yīng)的齊次方程 0的通解，由 d()dx得 lnlnxlnC即 Cx得通解yC1x2C2所以對(duì)應(yīng)齊次方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解是x2和1。為求非齊次方程的一個(gè)解將C1，C2換成待定函數(shù)u1，u2，且u1，u2滿足下列方程 解上述方程得 u1 u2x2積分并取其一原函數(shù)得 u1x，u2于是原方程的一個(gè)特解為

6、u1x2u21從而原方程的通解為 yC1x2C2第十節(jié) 數(shù)學(xué)建模(二)微分方程在幾何、物理中的應(yīng)用舉例一、鐳的衰變例1. 鐳、鈾等放射性元素因不斷地放出各種射線而逐漸減少其質(zhì)量，稱為放射性物的衰變。由實(shí)驗(yàn)得知，衰變速度與現(xiàn)存物質(zhì)的質(zhì)量成正比，求放射性元素在時(shí)刻t的質(zhì)量。解 用x表示該放射性物質(zhì)在時(shí)刻t的現(xiàn)存物質(zhì)，則表示x在時(shí)刻t的衰變速度，于是“衰變速度與現(xiàn)存質(zhì)量成正比”可表示為kx這是一個(gè)以x為未知函數(shù)的一階方程，它就是放射性元素衰變的數(shù)學(xué)模型。其中k0是比例常數(shù)，稱為衰變常數(shù)，因元素的不同而異。方程右端的負(fù)號(hào)表示當(dāng)時(shí)間t增加時(shí)，質(zhì)量x減少，即t0時(shí)，0。解這個(gè)方程得通解 xCekt若已知當(dāng)

7、tt0時(shí)，xx0，即xx0代入方程可得 Cx0e得特解 xx0e它反映了某種放射性元素衰變的規(guī)律。二、正交軌線已知曲線族方程F(x,y,C)，其中包含了一個(gè)參數(shù)C，當(dāng)C固定時(shí)就得到一條曲線，當(dāng)C改變就得整族曲線，稱為單參數(shù)曲線族。例如yCx2為一拋物線族。圖6-3 如果存在另一族曲線G(x,y,C)0，其每一條曲線都與曲線族F(x,y,C)0的每條曲線垂直相交，即不同族中的曲線在交點(diǎn)處的切線互相垂直。則稱G(x,y,C)0為F(x,y，C)0的正交軌線。將曲線族方程F(x,y,C)0對(duì)x求導(dǎo)與F(x,y,C)0聯(lián)列并消去常數(shù)C，得曲線族上任一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)和曲線在該點(diǎn)的斜率y所滿足的微分方

8、程 f(x,y,y)0這就是曲線族F(x,y,C)0所滿足的微分方程。因?yàn)檎卉壘€過點(diǎn)(x,y)，且在該點(diǎn)與曲線族中過該點(diǎn)的曲線垂直，故正交軌線在點(diǎn)(x,y)處的斜率 k于是可知曲線族F(x,y,C)0的正交軌線滿足方程 f(x,y,)0這是正交軌線的數(shù)學(xué)模型，其積分曲線族(通解)，就是所要求的正交軌線。例2 求拋物線族yCx2的正交軌線。解 對(duì)yCx2關(guān)于x求導(dǎo)，得y2Cx與原方程聯(lián)列 消去C圖6-4 得微分方程 y將代入y得所求拋物線的正交軌線微分方程 即 ydydx積分得 C2即拋物線族 yCx2的正交軌線是一個(gè)橢圓族，如圖6-4。三、追跡問題例3. 開始時(shí)，甲、乙水平距離為1單位，乙從

9、A點(diǎn)沿垂直于OA的直線以等速v0向正比行走；甲從乙的左側(cè)O點(diǎn)出發(fā)，始終對(duì)準(zhǔn)乙以nv0(n1)的速度追趕，求追跡曲線方程，并問乙行多遠(yuǎn)時(shí)，被甲追到。 圖6-5解 如圖6-5建立坐標(biāo)系，設(shè)所求追跡曲線方程為 yy(x)經(jīng)過時(shí)刻t，甲在追跡曲線上的點(diǎn)為p(x,y)，乙在點(diǎn)B(1,v0t)。于是有 tany (10.1)由題設(shè)，曲線的弧長(zhǎng)OP為 x0dxnv0t解出v0t代入(10.1)得 (1x)yyx0dx兩邊對(duì)x求導(dǎo)，整理得 (1x)y這就是追跡問題的數(shù)學(xué)模型。這是一個(gè)不顯含y的可降階的方程，設(shè)yp，yp代入方程得 (1x)p或 兩邊積分得 ln(p)ln1xlnC即 p將初始條件 yx0px0

10、0代入上式，得C11，于是 y (10.2)兩邊同乘 y，并化簡(jiǎn)得 y (10.3)(10.2)與(10.3)兩式相加，得 y ()積分，得 y (1x) (1x)C2代入初始條件 yx00得C2，所求追跡曲線方程為 y (n1) 甲追到乙時(shí)，即曲線上點(diǎn)P的橫坐標(biāo)x1，此時(shí) y即乙行走至離A點(diǎn)個(gè)單位距離時(shí)即被甲追到。四、彈簧振動(dòng)下面我們討論機(jī)械振動(dòng)的簡(jiǎn)單模型彈簧振動(dòng)問題，研究圖6-6 懸掛重物的彈簧的振動(dòng)，并假定彈簧的質(zhì)量與重物的質(zhì)量相比較可以忽略不計(jì)。如圖6-6，一彈簧上端固定，下端與一質(zhì)量為m的物體連接，彈簧對(duì)物體的作用力(恢復(fù)力)與彈簧的伸長(zhǎng)度成正比(比例常數(shù)為k);物體在運(yùn)過程中所受的

11、阻力與速度成正比(比例常數(shù)為)。此外，物體還與一個(gè)連桿連接，連桿對(duì)物體的作用力(強(qiáng)迫力)為F(t)。下面建立物體運(yùn)動(dòng)方程(數(shù)學(xué)模型)。如圖6-6，物體的平衡位置為原點(diǎn)，向下方向?yàn)镺x軸的正向，以xx(t)表示物體在時(shí)刻t的位置，因?yàn)槲矬w共受到三個(gè)力的作用。(1)恢復(fù)力：一kx (負(fù)號(hào)表示恢復(fù)力與位移x方向相反)；(2)阻力： (負(fù)號(hào)表示阻力與速度的方向相反)；(3)強(qiáng)迫力：F(t)由牛頓第二定律 Fma得 mF(t)kx或 x這就是物體運(yùn)動(dòng)的數(shù)學(xué)模型振動(dòng)方程。為方便起見，記2 (0)，2 (0)，f(t)，則上述方程可寫成 2xf(t) (10.4)1.自由振動(dòng)，當(dāng)f(t)0時(shí)稱為自由振動(dòng)。分

12、兩種情況討論(1)當(dāng)0時(shí)稱為無阻尼自由振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為 2x0圖6-7 其通解 xC1costC2sintAsin（t）(其中A，tan)這是簡(jiǎn)諧振動(dòng),如圖6-7，這里振幅A及初相角，可由物體的初始位置和初始速度決定。(2)當(dāng)0時(shí)稱為有阻尼自由振動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程為 2x0其特征方程為 r2r0下面就其根的三種情形分別討論：()(大阻尼情形)，其根為 r特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，由于它們都是負(fù)數(shù)，可令r11，r2，(10，20)所以方程的通解為xC1eC2e圖6-8 圖6-9 這里的位移x不是周期函數(shù)，因而物體不作任何振動(dòng)，當(dāng)t時(shí)x0，即隨時(shí)間的無限增加而趨于平衡位置，如圖6-8(當(dāng)C1C20

13、，1C12C20的情形)()(臨界阻尼情形)，特征方程有二重根，rr2，此時(shí)通解為 x（C1Ct）et這是位移x也不是周期函數(shù)，物體也不作任何振動(dòng)，當(dāng)t時(shí)x0，即隨時(shí)間無限增加而趨于平衡位置，如圖6-9(當(dāng)C10，C2C10的情況)。()0(小阻尼情形)，特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根 ri此時(shí)通解為 xAetcos(t)這里A，都是任意常數(shù)，可由振動(dòng)的初始條件決定。由上式看到，振幅Aet隨時(shí)間的增加而減少，其減少的快慢程度由系數(shù)決定。當(dāng)t時(shí)，振幅Aet0，于是x0，即隨時(shí)間t無限增加而趨于平衡位置。這種情形稱為有阻尼的衰減振動(dòng)，如圖6-10所示圖6-10 2.強(qiáng)迫振動(dòng)設(shè)外力 f(t)asin0t我們只考慮無阻尼的強(qiáng)迫振動(dòng)，其振動(dòng)方程為 2xasin0t它的通解為 xAsin(t)sint，當(dāng)0時(shí)xAsin（t）cost，當(dāng)0時(shí)。由解的形式可以看出，振動(dòng)由兩種運(yùn)動(dòng)所合成，一種是自由振動(dòng)也稱固有振動(dòng)；另一種是由外力所致的振動(dòng)，稱為強(qiáng)迫振動(dòng)。前一種情況(當(dāng)0時(shí))強(qiáng)迫振動(dòng)的振幅為，當(dāng)與0很接近時(shí)，振幅就很大；后一種情況(當(dāng)0時(shí))強(qiáng)迫振幅為，當(dāng)t時(shí)，振幅，這就是共振現(xiàn)象。因此當(dāng)外力a0sint同系統(tǒng)處于共振狀態(tài)時(shí)，將會(huì)引起振幅無限增大的振動(dòng)，這在機(jī)械和建筑中一般是必須嚴(yán)格避免的。五、R、L、C電路中的電振蕩S如圖6-11所示的簡(jiǎn)單串聯(lián)電路，在電路中，電阻為R，