人教版八年級下冊數(shù)學 勾股定理講義 勾股定理－逆定理有答案

1、第6講 勾股定理逆定理第一部分 知識梳理知識點一：勾股定理的逆定理如果三角形三邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形，其中為斜邊 .勾股定理的逆定理是判定一個三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉化為形”來確定三角形的可能形狀，在運用這一定理時，可用兩小邊的平方和與較長邊的平方作比較，若它們相等時，以，為三邊的三角形是直角三角形；若，時，以，為三邊的三角形是鈍角三角形；若，時，以，為三邊的三角形是銳角三角形；定理中，及只是一種表現(xiàn)形式，不可認為是唯一的，如若三角形三邊長，滿足，那么以，為三邊的三角形是直角三角形，但是為斜邊勾股定理的逆定理在用問題描述時，不能說成：當斜邊的平方等于兩

2、條直角邊的平方和時，這個三角形是直角三角形知識點二：勾股數(shù)能夠構成直角三角形的三邊長的三個正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即中，為正整數(shù)時，稱，為一組勾股數(shù)記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如；等用含字母的代數(shù)式表示組勾股數(shù)：（為正整數(shù)）；（為正整數(shù)） （，為正整數(shù)）知識點三：勾股定理及其逆定理的應用勾股定理及其逆定理在解決一些實際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個整體通常既要通過逆定理判定一個三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長度，二者相輔相成，完成對問題的解決：知識點四：互逆命題的概念如果一個命題的題設和結論分別是另一個命題的結論和題設，這樣的兩個命題叫做互逆命題。如果把其中一個叫做原命題

3、，那么另一個叫做它的逆命題。知識點歸納： 互逆命題:題設和結論正好相反的兩個命題為互逆命題. 互逆定理:一般地，如果一個定理的逆命她經(jīng)過證明是正確的·它也是一個定理，稱這兩個定理互為逆定理·注意：（1）任何一個命題都有逆命題. （2）原命題成立，它的逆命題不一定成立.也就是說一個定理它有逆命題，但它不一定有逆定理·（3）找一個命題的逆命題時只需要把原命題的題設和結論換過來.第二部分 考點精講精練考點1、利用逆定理判斷直角三角形例1、下列幾組數(shù)中不能作為直角三角形三邊長度的是（）A、 B、 C、 D、例2、適合下列條件的ABC中, 直角三角形的個數(shù)為（ ） A=45

4、0; A=320,B=580; A、2個 B、3個 C、4個 D、5個例3、下列結論錯誤的是（ ）A、三個角度之比為123的三角形是直角三角形 B、三條邊長之比為345的三角形是直角三角形C、三條邊長之比為81617的三角形是直角三角形 D、三個角度之比為112的三角形是直角三角形例4、已知:ABC的三邊分別為m2n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且mn),判斷ABC是否為直角三角形.例5、三邊長為，滿足，的三角形是什么形狀？舉一反三：1、以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（ ） A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，402、下列各組線段中的三個長度

5、：9、12、15；7、24、25；32、42、52；3a、4a、5a（a>0）；m2-n2、2mn、m2+n2（m、n為正整數(shù)，且m>n）其中可以構成直角三角形的有（ ）A、5組 B、4組 C、3組 D、2組3、現(xiàn)有兩根木棒的長度分別為40厘米和50厘米，若要釘成一個直角三角形框架，那么所需木棒的長一定為（）A、30厘米 B、40厘米 C、50厘米 D、以上都不對4、四邊形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。5、如果ABC的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ABC的形狀?？键c

6、2、逆定理的應用例1、如圖所示的一塊地，ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積。例2、已知，如圖，四邊形ABCD中，AB=3，AD=4，BC=12，CD=13，且A=90°，求四邊形ABCD的面積。例3、已知中，邊上的中線，求證：例4、某港口位于東西方向的海岸線上.“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里.它們離開港口一個半小時后相距30海里.如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？例5、如圖所示，在四邊形ABCD中，已知

7、：2：2：3：1，且B90°，求的度數(shù)舉一反三：1、如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構成一個直角三角形三邊的線段是（ ） A、CD、EF、GH B、AB、EF、GH C、AB、CD、GH D、AB、CD、EF2、如圖，AD=7，AB25，BC10，DC26，DB24，求四邊形ABCD的面積.3、如圖，正方形ABCD中，邊長為4，F(xiàn)為DC的中點，E為BC上一點，且CE=BC，求證：AFFE4、如圖，已知在ABC中，D是AB上一點，且AC=20，BC=15，DB=9，CD=12求ABC的面積5、已知：如圖，ABC中，C90°，D為AB的

8、中點，E、F分別在AC、BC上，且DEDF求證：AE2BF2EF2考點3、命題與逆命題例1、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確（1）原命題：對頂角相等（2）原命題：線段垂直平分線上的點，到這條線段兩端距離相等 （3）原命題：角平分線上的點，到這個角的兩邊距離相等例2、下列命題中是假命題的是（ ）    A、ABC中,若B=CA,則ABC是直角三角形    B、ABC中,若a2=(b+c)(bc),則ABC是直角三角形    C、ABC中,若ABC=345則ABC是直角三角形  

9、60; D、ABC中,若abc=543則ABC是直角三角形例3、下列命題中的假命題是（ ）A、在ABC中，若A=CB，則ABC是直角三角形B、在ABC中，若a2+b2=c2，則ABC是直角三角形C、在ABC中，若A、B、C的度數(shù)比是523，則ABC是直角三角形D、在ABC中，若三邊長abc=223，則ABC是直角三角形例4、“內錯角相等，兩直線平行”這個命題的逆命題是_，它是一個_命題（填“真”或“假”）例5、寫出符合下列條件的一個原命題： （1）原命題和逆命題都是真命題 （2）原命題是假命題，但逆命題是真命題 （3）原命題是真命題，但逆命題是假命題 （4）原命題和逆命題都是假命題舉一反三：1

10、、下列說法正確的是（ ） A、每個命題都有逆命題 B、每個定理都有逆定理 C、不正確的命題的逆命題也是不正確的 D、正確的命題的逆命題也是正確的2、下列各命題的逆命題不成立的是（ ） A、兩直線平行,同旁內角互補 B、若兩個數(shù)的絕對值相等，則這兩個數(shù)也相等. C、對頂角相等D、如果，那么3、下列說法正確的是（ ） A、若 a、b、c是ABC的三邊，則a2b2c2 B、若 a、b、c是RtABC的三邊，則a2b2c2 C、若 a、b、c是RtABC的三邊，則a2b2c2 D、若 a、b、c是RtABC的三邊，則a2b2c24、下列命題 如果a、b、c為一組勾股數(shù)，那么0.5a、0.5b、0.5c

11、仍是勾股數(shù)；如果直角三角形的兩邊是3、4，那么另一邊必是5；如果一個三角形的三邊是5、13、14，那么此三角形必是直角三角形；一個等腰直角三角形的三邊是a、b、c，（ab=c），那么a2b2c2=211。其中正確的是（ ） A、 B、 C、 D、 5、下列說法中錯誤的是（ ） A、在ABC中，若ACB，則ABC是直角三角形； B、在ABC中，若，則ABC是直角三角形； C、在ABC中，若A、B、C的度數(shù)比是7：3：4，則ABC是直角三角形； D、在ABC中，若三邊長a：b：c2：2：3，則ABC是直角三角形第三部分 課堂小測1、以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（ ） A、2，3，4 B

12、、10，8，4 C、7，25，24 D、7，15，122、滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（ ）A、三內角之比為123 B、三邊長的平方之比為123C、三邊長之比為345 D、三內角之比為3453、如圖，正方形網(wǎng)格中的ABC，若小方格邊長為1，則ABC是（ ） A、直角三角形 B、銳角三角形 C、鈍角三角形 D、以上答案都不對4、三角形的三邊長為,則這個三角形是（ ） A、等邊三角形 B、鈍角三角形 C、直角三角形 D、銳角三角形5、將直角三角形的三邊擴大相同的倍數(shù)后，得到的三角形是（ ） A、直角三角形 B、銳角三角形 C、鈍角三角形 D、以上三種情況都有可能6、若一個三角形的三邊

13、之比為452853，則這個三角形是 （按角分類）7、寫出下列命題的逆命題，它們的逆命題一定成立嗎? (1)、如果兩個角是直角.那么它們相等. (2)、全等三角形的對應邊相等. (3)、如果兩個實數(shù)相等.那么它們的平方也相等. (4)、到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上.8、已知a，b，c為ABC的三邊長，且（+）2=3（+），試說明這個三角形是什么三角形9、已知a、b、c是ABC的三邊，且a2c2b2c2a4b4，試判斷三角形的形狀10、如圖，P是等邊三角形內的一點，連結PA、PB、PC，以BP為邊作，且BQ=BP，連結CQ（1）觀察并猜想AP與CQ之間的大小關系，并證明你的結論；（2）若P

14、A：PB：PC=3：4：5，連接PQ，試判斷PQC的形狀，并說明理由第四部分 提高訓練1、已知a，b，c是直角三角形的三條邊，且abc，斜邊上的高為h，則下列說法中正確的是 （只填序號） a2b2+h4=（a2+b2+1）h2；b4+c2h2=b2c2；由， ，可以構成三角形；直角三角形的面積的最大值是 2、若a，b，c是直角三角形的三條邊長，斜邊c上的高的長是h，給出下列結論：、以a2，b2，c2的長為邊的三條線段能組成一個三角形、以，的長為邊的三條線段能組成一個三角形、以a+b，c+h，h的長為邊的三條線段能組成直角三角形、以 ， 的長為邊的三條線段能組成直角三角形 其中所有正確結論的序號

15、為 。3、在ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，設c為最長邊，當a2+b2=c2時，ABC是直角三角形；當a2+b2c2時，利用代數(shù)式a2+b2和c2的大小關系，探究ABC的形狀（按角分類）（1）當ABC三邊分別為6、8、9時，ABC為 銳角 三角形；當ABC三邊分別為6、8、11時，ABC為 三角形（2）猜想，當a2+b2 c2時，ABC為銳角三角形；當a2+b2 c2時，ABC為鈍角三角形（3）判斷當a=2，b=4時，ABC的形狀，并求出對應的c的取值范圍4、某園藝公司對一塊直角三角形的花圃進行改造，測得兩直角邊長為6m、8m現(xiàn)要將其擴建成等腰三角形，且擴充部分是以8m為直角邊的直角三

16、角形求擴建后的等腰三角形花圃的周長。5、已知，ABC是邊長3cm的等邊三角形動點P以1cm/s的速度從點A出發(fā)，沿線段AB向點B運動（1）如圖1，設點P的運動時間為t（s），那么t=_（s）時，PBC是直角三角形；（2）如圖2，若另一動點Q從點B出發(fā)，沿線段BC向點C運動，如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發(fā)設運動時間為t（s），那么t為何值時，PBQ是直角三角形？（3）如圖3，若另一動點Q從點C出發(fā)，沿射線BC方向運動連接PQ交AC于D如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發(fā)設運動時間為t（s），那么t為何值時，DCQ是等腰三角形？（4）如圖4，若另一動點Q從點C出發(fā)，沿射線BC方向

17、運動連接PQ交AC于D，連接PC如果動點P、Q都以1cm/s的速度同時出發(fā)請你猜想：在點P、Q的運動過程中，PCD和QCD的面積有什么關系？并說明理由第五部分 課后作業(yè)1、分別有下列幾組數(shù)據(jù)：6、8、10 12、13、5 17、8 、15 4、11、9其中能構成直角三形的有（ ）A、4組 B、3組 C、2組 D、1組2、下列三角形中不是直角三角形的是（ ）A、三個內角之比為561 B、其中一邊上的中線等于這一邊的一半C、三邊之長為9、40、41 D、三邊之比為1.5 : 2 : 33、若ABC的三邊a、b、c滿足(a-b)(a2+b2-c2)=0，則ABC是（ ） A、等腰三角形 B、等邊三角

18、形 C、等腰直角三角形 D、等腰三角形或直角三角形4、三角形的三邊長分別為（都是正整數(shù)）則這個三角形是（ ） A、直角三角形 B、鈍角三角形 C、銳角三角形 D、不能確定5、下列命題的逆命題正確的是（ ） A、如果兩個角是直角，那么它們相等 B、全等三角形的對應角相等 C、如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方也相等 D、到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上6、下列五個命題：（1）若直角三角形的兩條邊長為5和12，則第三邊長是13；（2）如果a0，那么=a（3）若點P（a，b）在第三象限，則點P（a，b+1）在第一象限；（4）對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形；（5）兩邊及第三邊上的中線對應相等的兩個三角形全等 其中不正確命題的個數(shù)是（） A、2個 B、3個 C、4個 D、5個7、已知ABC中，a2b2c210a24b26c338，試判定ABC的形狀，并說明你的理由.8、如圖所示，在ABC中，AB：BC：CA=3：4：5，且周長為36cm，點P從點A開始沿AB邊向B點以每秒1cm的速度移動；點Q從點B沿BC邊向點C以每秒2cm的速度移動，如果同時出發(fā)，則過3秒時，BPQ的面積為多少cm2？9、如圖，在我國沿海有一艘不明國際的輪船進入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個基地前去攔截，六分鐘