專題提升5 與垂徑定理有關的輔助線

1、專題提升5與垂徑定理有關的輔助線1如圖所示為一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，若水面AB寬為8 cm，輸水管底部到水面的距離為2 cm，則該輸水管的半徑為(C)(第1題)A3 cm B4 cmC5 cm D6 cm【解】連結OA，過點O作OCAB交AB于點D.設該輸水管的半徑為r(cm)AB寬為8 cm，AD4 cm.DC2 cm，OD(r2) cm，r2(r2)242，r5(cm)2如圖，石拱橋的橋頂到水面的距離CD為8 m，橋拱半徑OC為5 m，則水面寬AB為(D)(第2題)A4 m B5 mC6 m D8 m【解】連結OA.CD8，OC5，OD3.由已知，得CDAB，則AD25

2、232，解得AD4.AB8.3已知O的直徑CD10 cm，AB是O的弦，ABCD，垂足為M，且AB8 cm，則AC的長為(C)A2 cm B4 cmC2 cm或4 cm D2 cm或4 cm【解】連結AO.當點C的位置如解圖所示時，易得AC4(cm)；當點C的位置如解圖所示時，易得AC2(cm)(第3題解)4如圖，O的直徑為10 cm，弦AB為8 cm，P是弦AB上一點若OP的長是整數，則滿足條件的點P有(D)(第4題)A2個 B3個C4個 D5個【解】過點O作OCAB于點C，連結OA.OA5，ACAB4，OC3.3OP5，OP的長為3或4或5.當OP3時，點P只能與點C重合；當OP4時，點P

3、可以在AC上，也可以在BC上，有2個點P；當OP5時，點P與點A或點B重合綜上所述，滿足條件的點P有5個5如圖，在以點O為圓心的同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點C，D，AB2CD，弦AB的弦心距OPCD，小圓和大圓的半徑分別為r，R，則(第5題)【解】連結OC，OA.AB2CD，OPCD，OPAB，OPCPAP.R2OP2AP25OP2，r2OP2CP22OP2，ROP，rOP，.6如圖，O的半徑OP10 cm，弦AB過OP的中點Q，且OQB45°，則弦AB的弦心距為cm，弦AB的長為5cm.(第6題)【解】過點O作OCAB于點C，連結OA.O的半徑OP10 cm，弦AB過OP的中點

4、Q，OQ5 cm.OCQ90°，OQB45°，OCQ為等腰直角三角形，OC cm.在RtAOC中，根據勾股定理，得AC cm，AB2AC5 cm.7已知O的半徑為2，弦BC2 ，A是O上一點，且，直線AO與BC交于點D，則AD的長為1或3【解】O的半徑為2，弦BC2 ，A是O上一點，且，ADBC，BDBC.分兩種情況討論：如解圖所示，連結OB.在RtOBD中，BD2OD2OB2，即()2OD222，解得OD1.ADOAOD211.(第7題解)如解圖所示，連結OB.同理于，得ADOAOD213.8如圖，在RtAOB中，O90°，OA6，OB8.以點O為圓心，OA長為

5、半徑作圓交AB于點C，求BC的長【解】過點O作AB的垂線，垂足為E，連結OC.AB10，(第8題)OE4.8，AE3.6，AC2AE7.2，BCABAC107.22.8.(第9題)9如圖，AB為O的直徑，弦CDAB，弦DEAB.求證：.【解】過圓心O作OGCD交O于點G，交CD于點H.OGCD，.又CDAB，OGAB.DEAB，且AB是O的直徑，.10如圖，半徑為5的P與y軸交于點M(0，4)，N(0，10)，函數y(x<0)的圖象過點P，求k的值(第10題)【解】過點P作PAMN于點A，連結PM，PN.點M(0，4)，N(0，10)，MN6.PAMN，MAMN3.OA|4|37.在Rt

6、MPA中，PA4，點P(4，7)將點P(4，7)的坐標代入y，得k28.11已知ABC內接于O，且ABAC，O的半徑等于6 cm，點O到BC的距離為2 cm，求AB的長【解】當ABC是銳角三角形時，如解圖所示，連結OB，OA，延長AO交BC于點D，易知ADBC.在RtOBD中，OB6 cm，OD2 cm，BD4 (cm)在RtABD中，ADOAOD628(cm)，BD4 cm，AB4(cm)(第11題解)當ABC是鈍角三角形時，如解圖所示，連結OB，OA，OA與BC交于點D，易知OABC.在RtOBD中，OB6 cm，OD2 cm，BD4 (cm)在RtABD中，ADOAOD624(cm)，B

7、D4 cm，AB4 (cm)綜上所述，AB的長為4 cm或4 cm.12如圖所示為一座橋，橋拱是弧形(水面上的部分)，測量時，只測得橋拱下水面寬AB為16 m，橋拱最高處C離水面4 m.(1)求橋拱所在圓的半徑(2)若大雨過后，橋下水面寬為12 m，問：水面上漲了多少？(第12題)【解】(1)如解圖，設點O為的圓心，連結OA，OC，OC交AB于點D.根據題意，可得C是的中點，OCAB，ADAB×168(m)設O的半徑為x(m)，則在RtOAD中，OA2AD2OD2，即x282(x4)2，解得x10.橋拱所在圓的半徑為10 m.(第12題解)(2)設河水上漲到EF的位置，如解圖，這時E

8、F12 m，EFAB，則OCEF(垂足為M)，EMEF6 m.連結OE，則有OE10 m.OM8(m)ODOCCD1046(m)，DMOMOD862(m)，即水面上漲了2 m.13工人師傅為檢測該廠生產的一種鐵球的大小是否符合要求，設計了一個尺寸(單位： cm)如圖所示的工件槽，其中工件槽的兩個底角均為90°.將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內時，若同時具有如圖所示的A，B，E三個接觸點，則該球的大小就符合要求如圖是過球心O及A，B，E三點的截面示意圖，已知O的直徑就是鐵球的直徑，AB是O的弦，CD與O交于點E，ACCD，BDCD.請你結合圖中的數據，計算這種符合要求的鐵球的直徑(第13題)(