專題提升5 與垂徑定理有關(guān)的輔助線

1、專題提升5與垂徑定理有關(guān)的輔助線1如圖所示為一圓柱形輸水管的橫截面，陰影部分為有水部分，若水面AB寬為8 cm，輸水管底部到水面的距離為2 cm，則該輸水管的半徑為(C)(第1題)A3 cm B4 cmC5 cm D6 cm【解】連結(jié)OA，過點(diǎn)O作OCAB交AB于點(diǎn)D.設(shè)該輸水管的半徑為r(cm)AB寬為8 cm，AD4 cm.DC2 cm，OD(r2) cm，r2(r2)242，r5(cm)2如圖，石拱橋的橋頂?shù)剿娴木嚯xCD為8 m，橋拱半徑OC為5 m，則水面寬AB為(D)(第2題)A4 m B5 mC6 m D8 m【解】連結(jié)OA.CD8，OC5，OD3.由已知，得CDAB，則AD25

2、232，解得AD4.AB8.3已知O的直徑CD10 cm，AB是O的弦，ABCD，垂足為M，且AB8 cm，則AC的長(zhǎng)為(C)A2 cm B4 cmC2 cm或4 cm D2 cm或4 cm【解】連結(jié)AO.當(dāng)點(diǎn)C的位置如解圖所示時(shí)，易得AC4(cm)；當(dāng)點(diǎn)C的位置如解圖所示時(shí)，易得AC2(cm)(第3題解)4如圖，O的直徑為10 cm，弦AB為8 cm，P是弦AB上一點(diǎn)若OP的長(zhǎng)是整數(shù)，則滿足條件的點(diǎn)P有(D)(第4題)A2個(gè) B3個(gè)C4個(gè) D5個(gè)【解】過點(diǎn)O作OCAB于點(diǎn)C，連結(jié)OA.OA5，ACAB4，OC3.3OP5，OP的長(zhǎng)為3或4或5.當(dāng)OP3時(shí)，點(diǎn)P只能與點(diǎn)C重合；當(dāng)OP4時(shí)，點(diǎn)P

3、可以在AC上，也可以在BC上，有2個(gè)點(diǎn)P；當(dāng)OP5時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合綜上所述，滿足條件的點(diǎn)P有5個(gè)5如圖，在以點(diǎn)O為圓心的同心圓中，大圓的弦AB交小圓于點(diǎn)C，D，AB2CD，弦AB的弦心距OPCD，小圓和大圓的半徑分別為r，R，則(第5題)【解】連結(jié)OC，OA.AB2CD，OPCD，OPAB，OPCPAP.R2OP2AP25OP2，r2OP2CP22OP2，ROP，rOP，.6如圖，O的半徑OP10 cm，弦AB過OP的中點(diǎn)Q，且OQB45°，則弦AB的弦心距為cm，弦AB的長(zhǎng)為5cm.(第6題)【解】過點(diǎn)O作OCAB于點(diǎn)C，連結(jié)OA.O的半徑OP10 cm，弦AB過OP的中點(diǎn)

4、Q，OQ5 cm.OCQ90°，OQB45°，OCQ為等腰直角三角形，OC cm.在RtAOC中，根據(jù)勾股定理，得AC cm，AB2AC5 cm.7已知O的半徑為2，弦BC2 ，A是O上一點(diǎn)，且，直線AO與BC交于點(diǎn)D，則AD的長(zhǎng)為1或3【解】O的半徑為2，弦BC2 ，A是O上一點(diǎn)，且，ADBC，BDBC.分兩種情況討論：如解圖所示，連結(jié)OB.在RtOBD中，BD2OD2OB2，即()2OD222，解得OD1.ADOAOD211.(第7題解)如解圖所示，連結(jié)OB.同理于，得ADOAOD213.8如圖，在RtAOB中，O90°，OA6，OB8.以點(diǎn)O為圓心，OA長(zhǎng)為

5、半徑作圓交AB于點(diǎn)C，求BC的長(zhǎng)【解】過點(diǎn)O作AB的垂線，垂足為E，連結(jié)OC.AB10，(第8題)OE4.8，AE3.6，AC2AE7.2，BCABAC107.22.8.(第9題)9如圖，AB為O的直徑，弦CDAB，弦DEAB.求證：.【解】過圓心O作OGCD交O于點(diǎn)G，交CD于點(diǎn)H.OGCD，.又CDAB，OGAB.DEAB，且AB是O的直徑，.10如圖，半徑為5的P與y軸交于點(diǎn)M(0，4)，N(0，10)，函數(shù)y(x<0)的圖象過點(diǎn)P，求k的值(第10題)【解】過點(diǎn)P作PAMN于點(diǎn)A，連結(jié)PM，PN.點(diǎn)M(0，4)，N(0，10)，MN6.PAMN，MAMN3.OA|4|37.在Rt

6、MPA中，PA4，點(diǎn)P(4，7)將點(diǎn)P(4，7)的坐標(biāo)代入y，得k28.11已知ABC內(nèi)接于O，且ABAC，O的半徑等于6 cm，點(diǎn)O到BC的距離為2 cm，求AB的長(zhǎng)【解】當(dāng)ABC是銳角三角形時(shí)，如解圖所示，連結(jié)OB，OA，延長(zhǎng)AO交BC于點(diǎn)D，易知ADBC.在RtOBD中，OB6 cm，OD2 cm，BD4 (cm)在RtABD中，ADOAOD628(cm)，BD4 cm，AB4(cm)(第11題解)當(dāng)ABC是鈍角三角形時(shí)，如解圖所示，連結(jié)OB，OA，OA與BC交于點(diǎn)D，易知OABC.在RtOBD中，OB6 cm，OD2 cm，BD4 (cm)在RtABD中，ADOAOD624(cm)，B

7、D4 cm，AB4 (cm)綜上所述，AB的長(zhǎng)為4 cm或4 cm.12如圖所示為一座橋，橋拱是弧形(水面上的部分)，測(cè)量時(shí)，只測(cè)得橋拱下水面寬AB為16 m，橋拱最高處C離水面4 m.(1)求橋拱所在圓的半徑(2)若大雨過后，橋下水面寬為12 m，問：水面上漲了多少？(第12題)【解】(1)如解圖，設(shè)點(diǎn)O為的圓心，連結(jié)OA，OC，OC交AB于點(diǎn)D.根據(jù)題意，可得C是的中點(diǎn)，OCAB，ADAB×168(m)設(shè)O的半徑為x(m)，則在RtOAD中，OA2AD2OD2，即x282(x4)2，解得x10.橋拱所在圓的半徑為10 m.(第12題解)(2)設(shè)河水上漲到EF的位置，如解圖，這時(shí)E

8、F12 m，EFAB，則OCEF(垂足為M)，EMEF6 m.連結(jié)OE，則有OE10 m.OM8(m)ODOCCD1046(m)，DMOMOD862(m)，即水面上漲了2 m.13工人師傅為檢測(cè)該廠生產(chǎn)的一種鐵球的大小是否符合要求，設(shè)計(jì)了一個(gè)尺寸(單位： cm)如圖所示的工件槽，其中工件槽的兩個(gè)底角均為90°.將形狀規(guī)則的鐵球放入槽內(nèi)時(shí)，若同時(shí)具有如圖所示的A，B，E三個(gè)接觸點(diǎn)，則該球的大小就符合要求如圖是過球心O及A，B，E三點(diǎn)的截面示意圖，已知O的直徑就是鐵球的直徑，AB是O的弦，CD與O交于點(diǎn)E，ACCD，BDCD.請(qǐng)你結(jié)合圖中的數(shù)據(jù)，計(jì)算這種符合要求的鐵球的直徑(第13題)(