導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用

1、導(dǎo)數(shù)在實(shí)際生活中的應(yīng)用教學(xué)目的：1. 進(jìn)一步熟練函數(shù)的最大值與最小值的求法；初步會(huì)解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題 教學(xué)重點(diǎn)：解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題教學(xué)難點(diǎn)：解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題 一、自學(xué)導(dǎo)案： 1.極大值： 一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)f(x0)，就說(shuō)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極大值，記作y極大值=f(x0)，x0是極大值點(diǎn)2.極小值：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)在x0附近有定義，如果對(duì)x0附近的所有的點(diǎn)，都有f(x)f(x0).就說(shuō)f(x0)是函數(shù)f(x)的一個(gè)極小值，記作y極小值=f(x0)，x0是極小值點(diǎn)3.

2、極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 4. 判別f(x0)是極大、極小值的方法:若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則是的極值點(diǎn)，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的極大值點(diǎn)，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點(diǎn)，是極小值5. 求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟: (1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f(x) (2)求方程f(x)=0的根(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開(kāi)區(qū)間，并列成表格.檢查f(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)即都為正或都為負(fù)，那么f(x)在

3、這個(gè)根處無(wú)極值6.函數(shù)的最大值和最小值:在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在上必有最大值與最小值在開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)的函數(shù)不一定有最大值與最小值 函數(shù)的最值是比較整個(gè)定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點(diǎn)附近函數(shù)值得出的函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，是在閉區(qū)間上有最大值與最小值的充分條件而非必要條件(4)函數(shù)在其定義區(qū)間上的最大值、最小值最多各有一個(gè)，而函數(shù)的極值可能不止一個(gè)，也可能沒(méi)有一個(gè)7.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值步驟:求在內(nèi)的極值；將的各極值與、比較得出函數(shù)在上的最值二、講解范例：例1在邊長(zhǎng)為60 cm的正方形鐵片的四角切去相等的正方形，再把它的邊沿虛線折起(如圖)，做成一個(gè)無(wú)蓋的方底箱子，箱底的邊長(zhǎng)是多少時(shí)，箱

4、底的容積最大？最大容積是多少？解法一：設(shè)箱底邊長(zhǎng)為xcm，則箱高cm，得箱子容積 令 0，解得 x=0（舍去），x=40， 并求得V(40)=16 000·由題意可知，當(dāng)x過(guò)?。ń咏?）或過(guò)大（接近60）時(shí)，箱子容積很小，因此，16 000是最大值答：當(dāng)x=40cm時(shí)，箱子容積最大，最大容積是16 000cm3解法二：設(shè)箱高為xcm，則箱底長(zhǎng)為(60-2x)cm，則得箱子容積（后面同解法一，略）由題意可知，當(dāng)x過(guò)小或過(guò)大時(shí)箱子容積很小，所以最大值出現(xiàn)在極值點(diǎn)處事實(shí)上，可導(dǎo)函數(shù)、在各自的定義域中都只有一個(gè)極值點(diǎn)，從圖象角度理解即只有一個(gè)波峰，是單峰的，因而這個(gè)極值點(diǎn)就是最值點(diǎn)，不必考慮

5、端點(diǎn)的函數(shù)值例2圓柱形金屬飲料罐的容積一定時(shí)，它的高與底與半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用的材料最??？解：設(shè)圓柱的高為h，底半徑為R，則表面積S=2Rh+2R2由V=R2h，得，則S(R)= 2R+ 2R2=+2R2 令+4R=0解得，R=，從而h=2 即h=2R因?yàn)镾(R)只有一個(gè)極值，所以它是最小值答：當(dāng)罐的高與底直徑相等時(shí)，所用材料最省變式：當(dāng)圓柱形金屬飲料罐的表面積為定值S時(shí)，它的高與底面半徑應(yīng)怎樣選取，才能使所用材料最??？ 提示：S=2+h=V(R)=R= )=0 三、課堂練習(xí)：1.函數(shù)y=2x33x212x+5在0，3上的最小值是_.2.函數(shù)f(x)=sin2xx在,上的最大值為_(kāi)；最小

6、值為_(kāi).3.將正數(shù)a分成兩部分，使其立方和為最小，這兩部分應(yīng)分成_和_.4.使內(nèi)接橢圓=1的矩形面積最大，矩形的長(zhǎng)為_(kāi)，寬為_(kāi).5.在半徑為R的圓內(nèi)，作內(nèi)接等腰三角形，當(dāng)?shù)走吷细邽開(kāi)時(shí)，它的面積最大答案：1. 15 2. 3. 4.a b 5.R四、小結(jié) ：解有關(guān)函數(shù)最大值、最小值的實(shí)際問(wèn)題，需要分析問(wèn)題中各個(gè)變量之間的關(guān)系，找出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)關(guān)系式，并確定函數(shù)的定義區(qū)間；所得結(jié)果要符合問(wèn)題的實(shí)際意義根據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義來(lái)判斷函數(shù)最值時(shí)，如果函數(shù)在此區(qū)間上只有一個(gè)極值點(diǎn)，那么這個(gè)極值就是所求最值，不必再與端點(diǎn)值比較相當(dāng)多有關(guān)最值的實(shí)際問(wèn)題用導(dǎo)數(shù)方法解決較簡(jiǎn)單 五、課后作業(yè)：1.有一邊長(zhǎng)分別為8與5的長(zhǎng)方形，在各角剪去相同的小正方形，把四邊折起作成一個(gè)無(wú)蓋小盒，要使紙盒的容積最大，問(wèn)剪去的小正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)為多少？解：（1）正方形邊長(zhǎng)為x,則V=（82x)·(52x)x=2(2x313x2+20x)(0<x<)V=4(3x213x+10)(0<x<),V=0得x=1 根據(jù)實(shí)際情況，小盒容積最大是存在的，當(dāng)x=1時(shí)，容積V取最大值為18.