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1、正弦定理教案戶縣第八中學(xué) 黃曄一、 教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課時(shí)“正弦定理”教學(xué)的第一課時(shí),主要任務(wù)是引入并證明正弦定理,同時(shí)在這個(gè)過(guò)程中,復(fù)習(xí)鞏固舊知識(shí),讓學(xué)生掌握新知識(shí),體會(huì)知識(shí)間的聯(lián)系。教學(xué)過(guò)程中,應(yīng)發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性,通過(guò)探究,引導(dǎo)學(xué)生提出猜想,進(jìn)而證明猜想的正確性。培養(yǎng)學(xué)生敢于猜想,善于思考的品質(zhì)。二、 學(xué)生情況分析學(xué)生在初中已經(jīng)學(xué)習(xí)了解直角三角形的內(nèi)容,又學(xué)習(xí)了三角函數(shù)的基礎(chǔ)知識(shí)與平面向量的有關(guān)內(nèi)容,但前后知識(shí)間的聯(lián)系,理解,應(yīng)用有一定的困難,因此教師應(yīng)恰當(dāng)?shù)囊龑?dǎo),調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,重視定理的探究過(guò)程,讓學(xué)生體會(huì)到成功的喜悅。三、 設(shè)計(jì)思想本節(jié)課是定理的探究課,重點(diǎn)是定理的發(fā)現(xiàn)與證明
2、,因此以問(wèn)題為導(dǎo)向設(shè)計(jì)教學(xué)情境,為學(xué)生提供自由表達(dá),質(zhì)疑和探究的機(jī)會(huì),讓學(xué)生在一定的情況下,運(yùn)用自己已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn),并通過(guò)與他人的協(xié)作,而主動(dòng)的獲取知識(shí)。體會(huì)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展的過(guò)程。四、 教學(xué)目標(biāo)1. 讓學(xué)生從已有的知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)出發(fā),逐步理解和掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法。2. 通過(guò)探究,培養(yǎng)學(xué)生合理猜想,探索數(shù)學(xué)知識(shí)和規(guī)律的能力和方法,體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)發(fā)生和創(chuàng)造的過(guò)程。3. 通過(guò)學(xué)生之間,師生之間的交流與合作,增強(qiáng)學(xué)生的交流和協(xié)作能力。五、 重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn):正弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明難點(diǎn):正弦定理的證明六、 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)創(chuàng)設(shè)情景,提出問(wèn)題問(wèn)題1:一般三角形全等的判斷方法有哪些?學(xué)生可以回答得出SSS
3、,SAS,AAS,ASA這四種。師:這四種方法有什么特點(diǎn)?這說(shuō)明什么樣的條件可以確定一個(gè)三角形?生1:都有3個(gè)條件。生2:三個(gè)邊的條件。生3:兩條邊一個(gè)角。生4:兩個(gè)角一條邊。師:也就是說(shuō),如果有一個(gè)三角形,一部分角和一部分邊已知,這個(gè)三角形的其他邊和角也就隨之確定了,因此三角形的邊和角之間一定存在某種聯(lián)系吧?!驹O(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)舊知識(shí),同時(shí)引出新知識(shí)。問(wèn)題2:在江河上修建大橋前,往往需要預(yù)先測(cè)量出大橋的長(zhǎng)度AB(如圖),于是在江邊取了一個(gè)測(cè)量點(diǎn)C. BAC圖1 BAC圖2(1) 如圖1,若CB=1000m, ACB=45,ABC=90 ,由以上數(shù)據(jù),能算出AB的長(zhǎng)嗎?(2) 如圖2,若CB=10
4、00m, ACB=45,ABC=75 ,由以上數(shù)據(jù),能算出AB的長(zhǎng)嗎?對(duì)于情形1,學(xué)生很容易想到解直角三角形的方法,得出AB=BC=1000m。對(duì)于情形2,就會(huì)有很多不同的表達(dá)。但因?yàn)橛辛饲樾?的鋪墊,不難想到轉(zhuǎn)化為解直角三角形的方法。生:過(guò)作ADBC于點(diǎn)D(如圖3),則BD=ABcos75,CD=AD=ABsin75,從而B(niǎo)C=BD+CD= ABcos75+ ABsin75AB=(m) ACDB圖3 ACDB圖4 師:非常好,那可不可以作其他的高線呢?生:如圖4,過(guò),B作BDAC于點(diǎn)D,則BD=BCsin45=ABsin60, AB=師:對(duì)學(xué)生加以贊賞,并適時(shí)引導(dǎo)在剛才的推理過(guò)程中,若把已知
5、的BC寫(xiě)成,要求的AB寫(xiě)成,你能發(fā)現(xiàn),和A,C之間有什么關(guān)系嗎?生:。師: 這個(gè)式子為了便于記憶,往往寫(xiě)成,那么,他們是否也等于呢?生:等于。師:那么這個(gè)結(jié)果是否對(duì)一切的三角形都成立呢?【設(shè)計(jì)意圖】從實(shí)際問(wèn)題入手,提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,激發(fā)學(xué)生的求知欲,引導(dǎo)學(xué)生把新問(wèn)題轉(zhuǎn)化成用已有的知識(shí)來(lái)解決。在解決問(wèn)題后,對(duì)特殊問(wèn)題一般化,大膽提出猜想,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn),驗(yàn)證猜想。 請(qǐng)學(xué)生用三角板,計(jì)算器,量角器為工具,對(duì)上述猜想加以驗(yàn)證,進(jìn)而得出:在任意三角形中,。A【設(shè)計(jì)意圖】培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力。證明探究1. 特殊入手。CB在RtABC中,如何證明?生:,從而在RtABC中, 。2.
6、 推廣與擴(kuò)展問(wèn)題1:在銳角ABC中,如何證明? 受上面的啟發(fā),學(xué)生比較容易想到以下方法。生:過(guò)作ADBC于點(diǎn)D,則,從而,同理可得,因此,。問(wèn)題2:在鈍角ABC中,如何證明? 可不可以仍然過(guò)A作BC的垂線呢(如圖)?讓學(xué)生進(jìn)行小組討論,找出規(guī)律。 生:AD=,從而,得證。師:非常好。這樣我們就可以通過(guò)把銳角和鈍角三角形轉(zhuǎn)化成直角三角形處理,非常容易的證明出上述結(jié)果了。這條性質(zhì)我們稱(chēng)之為正弦定理,也就是在一個(gè)三角形中,每一邊和它所對(duì)的角的正弦的比相等。即。【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)“化歸“的思想,把銳角三角形和鈍角三角形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為直角三角形問(wèn)題是很自然的,學(xué)生易于接受,并且由于有上面的鋪墊,學(xué)生不難想到上
7、述的方法。問(wèn)題3:既然都等于同一個(gè)比值,那么這個(gè)比值有什么特殊的意義嗎?引導(dǎo)學(xué)生回顧前面正弦定理的證明過(guò)程,從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律。生:在RtABC中,。師:斜邊c的長(zhǎng)度在直角三角形中還反映什么?生:外接圓的直徑。師:很好,外接圓的直徑2R ,因此=2R,那么,對(duì)于一般的三角形又是不是這樣的呢?我們又該如何證明?生:作出ABC的外接圓O看看。 BDCA,同理可得=2R。【設(shè)計(jì)意圖】進(jìn)一步探究“=2R”,一方面加深了學(xué)生對(duì)正弦定理的理解和記憶;另一方面,學(xué)生在學(xué)了正弦定理后也會(huì)很好奇的想知道這個(gè)值為什么總相等,通過(guò)外接圓就把不同的三角形類(lèi)型之間的共同點(diǎn)給揭示出來(lái)了,讓學(xué)生體會(huì)發(fā)現(xiàn)的快樂(lè)。問(wèn)題4:今天我們通
8、過(guò)“作高法”,“作外接圓法”證明了正弦定理=2R。前面我們剛剛學(xué)了平面向量,在平面向量中,數(shù)量積就在向量的長(zhǎng)度和夾角之間建立了聯(lián)系,這和正弦定理是很相像的。那么,我們可不可以用向量的方法來(lái)證明正弦定理呢?學(xué)生小組討論,教師適時(shí)引導(dǎo),讓學(xué)生與前面用的平面幾何的方法對(duì)比。生:在銳角三角形中,可以作的法向量(如圖)。則·=0,·=·=·+· = =從而, 因此同理可得:ACB 對(duì)于直角三角形和鈍角三角形的情形,請(qǐng)同學(xué)們?cè)谡n后去探究一下?!驹O(shè)計(jì)意圖】向量,把數(shù)和形融為一體,是很重要的數(shù)學(xué)工具,但學(xué)生對(duì)如何用向量法證明幾何問(wèn)題相對(duì)比較生疏,通過(guò)前面幾何法的鋪墊,學(xué)生感受起來(lái)就輕松多了。而且向量法證明簡(jiǎn)便快捷,也可以體會(huì)到向量法的優(yōu)點(diǎn),從而在今后會(huì)主動(dòng)去嘗試和學(xué)習(xí)用向量的方法分析和解決問(wèn)題,為后續(xù)知識(shí)(余弦定理等)的學(xué)習(xí)打下了基礎(chǔ)。定理的簡(jiǎn)單應(yīng)用 現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們利用正弦定理解決一開(kāi)始提出的問(wèn)題。生:在ABC中,180BC=60(m)【設(shè)計(jì)意圖】利用正弦定理解決一開(kāi)始提出的問(wèn)題,既簡(jiǎn)單又快捷,讓學(xué)生體會(huì)到正弦定理的重要性,認(rèn)識(shí)到正弦定理是今后處理三角形問(wèn)題的有力的武器。嘗試小結(jié) 引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)本節(jié)課的內(nèi)容,讓學(xué)生思考交流,歸納總結(jié),教師及時(shí)補(bǔ)充。這里面要體現(xiàn)以下幾點(diǎn)。正弦定理的內(nèi)
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