數(shù)學(xué)大師伯利亞

1、數(shù)學(xué)大師波利亞怎樣解題精華摘要 2006-4-24 7:19:00 | By: Sniper135  (玻利亞的怎樣解題曾經(jīng)掀起歐美數(shù)學(xué)界的震動。他是一位基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)家和教育家，作為數(shù)學(xué)家，他在數(shù)學(xué)的各個分支中，都有璀璨的成就。歐美的數(shù)學(xué)家曾經(jīng)呼吁，學(xué)數(shù)學(xué)的人，要讀讀波利亞，不學(xué)數(shù)學(xué)的人，也要讀讀波利亞。數(shù)學(xué)老師要讀讀波利亞，初中生高中生大學(xué)生要讀，數(shù)學(xué)家也要讀讀波利亞。他寫的怎樣解題，介紹了在數(shù)學(xué)中的普遍規(guī)律，幾乎全部是文字敘述。為了方便大家更快的閱讀，節(jié)省時間，我整理了一下，這樣，您在10分鐘之內(nèi)，就可以讀完。有些地方，值得反復(fù)閱讀，牢記)解題是對過去的回憶讓目標(biāo)調(diào)動你的記憶力。我

2、能做什么?觀察揣摩整個問題，盡量使其清晰而鮮明。暫時先拋開細節(jié)。這樣做，我能得到什么好處?你會明白問題，使自己熟悉問題，并把問題的目標(biāo)牢記在腦海中。這樣全神貫注地對待問題也會調(diào)動起你的記憶力，即便非常遲鈍和平凡、并且以前沒有能力推 任何事物的學(xué)生，最后也會被迫對解題的思路至少作出微小的貢獻。我應(yīng)該從哪兒開始?從問題的敘述開始,我能做什么?觀察揣摩整個問題，盡量使其清晰而鮮明。暫時先拋開細節(jié)。這樣做，我能得到什么好處?你會明白問題，使自己熟悉問題，并把問題的目標(biāo)牢記在腦海中。這樣全神貫注地對待問題也會調(diào)動起你的記憶力，做好準(zhǔn)備去重新聯(lián)想與問題有關(guān)的各點。力圖利用已知結(jié)果和回到定義去，是引入輔助元

3、素的一些最好的理由；但它們不是僅有的理由。為了使問題的概念更完整，更富于啟發(fā)性，更為人所熟悉，我們可以引入輔助元素，雖然目前我們幾乎不知道我們怎樣才能利用這些所添加的元素。我們可能僅僅感覺到加上這樣那樣的元素用那種方式看問題是個"好念頭"。      探尋你解題步驟目的和動機如果一條微妙的輔助線在圖中出現(xiàn)得很突然看不出任何動機，并且令人驚訝地解決了問題，那末聰明的讀者和學(xué)生將會失望，他們感到上當(dāng)受騙。因為只有在我們的論證及發(fā)明會創(chuàng)造的能力中充分發(fā)揮了數(shù)學(xué)的作用后，數(shù)學(xué)才是有趣味的。如果最引人注目的步驟的動機和目的不可理解，那么我們在論

4、證和發(fā)明創(chuàng)造方面就學(xué)不到什么東西。為使這樣的步驟可以理解，需要加以適當(dāng)?shù)恼f明(如前面(3)中所做的那樣)，或者精選問題和建議(象第lO、18、*9、20節(jié)中所做的那樣)，這需要大量的時間和精力，但卻是值得一做的。    人和飛蟲的區(qū)別一只飛蟲企圖穿過窗戶玻璃逃出去，它在同一扇窗戶上試了又試，而不去試試附近打開的窗戶，而那扇窗戶就是它進來的那扇。人能夠或者至少能夠行動得更聰明些。人的高明之處就在于當(dāng)他碰到一個不能直接克服的障礙時，他會繞過去；當(dāng)原來的問題看起來似乎不好解時，就想出一個合適的輔助問題。構(gòu)想一個輔助問題是一項重要的思維活動。舉出一個有助于另一問題的清晰的新問題，能

5、夠清楚地把 到另一目標(biāo)的手段設(shè)想成一個新目標(biāo)，這都是運用智慧的卓越成就。學(xué)會(或教會)怎樣聰明地處理輔助問題是一項重大任務(wù)。但是，我將煞費苦心地用清晰的詞句來說明所有有才能的人所遵循的研究規(guī)則與方法人們可能認為，這種現(xiàn)象對于處理某個高級問題的有經(jīng)驗的數(shù)學(xué)家要比那些解決某個初等問題的初學(xué)者更有可能發(fā)生?？墒?，具有大量數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)家比初學(xué)者更容易冒濫用知識而使論證不必要地復(fù)雜起來的危險。但作為補償?shù)氖?，有?jīng)驗的數(shù)學(xué)家比初學(xué)者更能重視結(jié)果中細微部分的重新解釋，并且把它們積聚起來，最終重新寫出整個結(jié)果。解題本質(zhì)，跨越鴻溝在我們面前有個未解決的問題，一個隨便用什么方法處理的問題。我們必須找出已知與未知

6、間的聯(lián)系。我們可以把我們待解的問題表示成已知與未知之間的廣闊空間，當(dāng)作已知與未知之間的一道鴻溝，在其上需要架橋。我們架橋可以從任何一邊(從未知或者從已知)開始    一個高水平的學(xué)生對此也可能一籌莫展。當(dāng)然，有各種辦法可試，但幫助學(xué)生精神重新振作起來的最好問題是：你能從已知事項導(dǎo)出什么有用的東西如果你鉆到細節(jié)中去，你可能會在細節(jié)中迷途。過多或過細的具體情節(jié)是腦力的一種負擔(dān)。它們?nèi)缫蝗~障目會阻礙你充分注意主要之點，甚至使你完全看不到主要之點，只見樹木而不見森林。我們當(dāng)然不希望為不必要的細節(jié)去浪費我們的時間，我們應(yīng)該把我們的精力用到主要內(nèi)容上。困難就在于我們事先說不出哪些細節(jié)最

7、后會變成主要的，而哪些又不會。      數(shù)學(xué)的解題是一種組合當(dāng)然，重新組合的可能性是無限的。困難的問題需要有一種神奇的、不尋常的、嶄新的組合。而解題者的才能就在于組合的獨創(chuàng)性。但也存在著某些普通的、相對簡單的組合，它們對于較簡單的問題而言已經(jīng)夠用。對于這樣的組合我們應(yīng)當(dāng)徹底加以了解并且首先試用，即使我們最后不得不求助于不太顯而易見的方法。     消去花哨讓人犯怵的數(shù)學(xué)專業(yè)術(shù)語，回到定義上，看到客觀事實的真正聯(lián)系。（你看到WC你應(yīng)該像想到廁所，然后，是排泄的地方，然后是具體馬桶小便池，于是，就把WC這個專業(yè)術(shù)語消

8、去，讓花哨而讓人反感的術(shù)語，變成了現(xiàn)實的聯(lián)系，數(shù)學(xué)術(shù)語也是這樣。）數(shù)學(xué)中的專業(yè)術(shù)語有兩類。有些作為原始術(shù)語不加定義而被接受.可是數(shù)學(xué)家卻不關(guān)心他的專業(yè)術(shù)語有什么流行的意義，至少他主要不關(guān)心.數(shù)學(xué)定義產(chǎn)生數(shù)學(xué)上的意義。消去專業(yè)術(shù)語。為了消去一個專業(yè)術(shù)語，我們必須知道這個專業(yè)術(shù)語的定義；但僅知其定義還不夠，我們還必須利用定義。我們在問題的概念中引入適當(dāng)?shù)脑?。我們在定義的基礎(chǔ)上建立所引入的元素之間的關(guān)系。如果這些關(guān)系完全表 了術(shù)語的含義，則我們就已經(jīng)利用了定義。利用了定義，我們同時也就消去了專業(yè)術(shù)語。剛才所敘述的過程可稱為：回到定義去. 用回到一個專業(yè)術(shù)語定義的辦法，我們除去了這個術(shù)語，而代之以新

9、元素和新關(guān)系。這在我們的問題的概念中所產(chǎn)生的變化可能很重要。無論如何，對問題的某種重新敘述，"問題的某種變化"是與結(jié)果密切相關(guān)的。然而在有些情況下，我們并沒有選擇的余地。如果我們只知道概念的定義，別無其他，我們就只好被迫采用這定義。如果我們所知并不比定義為多，我們最好的機會可能是：回到定義去。但是，如果我們知道有關(guān)概念的許多定理，并且已有許多使用這些定理的經(jīng)驗，那么我們就有機會找到一個涉及上述概念合適的定理?；氐蕉x去是一項重要的智力活動。如果我們希望了解為什么字的定義如此重要，那么我們應(yīng)當(dāng)首先認識到，字是重要的。如果不用字，不用符號或某種記號，我們幾乎不能思維。所以，字和

10、符號是有威力的。原始民族信仰字和符號具有魔力。我們可以理解這種信仰，但卻不可茍同。我們應(yīng)當(dāng)知道在于字給我們提示的概念以及這些概念最終所依據(jù)的事實因此，尋求字面背后的意義和事實是一種健全的傾向。對于回到定義去數(shù)學(xué)家尋求的是：掌握那些在專業(yè)術(shù)語后面數(shù)學(xué)對象間的實際關(guān)系；物理學(xué)家尋求的是：專業(yè)術(shù)語后面的明確實驗；而具有某種常識的普通人則希望找出鐵的事實而不僅僅為字面所愚弄。決心，希望，成功（按照誰動了我的奶酪觀點，一些技巧不要問什么，記住使用，立即行動。）認為解題純粹是一種智能活動是錯誤的；決心與情緒所起的作用很重要半心半意和懶洋洋地同意做一點事情，對于在教室中做代公式題可能是夠了但是，去求解一個嚴(yán)

11、肅的科學(xué)問題需要堅強的意志才能成年累月地含辛茹苦和決心隨著希望與失望，稱心與挫折而波動搖擺。當(dāng)我們認為解答就在眼前時，決心很容易維持；當(dāng)我們陷入困境，無計可施時，決心很難 持下去。當(dāng)我們的推 成為現(xiàn)實時，我們歡欣鼓舞。當(dāng)我們以某種信心所遵循的道路突然受阻時，我們又不免垂頭喪氣，我們的決心也隨之動搖了。     鎖定你的目標(biāo)在科學(xué)工作中，決心的大小必須靈活地根據(jù)前景而定。除非你對一個問題有某些興趣，你才去著手解答它；如果這問題看來有指導(dǎo)意義，那么你就定下心來認真地去作；如果它很有搞頭，你就全力以赴。一旦你目標(biāo)已定，你就要鍥而不舍，但你的日標(biāo)對你自

12、己來說不可過高。你不要輕視微小的成功，相反你要追求它們：如果你不能解決所提問題，首先嘗試解決某個有關(guān)的問題。當(dāng)一個學(xué)生的錯誤實在很大或者遲鈍得令人惱火時，原因幾乎總是相同的：他根本不想解題，甚至不愿正確理解這個問題，所以他對問題并未理解。因此，凡是真心希望幫助學(xué)生的教師首先應(yīng)當(dāng)挑起學(xué)生的好奇心，給他某種解題的愿望。同時教師也應(yīng)當(dāng)給學(xué)生一一些時間，使他下定決心，定下心來做他的功課。    數(shù)學(xué)好的人是堅強的，不達目的，決不罷休。教學(xué)生解題是意志的教育。當(dāng)學(xué)生求解那些對他來說并不太容易的題目時，他學(xué)會了敗而不餒，學(xué)會了贊賞微小的進展，學(xué)會了等待主要的念頭，學(xué)會了當(dāng)主要念頭出現(xiàn)后

13、全力以赴。如果學(xué)生在學(xué)校里沒有機會嘗盡為求解而奮斗的喜怒哀樂，那么他的數(shù)學(xué)教育就在最重要的地方失敗了    學(xué)生常犯的毛病由于思想不集中而造成的對問題了解不完整大概是解題中最為常見的毛病。至于在制定一個計劃并得到求解的一個總的概念這一階段中，常見的是兩種截然不同的毛病。有的學(xué)生沒有任何計劃或總的概念，就急急忙忙地選人具體計算和作圖；另 一些學(xué)生則笨頭呆腦地 等著某個念頭的降臨，而不會做任何事情去加速其來到。在實現(xiàn)計劃階段，最常見的毛病是粗枝大葉，不耐心檢查每一步。根本不檢查結(jié)果是屢見不鮮的；學(xué)生樂意得到一個答案，丟下筆結(jié)束，對于最靠不住的答案他們也滿不在乎。由于我們的知識是

14、逐步增加的，我們對問題的概念在結(jié)束時要比開始時豐富得多，但現(xiàn)在它怎么樣了?我們已經(jīng)得到所需要的了嗎?我們的概念足夠嗎?你是否利用了所有的已知數(shù)?你是否利用了整個條件?對于求證題，相應(yīng)的問題是：你是否利用了全部前提?我們所討論的問題以審查我們對問題的概念的完整性為目的。如果我們沒有把任何主要的數(shù)據(jù)，或條件，或前提考慮進去，那么我們的概念肯定不會完整。但如果我們不體會某個主要術(shù)語的意義，則我們的概念也不完整。因此，為了檢查我們的概念，也應(yīng)該提問：你已考慮了問題中所包含的所有必要的概念嗎?你知道一個與此有關(guān)的問題嗎?（我們要記住曾經(jīng)發(fā)生過什么）我們幾乎不能想象有一個問題是絕對的新穎，和我們以前解決過

15、的任何問題都不相似，都無關(guān)系；但若居然有這樣一個問題存在，它將是不可解的。事實上，當(dāng)解決問題時，我們總利用以前解決的問題，用其結(jié)果或用其方法，或利用解決它們時所得到的經(jīng)驗。當(dāng)然我們所利用的這些問題必須在某一方面與我們當(dāng)前的問題有關(guān)。所以，我們提這個問題：你知道一個與此有關(guān)的問題嗎?畫張圖檢驗?zāi)愕牟伦寧缀螆D形幫助你思考這個定理看起來比前一定理更好著手；當(dāng)然，它較弱。無論如何，我們應(yīng)當(dāng)弄清楚它們是什么意思；我們應(yīng)當(dāng)有勇氣更詳細地去重新說明它。用代數(shù)語言去重新表述它一遍是有好處的。已知的條件，用紅色的筆寫，未知的用黑色為了強調(diào)不同線段的不同地位，你可以使用粗線或細線，實線或虛線，或者用不同顏色的線。

16、如果你尚未完全決定采用某一根線作輔助線的話，你就輕一點畫它。你可以用紅筆畫已知元素，而用其他的顏色來強調(diào)重要的部分為了得到解答，我們必須從我們的記憶中汲取有關(guān)的知識，我們必須調(diào)動起我們記憶中處于休眠狀態(tài)的知識的有關(guān)部分("進展與成就")。當(dāng)然我們事先不知道哪部分知識有用，但是存在可能性，我們不應(yīng)放棄探索。集中注意力于我們的目標(biāo)，集中意志于我們的目的，我們就會想出 到它的方式和方法。 到目的的方法是什么?你怎樣 到你的目的?你怎樣才能得到這類結(jié)果?什么原因會產(chǎn)生這樣一個結(jié)果?你在哪里看見過這樣一個結(jié)果?為了得到這樣一個結(jié)果，人們通常怎么辦?于是嘗試想起一個具有相同或相似未知數(shù)

17、的熟悉的問題。嘗試想起一個具有相同或相類似結(jié)論的熟悉的定理  集中注意力于我們面前的問題，我們嘗試找出應(yīng)該引入哪類問題，哪個早已解決的問題(具有相同未知數(shù)的)最適合我們當(dāng)前的目的。    阿基米德是如何用已有的知識解決新問題的我們剛才提過，當(dāng)阿基米德求球面積時，他并不知道任何有相同未知數(shù)而且早已解決的問題。但他卻知道各種有相似未知數(shù)而早已解決的問題。有些曲面的面積比球面積容易求，它們在阿基米德時代已為人所共知，如正圓柱體的側(cè)面積，正圓錐體的側(cè)面積，圓臺的側(cè)面積等等。我們可以肯定，阿基米德曾經(jīng)仔細地考慮過這些較簡單的相似情況。事實上，在其解答中，他利用了一

18、個由兩個錐體與若于個圓臺所組成的復(fù)合體來作為球體的近似(見"定義"， 數(shù)學(xué)符號對數(shù)學(xué)符號的重要性我們幾乎總是不會估計過高的。說活與思維有密切聯(lián)系，使用文字有助于思維，凡對嚴(yán)肅的數(shù)學(xué)工作稍具經(jīng)驗的人都知道：不用文字而只注視幾何圖形或僅演算代數(shù)符號也可以進行一些相當(dāng)艱巨的思維。圖及符號和數(shù)學(xué)思維有密切的聯(lián)系，它們的使用有助于思維。使用符號對于運用推理看來是必不可少的。數(shù)學(xué)符號看來象一種語言一種構(gòu)造良好的語言，一種非常適合其目的、簡練而準(zhǔn)確的語言，其規(guī)則與常的語法不同但在精確性很重要的場合下，我們必須小心選擇我們的用詞。在解題中，選擇符號是重要的一步。應(yīng)謹慎從事。我們現(xiàn)

19、在花費在選擇符號上的時間，以后可由避免了狐疑不定和混亂而節(jié)省下來的時間所彌補。此wai在小心選擇符號時，我們必須把問題中需加符號的元素仔細想個明白。這樣選擇一個合適的符號可能大大促進了對于問題的了解。一個好符號應(yīng)該是不含糊的、富有意義的、便于記憶的；它應(yīng)該避免有害的第二重意義而利用有用的第二重要意義；符號的次序與聯(lián)系應(yīng)提示事物的次序與聯(lián)系。當(dāng)符號的次序與聯(lián)系可向我們提示對象的次序與聯(lián)系時，符號對于形成哉們的概念特別有用        聰明過人的孩子有時也會對數(shù)學(xué)符號反感不但班級中最不可造就的孩子可能討厭代數(shù)，甚至聰明過人的孩子有時也會對它反感。符號總不免

20、有些武斷和不自然；學(xué)習(xí)一種新符號對記憶是一種負擔(dān)。如果聰明的學(xué)生不理解這種負擔(dān)有什么好處，他就會加以拒絕。如果他沒有充分的機會親身體驗到"數(shù)學(xué)符號語言有助于思維"，那么他討厭代數(shù)是無可非議的。幫助學(xué)生獲得這方面的經(jīng)驗體會是教師的重要職責(zé)，是最重要的職責(zé)之一。分析和綜合-原始人過河的故事 (同濟大學(xué)第四版關(guān)于二元函數(shù)泰勒級數(shù)的公式，剛開始引用的輔助函數(shù)，實際是在三位空間中，把相對xy軸變量的變動，歸結(jié)為對角線的變動，然后，通過設(shè)比例的方式，同以表達了二元的分別變動，但是，他沒有給出說明，我認為，違背了分析的精神，爛）什么是綜合?這就是一步一步地做完這些由分析所預(yù)見到的可能的計

21、算。解題者完成他的問題并不需要什么新念頭，計算各個未知數(shù)時只需要耐心與注意。一個原始人希望 過一條小河；但他不能用通常的辦法 河，因為昨晚已經(jīng)漲水了。于是， 河成為一個問題的對象；" 河"即這個原始問題中的x。這個人可能回想起他曾沿著一棵倒下的樹 過其它幾條河。于是他到處尋找一棵合適的倒下的樹，這就成為他的新的未知數(shù)y。他找不到合適的樹，但有大量的樹立在河邊；他希望其中有一棵能倒下來。他能使一棵樹倒下來橫跨這條小河嗎?這是個了不起的念頭，并且這里有一個新未知數(shù)：用什么辦法能弄倒這挺使之磺跨小河。如果我們接受帕撲斯的術(shù)語，這一串念頭應(yīng)稱之為"分析"。如果這

22、原始人成功地完成了他的分析，他可能就成為橋與斧頭的發(fā)明人了。什么是綜合?就是把念頭化為行動。綜合的最后一個行動是沿著一棵樹走過小河。        解決實際問題有一種廣為流傳的意見，即實際問題比數(shù)學(xué)問題需要更多的經(jīng)驗。這可能如此。但很可能，這種差別只存在于所需要知識的性質(zhì)，而不是我們對問題的態(tài)度。在解決這樣那樣的問題時，我們必須依賴我們在處理類似問題方面的經(jīng)驗，我們經(jīng)常問這個問題：你是否見過相同的問題，只是形式上稍有不同?你知道一個與此有關(guān)的問題嗎?你是否利用了所有的已知數(shù)據(jù)?你是否利用了整個條件?當(dāng)我們處理純數(shù)學(xué)問題時，我們不能放過這些問題。但在實際問

23、題中，我們應(yīng)當(dāng)改變這些問題的形式：你是否利用了可能對求解有顯著作用的所有數(shù)據(jù)?你是否利用了可能對求解顯著影響的全部條件?我們估量一下現(xiàn)成可用的有關(guān)資料，如果必要的話，我們再去收集一些，但最終我們必定要停止收集，我們必會在某處劃地為界不再越雷池一步，我們不能不忽略某些東西；進展與成就你有任何進展嗎?主要成就是什么?在解題過程中，你可能問自己或者問一個你督促其功課的學(xué)生。這樣，我們慣于或多或少滿懷信心地判斷具體情況下的進展與成就。為了解題，我們必須具備本論題方面的知識并且必須對我們現(xiàn)有的，但原來屬于休眠狀態(tài)的知識進行挑選并收集相關(guān)內(nèi)容。我們對該問題的理解在問題結(jié)束時總比開始時要豐富得多；增加了些什

24、么呢?從我們的記憶中，我們成功地汲取了什么呢?為了得到解答，我們必須回憶各式各樣的基本事實。如果是個數(shù)學(xué)問題，則我們?yōu)榱说玫浇獯?，必須回憶以前解答過的問題，已知的定理和定義。從我們的記憶中汲取這些有關(guān)內(nèi)容可稱之為"動員"。工作進展的另一側(cè)面是：概念變換的方式。收集了資料并進行加工以后，我們關(guān)于問題的概念在結(jié)束時比在開始時豐富得多了。由于我們想從初始的概念前進到一個更滿足要求的、更適用的概念，我們可以嘗試從不同的觀點并從各個不同的側(cè)面觀察此問題。如果不"變化問題"，我們幾乎不能有什么進展1，困難的題目需要隱秘的、特殊的、獨創(chuàng)的組合方式，解題者的才智在獨創(chuàng)中顯現(xiàn)出來。2，成人也要學(xué)數(shù)學(xué)，歐洲人上班族很多學(xué)的。3，心算，盡量少的用計算器，增加腦力，防止遲鈍。4，數(shù)學(xué)的