丁蜀高級(jí)中學(xué)高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)講學(xué)稿

1、丁蜀高級(jí)中學(xué)高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)講學(xué)稿第三章 三角恒等變換§兩角和與差的余弦教學(xué)目標(biāo)：1、運(yùn)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角和與差的余弦公式，會(huì)初步運(yùn)用解決具體問題2、初步理解解析法解決問題的方法，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具在實(shí)踐中探索知識(shí)，進(jìn)而獲取知識(shí)的能力3、培養(yǎng)探索和創(chuàng)新的能力和意識(shí)教學(xué)重點(diǎn)：公式推導(dǎo)及運(yùn)用教學(xué)難點(diǎn)：推導(dǎo)公式方法，找出含有的等量關(guān)系教學(xué)過程：一、創(chuàng)設(shè)情境： 我們?cè)诔踔袝r(shí)就知道 ，由此我們能否得到大家可以猜想，是不是等于呢？二、學(xué)生活動(dòng)：ACBDE1、介紹：利用直角三角形找三角函數(shù)是初中就很熟悉的方法。利用兩個(gè)直角三角形，讓它們有公共元素（公共邊或公共角），建立兩個(gè)角

2、的三角函數(shù)關(guān)系。設(shè)|AB|=1，BAD=75°（正、余弦只要求出一個(gè)就行）利用ABD面積相等找等量關(guān)系，求得sin75°把45°和30°一般化，換成和，可推導(dǎo)出一般結(jié)論2、分析：研究三角函數(shù)最有利工具直角坐標(biāo)系中的單位園 最基本方法數(shù)形結(jié)合法 用向量表示已知量，找到含有已知量與未知量的關(guān)系圖探究1：在坐標(biāo)系中a、b角構(gòu)造a-b角探究2：作單位圓，構(gòu)造全等三角形探究3：寫出兩個(gè)向量的坐標(biāo)計(jì)算（幾何形式，坐標(biāo)形式，算兩次，比較結(jié)果）探究4：導(dǎo)出兩角差的余弦公式 記為探究特征熟悉公式的結(jié)構(gòu)和特點(diǎn)；此公式對(duì)任意a、b都適用；公式記為探究cos(ab)的公式 以-

3、b代b得：兩角和的余弦公式 記為 3、注意：公式中的角可以是任意角公式的右端是同名三角函數(shù)乘積的和或者差等式兩邊的運(yùn)算符號(hào)（、）總是相反三、講解范例：例1 計(jì)算或化簡(jiǎn)cos75° ，cos15°coscos-sinsin和例2已知sina=，cosb=，求cos(ab)和cos(ab)的值例3課本例1四、課堂練習(xí)：1課本P93練習(xí)1、2、3、2已知cos(ab)=,求(sinasinb)2+(cosa+cosb)2的值變題：已知sina-sinb=-，cosa-cosb=，求cos(ab)的值點(diǎn)評(píng)：通過此練習(xí)，體會(huì)兩角和與差的余弦公式的右邊，是同名三角函數(shù)乘積的和差式的形式

4、，同時(shí)體會(huì)逆用公式的優(yōu)越性。五、小結(jié)作業(yè)： 小結(jié)：兩角和與差的余弦公式內(nèi)容；特征；應(yīng)用（正用、逆用） 作業(yè)：限時(shí)訓(xùn)練28丁蜀高級(jí)中學(xué)高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)講學(xué)稿第三章 三角恒等變換§兩角和與差的正弦教學(xué)目標(biāo)：1、能由兩角和的余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正弦公式，2、進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等變形教學(xué)重點(diǎn)： 由兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦公式教學(xué)難點(diǎn)： 進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等變形教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1兩角和與差的余弦公式_2求cos105°的值=_ 3計(jì)算：cos65°cos115°-cos25°sin115&#

5、176;=_4 已知銳角a,b滿足cosa=，cos(a+b)=，求cosb（體會(huì)角變換技巧）學(xué)習(xí)了兩角和與差的余弦公式，那么，兩角和與差的正弦sin(a+b)，sin(ab)的公式是是怎樣的？跟，有關(guān)系嗎？二、數(shù)學(xué)建構(gòu)： 1 推導(dǎo)sin(a+b)=cos-(a+b)=cos(-a)-b=sinacosb+cosasinb即： （a+b）以-b代b得： （a-b）指點(diǎn)：你能用同有角三角函數(shù)關(guān)系，由推導(dǎo)sin(a+b)嗎？有何困難？2公式的分析，結(jié)構(gòu)解剖，囑記（類似于上一課時(shí)的個(gè)注意點(diǎn)）三、數(shù)學(xué)應(yīng)用：例1不查表，求下列各式的值：sin75° sin13°cos17°

6、+cos13°sin17° （3）例2 課本例1已知，求，例3 課本例2已知cos()=，cos=，都是銳角，求 sin例4、課本例3 求y=的最大值 （指點(diǎn)一下：可研究這個(gè)函數(shù)的相應(yīng)性質(zhì)）變題、求證：cosa+sina=2sin(+a)證一（構(gòu)造輔助角）；證二：右邊展開四、練習(xí)鞏固：已知，求及的值。五、小結(jié)作業(yè)： 小結(jié)：兩角和與差的正、余弦公式及一些技巧“輔助角”“角變換”“逆用公式”作業(yè)：限時(shí)訓(xùn)練29丁蜀高級(jí)中學(xué)高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)講學(xué)稿第三章 三角恒等變換§兩角和與差的正弦教學(xué)目的：能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等變形體會(huì)三角

7、函數(shù)的一些技巧：角的變換、函數(shù)名的變換、逆用公式教學(xué)重點(diǎn)： 用和差角的正、余弦公式處理三角問題時(shí)的化異為同（角、函數(shù)名）教學(xué)難點(diǎn)： 化異為同教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1、(課本P97練習(xí)5)不用計(jì)算器，求值：°°（復(fù)習(xí)公式）2、(課本P97練習(xí)6)已知求和的值3、(課本P97練習(xí)7)已知，且都是第二象限角，求及的值。 正用公式（先創(chuàng)造求值的條件）二、典例講解：例1、求的值 體會(huì)技巧“角的變換”點(diǎn)評(píng)：注意兩個(gè)非特殊角10°、20°與特殊角30°的關(guān)系，利用角的變換，將兩個(gè)非特殊角化為一個(gè)非特殊角（消元的思想），再利用同角三角函數(shù)關(guān)系求值。例2、已知

8、sin(a+b)=,sin(a-b)= 求的值（課本P99例6） 點(diǎn)評(píng)：根據(jù)角的要求，已知等式展開，看成方程組，解出和的值，代入需要求值的式子。注意函數(shù)名的形式和相互聯(lián)系：異名函數(shù)的乘積例3、求證：(課本P97例4。)分析：證明恒等式的一般原則化繁為簡(jiǎn)（從復(fù)雜的一端向簡(jiǎn)單的一端轉(zhuǎn)化） 本題主要任務(wù)是消除角的差異，方法：角的變換例4*、（可選擇使用）已知sinasinb = ，求W=cosacosb的范圍分析：本題對(duì)思維的要求較高，建議同學(xué)們積累這種題的解決思路。題中，兩個(gè)式子相互之間的聯(lián)系比較隱蔽，聯(lián)想兩角和與差的余弦公式，平方相加（弦的和差式常進(jìn)行平方，如同學(xué)們比較熟悉的，由sincos=,

9、平方可求得sincos的值），將兩式很好地聯(lián)系起來，從而得到W2，由右邊的范圍限制左邊的W三、鞏固提高：1、已知sin(a+b) =，sin(a-b) =，求的值2、在ABC中，已知cosA =，cosB =，則cosC的值為 （）（A） （B） （C） （D）3、已知，求sin(a + b)的值四、小結(jié)作業(yè)：小結(jié)：解三角函數(shù)題，一定要注意分析，合理進(jìn)行“角的變換”和“函數(shù)名的變換”作業(yè)：限時(shí)訓(xùn)練30丁蜀高級(jí)中學(xué)高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)講學(xué)稿第三章 三角恒等變換§兩角和與差的正切教學(xué)目的：能根據(jù)兩角和與差的正、余弦公式推導(dǎo)出兩角和與差的正切公式體會(huì)該公式正用、逆用（創(chuàng)造條件逆用）、變形用

10、教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的正切公式教學(xué)難點(diǎn)：公式Ta+b ,Ta-b的創(chuàng)造條件運(yùn)用和變形運(yùn)用教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1兩角和與差的正、余弦公式2求證：cosx+sinx=cos(x) 3已知sinacosb=，cosasinb=，求sin(a-b)的值。二、講解新課： 兩角和與差的正切公式 Ta+b ,Ta-b1、公式的推導(dǎo) cos (a+b)¹0tan(a+b)= 當(dāng)cosacosb¹0時(shí), 分子分母同時(shí)除以cosacosb得：以-b代b得：其中都不等于2、注意：1°必須在定義域范圍內(nèi)使用上述公式（和差角的正、余弦公式中，角是任意的）即：tana，tanb，tan(

11、a±b)只要有一個(gè)不存在就不能使用這個(gè)公式，只能（也只需）用誘導(dǎo)公式來解 2°注意公式的結(jié)構(gòu)，尤其是符號(hào)3°公式除正用展開，逆用化簡(jiǎn)，還可變形用（在例3后歸納）三、講解范例：例1、求值：tan15° 體會(huì)正用公式 體會(huì)逆用公式 (課本P101例2。) 創(chuàng)造條件逆用公式例2、設(shè)tana=，tanb=2，0°<a<90°<b<180°，求tan(ab)，并求a+b的值。點(diǎn)評(píng)：直接運(yùn)用公式（）容易求出的值 由已知的三角函數(shù)值求角時(shí)，所得的解是不唯一的因此，必須根據(jù)已知條件進(jìn)行分析，這就要確定的范圍例3、設(shè)是

12、一元二次方程的兩根，求的值(課本P101例3。)點(diǎn)評(píng)：整體思想，即先求得公式中的分子tantan，分母中的tantan 雖然先解方程，得tan和tan的值，再求tan（）也行，但運(yùn)算要繁瑣得多。例4、求tan17°+tan28°+tan17°tan28°的值： 變形用公式tantan=四、課堂練習(xí)：課本P102練習(xí)1、2、3、4、5五、小結(jié)作業(yè)： 1、兩角和與差的正切公式, 解題時(shí)要多觀察，勤思考，善于聯(lián)想，善于歸納解題方法，如適當(dāng)進(jìn)行角的變換，靈活應(yīng)用公式，特殊角函數(shù)值的應(yīng)用等是三角恒等變換中常用的方法和技能2、由三角函數(shù)值確定角，一定要注意角的范圍。

13、課后作業(yè)：限時(shí)訓(xùn)練31丁蜀高級(jí)中學(xué)高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)講學(xué)稿第三章 三角恒等變換§兩角和與差的正切教學(xué)目的：能比較熟練地地運(yùn)用兩角和與差的正切公式解決一些三角問題能將公式用于證明三角恒等式和解決三角形中的一些與正切有關(guān)的問題教學(xué)重點(diǎn)：兩角和與差的正切公式的應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：公式Ta+b ,Ta-b的靈活應(yīng)用教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入：1、兩角和與差的正切公式：內(nèi)容；適用范圍；用法2、已知tan（），tan（），那么tan（）等于_3、設(shè)是一元二次方程的兩個(gè)根，求的值歸納：如果已知是一元二次方程的兩個(gè)根，那么聯(lián)想公式與韋達(dá)定理便于探求結(jié)論變題：在ABC中，已知tanA，tanB是方程3x28x

14、10的兩根，則tan=( ) A.2 B.2 .4 .4二、典例解析：例1、如圖，三個(gè)相同的正方形相接，求證：(課本P101例3。) 再次體會(huì)：由三角函數(shù)值確定角，一定要注意角的范圍。例2、在非直角中，（1）求證：；(課本P102例4) 分析：要證明的式子與公式比較，都含有正切的和與積，所以考慮用該公式 變形公式中，有兩角的正切之和化為積的形式，用之即可 （其中用到A+B化為C的誘導(dǎo)公式，可啟發(fā)，A+B+C=？仍成立？）變題：在ABC中，若0tanA·tanB1則AB一定是 ( )A等邊三角形 B直角三角形 銳角三角形 鈍角三角形例3、兩座建筑物AB,CD的 高度分別是 9m和15m

15、.從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角CAD=450，求建筑物AB,CD的底部之間的距離BD(課本P103例5) 分析：運(yùn)用差角的正切，建立代數(shù)方程。注意實(shí)際問題中變量的取值范圍三、鞏固提高：課本P103練習(xí)1、 可拓寬：A，B，C滿足什么條件時(shí)，仍是該題的結(jié)果？練習(xí)2、 運(yùn)用正切變形公式即可（感受數(shù)學(xué)美）練習(xí)3、 仍是運(yùn)用正切變形公式即可練習(xí)4、 分子運(yùn)用正切變形公式即可四、小結(jié)作業(yè)限時(shí)訓(xùn)練32丁蜀高級(jí)中學(xué)高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)講學(xué)稿第三章 三角恒等變換§3.2二倍角的三角函數(shù)教學(xué)目的：1、從和角公式推導(dǎo)出倍角公式，理解化歸思想在公式推導(dǎo)中的作用；2、用和角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式

16、的化簡(jiǎn)、求值及恒等式證明。教學(xué)重點(diǎn)：倍角公式及應(yīng)用教學(xué)過程：一、情景創(chuàng)設(shè)：教師提出本節(jié)課的研究課題：角的三角函數(shù)與它的二倍角2的三角函數(shù)之間存在著什么樣的關(guān)系？二、學(xué)生活動(dòng)學(xué)生就上述問題展開討論，討論將涉及下面的問題。1、考慮問題的綜合性：的三角函數(shù)與它的二倍角2的三角函數(shù)之間是否一定存在著確定的數(shù)量關(guān)系？為什么？2、從總體上確定解決問題的大方向：我們應(yīng)該從哪些方面嘗試解決這一研究課題？（形和數(shù)兩個(gè)方面）3、如果從“形”的方面來思考：考察函數(shù)y=sinx與y=sin2x圖象之間的關(guān)系。出示兩函數(shù)圖象：y=sinx與y=sin2x的圖象具有什么樣的關(guān)系？你能從圖象上看出sin與sin2在數(shù)量上的

17、關(guān)系嗎？更進(jìn)一步，你能把上述關(guān)系用解析式表達(dá)出來嗎？具體地，怎樣在圖象上表示出sin和sin2?它們之間有什么樣的關(guān)系？如果不能從圖象上看出sin和sin2間的關(guān)系，你認(rèn)為，還應(yīng)該從什么方面來思考？（從數(shù)的角度來考慮）還有什么可以作為我們解決問題的基礎(chǔ)？說說你的想法。三、建構(gòu)數(shù)學(xué)1、從公式sin(+)=sincos+cossin推導(dǎo)出sin2的公式。 2：sin2=2sincos2、反思公式的推導(dǎo)過程，揭示其中思想：和角公式倍角公式1、 根據(jù)上述思路推導(dǎo)cos2,tan2的公式。4、比較cos2的三種不同形式。四、數(shù)學(xué)運(yùn)用1、最簡(jiǎn)單的運(yùn)用。例1、已知求sin2,cos2,tan2的值。（課本P

18、105例1）有了倍角公式，就可以用單角的三角函數(shù)表示二倍角2的三角函數(shù)。2、進(jìn)一步的運(yùn)用。例2、求證：。（課本P106例2）討論解題思路，探討不同的解法，并展開討論：3、練習(xí)課本第106頁(yè)練習(xí)1、2五、回顧小結(jié)請(qǐng)學(xué)生歸納，本節(jié)課學(xué)習(xí)了如下內(nèi)容：1、利用特殊化的方法從和角公式推出了二倍角公式。這里的特殊化，是實(shí)現(xiàn)化歸的一種手段。2、和角公式的簡(jiǎn)單運(yùn)用。利用和角公式可以方便地把二倍角的三角函數(shù)，表示為單角的三角函數(shù)。（想一想，怎樣把單角的三角函數(shù)表示為二倍角的三角函數(shù)？）六、課外作業(yè)限時(shí)訓(xùn)練33丁蜀高級(jí)中學(xué)高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科教學(xué)講學(xué)稿第三章 三角恒等變換§3.2二倍角的三角函數(shù)(2)學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、從和角公式推導(dǎo)出倍角公式，理解化歸思想在公式推導(dǎo)中的作用；2、用和角公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及恒等式證明。教學(xué)重點(diǎn)：倍角公式及應(yīng)用教學(xué)過程：（一）復(fù)習(xí)： 1二倍角的正弦、余弦、正切公式。2練習(xí)：_若