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1、平方根(提咼)【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1了解平方根、算術(shù)平方根的概念,會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根.2了解開方與乘方互為逆運(yùn)算,會(huì)用開方運(yùn)算求某些非負(fù)數(shù)的平方根,會(huì)用計(jì)算器求平方 根.【要點(diǎn)梳理】【高清課堂:389316平方根,知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、平方根和算術(shù)平方根的概念1. 算術(shù)平方根的定義如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,即X2 = a,那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根(規(guī)定0的算術(shù)平方根還是 0); a的算術(shù)平方根記作 /a,讀作“ a的算術(shù)平方根”,a叫做被開方數(shù)要點(diǎn)詮釋:當(dāng)式子有意義時(shí),a一定表示一個(gè)非負(fù)數(shù),即 ,a > 0, a > 0.2. 平方根的定義如果X2二a,那么X叫做a的平方根求一個(gè)
2、數(shù)a的平方根的運(yùn)算,叫做開平方平方與 開平方互為逆運(yùn)算 a( a > 0)的平方根的符號(hào)表達(dá)為 _-、a(a_0),其中是a的算術(shù)平方根要點(diǎn)二、平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系1. 區(qū)別:(1)定義不同;(2)結(jié)果不同: 二、a和 .a2 聯(lián)系:(1)平方根包含算術(shù)平方根;(2 )被開方數(shù)都是非負(fù)數(shù);(3) 0的平方根和算術(shù)平方根均為 0.要點(diǎn)詮釋:(1)正數(shù)的平方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù),其中正的那個(gè)叫它的算術(shù)平方 根;負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根.(2)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù),根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它的另一個(gè)平方根因此,我們可以利用算術(shù)平方根來(lái)研究平方根要點(diǎn)三、平方根的性質(zhì)_a (a 0
3、)、a2 =| a | = 0(a = 0)-a (a : 0)a-0要點(diǎn)四、平方根小數(shù)點(diǎn)位數(shù)移動(dòng)規(guī)律2位,它的算術(shù)平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)1位.例如:被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)62500 = 250 , I 625 = 25,6.25 = 2.5,0.0625 = 0.25.【典型例題】類型一、平方根和算術(shù)平方根的概念【高清課堂:389316平方根:例1】1、 若2 m 4與3m 1是同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根,求m的值.【思路點(diǎn)撥】由于同一個(gè)正數(shù)的兩個(gè)平方根互為相反數(shù),由此可以得到2m 4= (3m 1),解方程即可求解.【答案與解析】解:依題意得2 m 4= ( 3 m
4、1),解得m = 1; m的值為1.【總結(jié)升華】 此題主要考查了平方根的性質(zhì):一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根,它們互為相反數(shù).舉一反三:【變式】已知2 a 1與一a + 2是m的平方根,求 m的值【答案】2a 1與a + 2是m的平方根,所以2a 1與a + 2互為相反數(shù)解:當(dāng) 2a 1+( a + 2) = 0 時(shí),a = 1,222所以 m = (2a1) =2 x(1)12 =(3) =92、x為何值時(shí),下列各式有意義?(1) X2 ; (2)X -4 ; (3) '、廠!.匸X ; (4) -.x-3【答案與解析】解:(1)因?yàn)閤2 一 0 ,所以當(dāng)x取任何值時(shí),x2都有意義.(2) 由
5、題意可知:x-4 一 0,所以x_4時(shí),x-4有意義.工x 1 _ 0(3) 由題意可知:解得:-1 _x _1 .所以-1 _ x_1時(shí)、x V Vx有意11 -xKO義.x-no(4) 由題意可知:,解得X _ 1且X 3 .I x 3 = 0所以當(dāng)x _1且x =3時(shí),x -3【總結(jié)升華】(1)當(dāng)被開方數(shù)不是數(shù)字,而是一個(gè)含字母的代數(shù)式時(shí),一定要討論,只有當(dāng)被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)時(shí),式子才有意義.(2)當(dāng)分母中含有字母時(shí),只有當(dāng)分母不為0時(shí),式子才有意義.舉一反三:1 1【變式】已知b =4._ 3a -2 2 2 - 3a 2,求 的算術(shù)平方根.a b【答案】3a - 2 啟 0,2113
6、1解:根據(jù)題意,得則a -,所以b = 2,. = 2 ,2-30.3a b 2 2.丄的算術(shù)平方根為a b類型二、平方根的運(yùn)算C3、求下列各式的值.(1) J252 242 U J32 +42 ; (2) J20* 1V03£ V900 .【思路點(diǎn)撥】(1)首先要弄清楚每個(gè)符號(hào)表示的意義( 2)注意運(yùn)算順序【答案與解析】解:.252 -242 口 32 4廠 *49L 25 = 7 5 = 35;|11.181119(2) 、 200.36、9000.630 = 0.2 - 6 - -1.7.V 435V 4352【總結(jié)升華】(1)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序是先算平方開方,再乘除,后加減,
7、同一級(jí)運(yùn)算按先 后順序進(jìn)行.(2)初學(xué)可以根據(jù)平方根、算術(shù)平方根的意義和表示方法來(lái)解,熟練后直接根 據(jù). a2 二 a(a - 0)來(lái)解.類型三、利用平方根解方程4、求下列各式中的X.2(1) X2 -361=0;(2) x 1289 ;2(3) 9(3x+2 ) -64 =0【答案與解析】 解:(1 )T x2 -361 =0 X 二 一 .361 = -19* . 2(2)v (x+1 ) =289 x 1 = =289x + 1 = ± 17X = 16 或 X = 18.2(3)T 9 3x 2-64 =0264.3x 2 工9.3x 2 = 832十14x或x =99【總結(jié)
8、升華】本題的實(shí)質(zhì)是一元二次方程,開平方法是解一元二次方程的最基本方法( 2)(3)小題中運(yùn)用了整體思想分散了難度舉一反三:【變式】求下列等式中的 X :(1)若 X2=1.21,則 x =;(2) X2=169,則 x =;2922(3)若 X2= ,則 X =;(4)若 X =(-2,則 X =.43【答案】(1 )± 1.1 ; (2)± 13; ( 3); (4)± 2.2類型四、平方根的綜合應(yīng)用5、已知a【高清課堂:389316平方根:例5】、b是實(shí)數(shù),且2a 6 |b-、2|=0,解關(guān)于 x的方程(a 2)x b2 二 a-1 .【答案與解析】解: a、
9、b 是實(shí)數(shù),,2a 6 |b-、2|=0 , . 2a_6 一 0,.2a 6 = 0,=0 .a 二3, b =、2.把 a 二3, b =、2 代入(a 2)x b2 = a T,得x + 2 = 4,二 x = 6.【總結(jié)升華】 本題是非負(fù)數(shù)的性質(zhì)與方程的知識(shí)相結(jié)合的一道題,應(yīng)先求出a、b的值,再解方程此類題主要是考查完全平方式、算術(shù)平方根、絕對(duì)值三者的非負(fù)性,只需令每項(xiàng)分別等于零即可.舉一反三:【高清課堂:389316平方根:例5練習(xí)】【變式】若.X2 -1 .廠1 =0,求X2011 - y2012的值.【答案】解:由.x. y 1 =0,得 X? -1 = 0 , y 1 = 0,
10、即 x =: 1 , y = -1. 當(dāng) x = 1, y =- 1 時(shí),X2011 .y201f011 .(_1)2012 =2 . 當(dāng) x =- 1, y =- 1 時(shí),x2011 y2012 =(-1)2011 (-1)2012 = 0 .【高清課堂:389316平方根:例6】6、小麗想用一塊面積為400 cm2的正方形紙片,沿著邊的方向裁出一塊面積為300cm2的長(zhǎng)方形紙片,使它長(zhǎng)寬之比為3:2,請(qǐng)你說(shuō)明小麗能否用這塊紙片裁出符合要求的長(zhǎng)方形紙片【答案與解析】解:設(shè)長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為3x ( x >0) cm,則寬為2x cm,依題意得3x 2x =300.26x =300.x2 =50 . x >0,x - . 50 .長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為 3 50 cm./ 50 > 4
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