不等式講義知識點詳解例題習題含詳細答案

1、不等式講義最新考綱：1.理解絕對值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號的條件：(1)|ab|a|b|(a，bR)(2)|ab|ac|cb|(a，bR).2.會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：|axb|c，|axb|c，|xc|xb|a.3.了解柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，并會證明.4.通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學歸納法1含有絕對值的不等式的解法(1)|f(x)|>a(a>0)f(x)>a或f(x)<a；(2)|f(x)|<a(a>0)a<f(x)<

2、a；(3)對形如|xa|xb|c，|xa|xb|c的不等式，可利用絕對值不等式的幾何意義求解2含有絕對值的不等式的性質(zhì)|a|b|a±b|a|b|.問題探究：不等式|a|b|a±b|a|b|中，“”成立的條件分別是什么？提示：不等式|a|b|ab|a|b|，右側(cè)“”成立的條件是ab0，左側(cè)“”成立的條件是ab0且|a|b|；不等式|a|b|ab|a|b|，右側(cè)“”成立的條件是ab0，左側(cè)“”成立的條件是ab0且|a|b|.3基本不等式定理1：設(shè)a，bR，則a2b22ab.當且僅當ab時，等號成立定理2：如果a、b為正數(shù)，則，當且僅當ab時，等號成立定理3：如果a、b、c為正數(shù)

3、，則，當且僅當abc時，等號成立定理4：(一般形式的算術(shù)幾何平均值不等式)如果a1、a2、an為n個正數(shù)，則，當且僅當a1a2an時，等號成立4柯西不等式(1)柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a，b，c，d為實數(shù)，則(a2b2)·(c2d2)(acbd)2，當且僅當adbc時等號成立(2)若ai，bi(iN*)為實數(shù)，則()()(ibi)2，當且僅當bi0(i1,2，n)或存在一個數(shù)k，使得aikbi(i1,2，n)時，等號成立(3)柯西不等式的向量形式：設(shè)，為平面上的兩個向量，則|·|·|，當且僅當這兩個向量同向或反向時等號成立1判斷正誤(在括號內(nèi)打“”或“×

4、”)(1)對|ab|a|b|當且僅當a>b>0時等號成立()(2)對|ab|a|b|當且僅當ab0時等號成立()(3)|axb|c(c>0)的解等價于caxbc.()(4)不等式|x1|x2|<2的解集為Ø.()(5)若實數(shù)x、y適合不等式xy>1，xy>2，則x>0，y>0.()答案(1)×(2)(3)(4)(5)2不等式|2x1|x<1的解集是()Ax|0<x<2 Bx|1<x<2Cx|0<x<1 Dx|1<x<3解析解法一：x1時，滿足不等關(guān)系，排除C、D、B，故選A

5、.解法二：令f(x)則f(x)<1的解集為x|0<x<2答案A3設(shè)|a|<1，|b|<1，則|ab|ab|與2的大小關(guān)系是()A|ab|ab|>2 B|ab|ab|<2C|ab|ab|2 D不能比較大小解析|ab|ab|2a|<2.答案B4若a，b，c(0，)，且abc1，則的最大值為()A1 B C. D2解析()2(1×1×1×)2 (121212)(abc)3.當且僅當abc時，等號成立()23.故的最大值為.故應選C.答案C5若存在實數(shù)x使|xa|x1|3成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析利用數(shù)軸及不等式的幾何

6、意義可得x到a與到1的距離和小于3，所以a的取值范圍為2a4.答案2a4考點一含絕對值的不等式的解法解|xa|xb|c(或c)型不等式，其一般步驟是：(1)令每個絕對值符號里的代數(shù)式為零，并求出相應的根(2)把這些根由小到大排序，它們把定義域分為若干個區(qū)間(3)在所分區(qū)間上，去掉絕對值符號組成若干個不等式，解這些不等式，求出它們的解集(4)這些不等式解集的并集就是原不等式的解集解絕對值不等式的關(guān)鍵是恰當?shù)娜サ艚^對值符號(1)(2015·山東卷)不等式|x1|x5|<2的解集是()A(，4) B(，1)C(1,4) D(1,5)(2)(2014·湖南卷)若關(guān)于x的不等式

7、|ax2|<3的解集為，則a_.解題指導切入點：“脫掉”絕對值符號；關(guān)鍵點：利用絕對值的性質(zhì)進行分類討論解析(1)當x<1時，不等式可化為(x1)(x5)<2，即4<2，顯然成立，所以此時不等式的解集為(，1)；當1x5時，不等式可化為x1(x5)<2，即2x6<2，解得x<4，又1x5，所以此時不等式的解集為1,4)；當x>5時，不等式可化為(x1)(x5)<2，即4<2，顯然不成立，所以此時不等式無解綜上，不等式的解集為(，4)故選A.(2)|ax2|<3，1<ax<5.當a>0時，<x<，與已

8、知條件不符；當a0時，xR，與已知條件不符；當a<0時，<x<，又不等式的解集為，故a3.答案(1)A(2)3用零點分段法解絕對值不等式的步驟：(1)求零點；(2)劃區(qū)間、去絕對值號；(3)分別解去掉絕對值的不等式；(4)取每個結(jié)果的并集，注意在分段時不要遺漏區(qū)間的端點值 對點訓練已知函數(shù)f(x)|xa|x2|.(1)當a3時，求不等式f(x)3的解集；(2)若f(x)|x4|的解集包含1,2，求a的取值范圍解(1)當a3時，f(x)當x2時，由f(x)3得2x53，解得x1；當2<x<3時，f(x)3無解；當x3時，由f(x)3得2x53，解得x4；所以f(x)

9、3的解集為x|x1或x4(2)f(x)|x4|x4|x2|xa|.當x1,2時，|x4|x2|xa|4x(2x)|xa|2ax2a.由條件得2a1且2a2，即3a0.故滿足條件的a的取值范圍為3,0考點二利用絕對值的幾何意義或圖象解不等式對于形如|xa|xb|>c或|xa|xb|<c的不等式，利用絕對值的幾何意義或者畫出左、右兩邊函數(shù)的圖象去解不等式，更為直觀、簡捷，它體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想方法的優(yōu)越性|xa|xb|的幾何意義是數(shù)軸上表示x的點與點a和點b的距離之和，應注意x的系數(shù)為1.(1)(2014·重慶卷)若不等式|x1|x2|a2a2對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值

10、范圍是_(2)不等式|x1|x2|>k的解集為R，則實數(shù)k的取值范圍是_解題指導切入點：絕對值的幾何意義；關(guān)鍵點：把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題解析(1)|x1|x2|(x1)(x2)|3，a2a23，解得a.即實數(shù)a的取值范圍是.(2)解法一：根據(jù)絕對值的幾何意義，設(shè)數(shù)x，1,2在數(shù)軸上對應的點分別為P，A，B，則原不等式等價于PAPB>k恒成立AB3，即|x1|x2|3.故當k<3時，原不等式恒成立解法二：令y|x1|x2|，則y要使|x1|x2|>k恒成立，從圖象中可以看出，只要k<3即可故k<3滿足題意答案(1)(2)(，3)解含參數(shù)的不等式存在性問題，

11、只要求出存在滿足條件的x即可；不等式的恒成立問題，可轉(zhuǎn)化為最值問題，即f(x)<a恒成立a>f(x)max，f(x)>a恒成立a<f(x)min. 對點訓練(2015·唐山一模)已知函數(shù)f(x)|2xa|a，aR，g(x)|2x1|.(1)若當g(x)5時，恒有f(x)6，求a的最大值；(2)若當xR時，恒有f(x)g(x)3，求a的取值范圍解(1)g(x)5|2x1|552x152x3；f(x)6|2xa|6aa62xa6aa3x3.依題意有，a32，a1.故a的最大值為1.(2)f(x)g(x)|2xa|2x1|a|2xa2x1|a|a1|a，當且僅當(2

12、xa)(2x1)0時等號成立解不等式|a1|a3，得a的取值范圍是2，)考點三不等式的證明與應用不等式的證明方法很多，解題時既要充分利用已知條件，又要時刻瞄準解題目標，既不僅要搞清是什么，還要搞清干什么，只有兼顧條件與結(jié)論，才能找到正確的解題途徑應用基本不等式時要注意不等式中等號成立的條件(2015·新課標全國卷)設(shè)a，b，c，d均為正數(shù)，且abcd，證明：(1)若ab>cd，則>；(2)>是|ab|<|cd|的充要條件解題指導切入點：不等式的性質(zhì)；關(guān)鍵點：不等式的恒等變形證明(1)因為()2ab2，()2cd2，由題設(shè)abcd，ab>cd得()2>

13、;()2.因此>.(2)若|ab|<|cd|，則(ab)2<(cd)2，即(ab)24ab<(cd)24cd.因為abcd，所以ab>cd.由(1)得>.若>，則()2>()2，即ab2>cd2.因為abcd，所以ab>cd.于是(ab)2(ab)24ab<(cd)24cd(cd)2.因此|ab|<|cd|.綜上，>是|ab|<|cd|的充要條件分析法是證明不等式的重要方法，當所證不等式不能使用比較法且與重要不等式、基本不等式?jīng)]有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明

14、的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆 對點訓練(2014·新課標全國卷)設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且abc1.證明：(1)abbcac；(2)1.證明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca得a2b2c2abbcca.由題設(shè)得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因為b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1.方法規(guī)律總結(jié)方法技巧1絕對值不等式求解的根本方向是去除絕對值符號2絕對值不等式在求與絕對值運算有關(guān)的最值問題時需靈活運用，同時還要注意等號成立的條件3在證明不等式時，應根據(jù)命題提供的信息選擇

15、合適的方法與技巧如在使用柯西不等式時，要注意右邊為常數(shù)易錯點睛1對含有參數(shù)的不等式求解時，分類要完整2應用基本不等式和柯西不等式證明時要注意等號成立的條件 課時跟蹤訓練(七十)一、填空題1不等式|2x1|<3的解集為_解析|2x1|<33<2x1<31<x<2.答案(1,2)2若不等式|kx4|2的解集為x|1x3，則實數(shù)k_.解析|kx4|2，2kx42，2kx6.不等式的解集為x|1x3，k2.答案23不等式|2x1|x1|<2的解集為_解析當x時，原不等式等價為(2x1)(x1)<2，即3x<2，x>，此時<x.當<

16、x<1時，原不等式等價為(2x1)(x1)<2，即x<0，此時<x<0.當x1時，原不等式等價為(2x1)(x1)<2，即3x<2，x<，此時不等式無解，綜上，原不等式的解為<x<0，即原不等式的解集為.答案4已知關(guān)于x的不等式|x1|x|k無解，則實數(shù)k的取值范圍是_解析|x1|x|x1x|1，當k<1時，不等式|x1|x|k無解，故k<1.答案(，1)5(2015·西安統(tǒng)考)若關(guān)于實數(shù)x的不等式|x5|x3|<a無解，則實數(shù)a的取值范圍是_解析|x5|x3|(x5)(x3)|8，故a8.答案(，86(2

17、015·重慶卷)若函數(shù)f(x)|x1|2|xa|的最小值為5，則實數(shù)a_.解析當a1時，f(x)3|x1|0，不滿足題意；當a<1時，f(x)f(x)minf(a)3a12a5，解得a6；當a>1時，f(x)f(x)minf(a)a12a5，解得a4.答案6或47若關(guān)于x的不等式|a|x1|x2|存在實數(shù)解，則實數(shù)a的取值范圍是_解析f(x)|x1|x2|f(x)3.要使|a|x1|x2|有解，|a|3，即a3或a3.答案(，33，)8已知關(guān)于x的不等式|xa|1x>0的解集為R，則實數(shù)a的取值范圍是_解析若x1<0，則aR；若x10，則(xa)2>(x

18、1)2對任意的x1，)恒成立，即(a1)(a1)2x>0對任意的x1，)恒成立，所以(舍去)或?qū)θ我獾膞1，恒成立，解得a<1.綜上，a<1.答案(，1)9設(shè)a，b，c是正實數(shù)，且abc9，則的最小值為_解析(abc)()2()2()2218，2，的最小值為2.答案210(2014·陜西卷)設(shè)a，b，m，nR，且a2b25，manb5，則 的最小值為_解析由柯西不等式，得(a2b2)(m2n2)(ambn)2，即5(m2n2)25，m2n25，當且僅當anbm時，等號成立的最小值為.答案11對任意x，yR，|x1|x|y1|y1|的最小值為_解析|x1|x|y1|y

19、1|(|1x|x|)(|1y|1y|)|(1x)x|(1y)(1y)|123，當且僅當(1x)·x0，(1y)·(1y)0，即0x1，1y1時等號成立，|x1|x|y1|y1|的最小值為3.答案312若不等式|x1|x4|a，對任意的xR恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_解析只要函數(shù)f(x)|x1|x4|的最小值不小于a即可由于|x1|x4|(x1)(x4)|5，所以5|x1|x4|5，故只要5a即可當a>0時，將不等式5a整理，得a25a40，無解；當a<0時，將不等式5a整理，得a25a40，則有a4或1a<0.綜上可知，實數(shù)a的取值范圍是(，41,0)答

20、案(，41,0)二、解答題13已知不等式2|x3|x4|<2a.(1)若a1，求不等式的解集；(2)若已知不等式的解集不是空集，求a的取值范圍解(1)當a1時，不等式即為2|x3|x4|<2，若x4，則3x10<2，x<4，舍去；若3<x<4，則x2<2，3<x<4；若x3，則103x<2，<x3.綜上，不等式的解集為.(2)設(shè)f(x)2|x3|x4|，則f(x)作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示由圖象可知，f(x)1，2a>1，a>，即a的取值范圍為.14(2015·新課標全國卷)已知函數(shù)f(x)|x1|2|xa|，a>0.(1)當a1時，求不等式f(x)>1的解集；(2)若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6，求a的取值范圍解(1)當a1時，f(x)>1化為|x1|2|x1|1>0.當x1時，不等式化為x4>0，無解；當1&