黃昆版固體物理學(xué)課后答案解析答案

1、固 體 物 理 學(xué) 習(xí) 題 解 答黃昆原著韓汝琦改編(陳志遠(yuǎn)解答，僅供參考)第一章晶體結(jié)構(gòu)1.1、解：實(shí)驗(yàn)表明，很多元素的原子或離子都具有或接近于球形對(duì)稱(chēng)結(jié)構(gòu)。因此，可以把這些原子或離子構(gòu) 成的晶體看作是很多剛性球緊密堆積而成。這樣，一個(gè)單原子的晶體原胞就可以看作是相同的小球按點(diǎn) 陣排列堆積起來(lái)的。 它的空間利用率就是這個(gè)晶體原胞所包含的點(diǎn)的數(shù)目n和小球體積V所得到的小球總體積nV與晶體原胞體積Vc之比，即：晶體原胞的空間利用率,nVVc(1)對(duì)于簡(jiǎn)立方結(jié)構(gòu)：(見(jiàn)教材P2圖1-1)4V=3a=2r，r3，Vc=a3，n=1r3a34 3r3_8r30.526(2 )對(duì)于體心立方:晶胞的體對(duì)角線

2、BG=、3a 4r a 土3 x3n=2, Vc=a34233a x(3)r3r34.33F)對(duì)于面心立方：晶胞面對(duì)角線Vc=a3/434 rx3_an=4,r3(22r)3(4 )對(duì)于六角密排:晶胞的體積:V= S0.68BC= . 2a 4r,0.74a=2r晶胞面積：S=6 S ABO2、2ra asin603.3 2= a2C a2 J-a 372a3 24血32 V31n=1212 -6436 rx3x 24.2r33=6個(gè)0.74(5 )對(duì)于金剛石結(jié)構(gòu)，晶胞的體對(duì)角線BG= .3a 4 2r8r3n=8, Vc=a38 3r38 3r3833r3,30.341.2、試證：六方密排堆

3、積結(jié)構(gòu)中C （8）1/2 1.633a 3證明：在六角密堆積結(jié)構(gòu)中，第一層硬球A、B、0的中心聯(lián)線形成一個(gè)邊長(zhǎng) a=2r的正三角形，第二層硬球N位于球ABO所圍間隙的正上方并與這三個(gè)球相切，于是：NA=NB=N0=a=2R.即圖中NABO構(gòu)成一個(gè)正四面體。1.3、證明：面心立方的倒格子是體心立方；體心立方的倒格子是面心立方。a1證明：（1 ）面心立方的正格子基矢（固體物理學(xué)原胞基矢）a2a3a i2(j a/ 別a/ 2(，k)k)j)由倒格子基矢的定義:a3)(a2 a3)aa0,rrr2,2i ,j,k3aaar raa_ J0,一,a2a3I0,22422aaaaJJ002222a2 r

4、 r r7 ij k)b1 2k)k)同理可得:b22 1(iajrak）即面心立方的倒格子基矢與體心立方的正格基矢相同。k)所以，面心立方的倒格子是體心立方。ra, r a( ir jrk)ra rrr（2）體心立方的正格子基矢（固體物理學(xué)原胞基矢）a?丁jk)ra丿rra3a(ijk)由倒格子基矢的定義：bi j（22 a3）r r rai (a2 a3)aa a2，2， 2aa a2，2， 2aa a2，2， 2a2a3a2a2j,a2aJ2ka2arbir(jrk)2r(irk)a即體心立方的倒格子基矢與面心立方的正格基矢相冋。2rra(ij)rb2同理可得：rb3所以，體心立方的倒格

5、子是面心立方。1.5、證明倒格子矢量Gh,h2b2vGGh1h2h3耳，容易證明urnCAuurCBr(jrk)垂直于密勒指數(shù)為（hhs）的晶面系。v v v h1b1 h2b2h3b3Gh1h,h3所以，倒格子矢量 Ghzb? h3b3垂直于密勒指數(shù)為（h1h2h3）的晶面系。解：簡(jiǎn)單立方晶格：vrr vvvaa2a3, a1ai,a2v v aj, a3v akrr rrrrr由倒格子基矢的疋義：b1 2 /r %r , b?2a32a1bb31.6、對(duì)于簡(jiǎn)單立方晶格，證明密勒指數(shù)為（h,k,l）的晶面系，面間距 d滿(mǎn)足：d2 a2,（h2 k2 l2），其中a為立方邊長(zhǎng)；并說(shuō)明面指數(shù)簡(jiǎn)單

6、的晶面，其面密度較大，容易解理。a a2 a3a-ia2 a3倒格子基矢：* v，b2 v，b3 k2a1a?a1 a2a3晶面族（hkl）的面間距：d2-vG1(h)2a(-)2 (-)2a a倒格子矢量：vvvvv2 v 2 v 2 vG hb1 kb2 lb3，G h i kj lkaaa2d2a(h2 k2 l2)面指數(shù)越簡(jiǎn)單的晶面，其晶面的間距越大，晶面上格點(diǎn)的密度越大，單位表面的能量越小，這樣的晶面 越容易解理。1.9、畫(huà)出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面，并指出（111）面與（100）面、（111）面與（110） 面的交線的晶向。解：（111）v v v1、 （1

7、11）面與（100）面的交線的AB，AB平移，A與O點(diǎn)重合，B點(diǎn)位矢：RBaj ak，uuu v v-（111）面與（100）面的交線的晶向 AB aj ak，晶向指數(shù)0 11。（111）v v v2、 （111）面與（110）面的交線的AB，將AB平移，A與原點(diǎn)O重合，B點(diǎn)位矢：Rbai aj，（111）面與uuu v v-（110）面的交線的晶向 AB ai aj ,晶向指數(shù)110。第二章固體結(jié)合2.1、兩種一價(jià)離子組成的一維晶格的馬德隆常數(shù)（2ln 2 ）和庫(kù)侖相互作用能，設(shè)離子的總數(shù)為2N。解 設(shè)想一個(gè)由正負(fù)兩種離子相間排列的無(wú)限長(zhǎng)的離子鍵，取任一負(fù)離子作參考離子 （這樣馬德隆常數(shù)中的

8、正負(fù)號(hào)可以這樣取，即遇正離子取正號(hào)，遇負(fù)離子取負(fù)號(hào)），用r表示相鄰離子間的距離，于是有(1) 21 1 1 1 .rjrijr 2r 3r 4r前邊的因子2是因?yàn)榇嬖谥鴥蓚€(gè)相等距離 ri的離子，一個(gè)在參考離子左面，一個(gè)在其右面，故對(duì)一邊求和后要乘2,馬德隆常數(shù)為211 1 1 n.234 234Qln(1XXXx) x.x 3411 1當(dāng) X=1 時(shí)，有 1. ln22l n22 3 4n2.3、若一晶體的相互作用能可以表示為u（r）m nr r試求：（1 ）平衡間距ro ；（2）結(jié)合能W （單個(gè)原子的）；（3）體彈性模量；（4）若取m 2,n10,r03代W 4eV，計(jì)算 及 的值。解：（1

9、）求平衡間距ro由du(r)0，有：dr r romn0m 1m nn U mi 1n 1roror0.nm結(jié)合能：設(shè)想把分散的原子（離子或分子）結(jié)合成為晶體，將有一定的能量釋放出來(lái)，這個(gè)能量 稱(chēng)為結(jié)合能（用w表示）（2）求結(jié)合能w （單個(gè)原子的）題中標(biāo)明單個(gè)原子是為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化，說(shuō)明組成晶體的基本單元是單個(gè)原子，而非原子團(tuán)、離子 基團(tuán)，或其它復(fù)雜的基元。顯然結(jié)合能就是平衡時(shí)，晶體的勢(shì)能，即Umin即：WU(r0) （可代入ro值，也可不代入）roro（3）體彈性模量由體彈性模量公式:2U(4) m = 2， n =10，ro3A，w = 4eV，求 a、B1018518ro2U(ro)104

10、 2(ro85 代入)ror.5roWU(ro)424eV5roro將 ro 3A，1eV 1.602 io19 J代入7.209 10 38 N m29.459 10 115 N（1）平衡間距ro的計(jì)算晶體內(nèi)能U （r）孑）平衡條件dUdr Lromm 1ronn 1roro(m（2）單個(gè)原子的結(jié)合能1W 2u(ro)，u(ro)roro(3)體彈性模量2u7)% V0晶體的體積VNAr3為常數(shù),晶體內(nèi)能U(r)U_TVN(2N(2 rmmrm1顯)Jn 1 /r2UN rV r(喀r1)為原胞數(shù)目13NAr23NAr22UV2N 122 9Vo2mmro2nnrommro由平衡條件V Vo

11、m 1ron 1ro13NAr。2mm ronnro2 9V02mmronro2UV2V VoN 122 9VommrroN nm2 9Vo2 mroNUo (2UV2V Vomn嘉(Uo)體彈性模量Uomn9Vo(4)若取m2,n10, ro3A,W4 eVm n)() n mW 102 r0，ro oro2W-95、， 1o1.2 1o eV m9.019、，210 eV m2.6、bcc和fee Ne的結(jié)合能，用林納德一瓊斯(LennardJones勢(shì)計(jì)算 Ne在bcc和fee結(jié)構(gòu)中的結(jié)合能之o2.96A.計(jì)算fcc結(jié)構(gòu)的H20.751kJ/ mo1，試與計(jì)算比值.v解u(r) 4()1

12、2 ()6rr,u(r)1-N(42)An()12A()6rrdu(r)0rr6 2 A|2 652人u0!n2ArAI2bccu ( r0 )bcc2(鋰)/(鋰)A12A1212.252/9.110.957fccu(r0)fcc14.452/12.132.7、對(duì)于H2，從氣體的測(cè)量得到 Lennard Jones參數(shù)為50 10 6 J ,的結(jié)合能以KJ/mol單位)，每個(gè)氫分子可當(dāng)做球形來(lái)處理.結(jié)合能的實(shí)驗(yàn)值為 值比較.v解以H2為基團(tuán)，組成fcc結(jié)構(gòu)的晶體，如略去動(dòng)能，分子間按Lenn ardJones勢(shì)相互作用,則晶體的總相互作用能為：12 6U 2N P12Rj6iR jR6 12

13、Pj14.45392;Rj12.13188,jio50 10 16erg, 2.96 A, N 6.022 1023/mol.將R/弋入U(xiǎn)得到平衡時(shí)的晶體總能量為因此，計(jì)2.55KJ / mol.12 628162 962 96U 2 6。22 10 /mol 50 10 16erg 12.1314.453.163.16算得到的出晶體的結(jié)合能為2. 55KJ/mol，遠(yuǎn)大于實(shí)驗(yàn)觀察值 0.75IKJ/mo1.對(duì)于出的晶體，量子修正是很重要的，我們計(jì)算中沒(méi)有考慮零點(diǎn)能的量子修正，這正是造成理論和實(shí)驗(yàn)值之間巨大差 別的原因.第三章固格振動(dòng)與晶體的熱學(xué)性質(zhì)3.1、已知一維單原子鏈，其中第j個(gè)格波，在

14、第n個(gè)格點(diǎn)引起的位移為，njaj si n( jt_n aqjj),j為任意個(gè)相位因子，并已知在較高溫度下每個(gè)格波的平均能量為，具體計(jì)算每個(gè)原子的平方平均位移。v解任意一個(gè)原子的位移是所有格波引起的位移的疊加，即njaj sin( jt naqjjj)(1)2nnjjnj2nj jnj g njj j由于njnj數(shù)冃非常大為數(shù)量級(jí)，而且取正或取負(fù)幾率相等，因此上式得第2項(xiàng)與第一項(xiàng)相比是一小量，可以忽略不計(jì)。所以2 nj j由于nj是時(shí)間t的周期性函數(shù)，其長(zhǎng)時(shí)間平均等于一個(gè)周期內(nèi)的時(shí)間平均值為21 T0 2j 0 aj sin( jt naqjToj)dt fa：(2)已知較高溫度下的每個(gè)格波的

15、能量為KT， nj的動(dòng)能時(shí)間平均值為T(mén)nj1 LdxT0 1T。00 22 d nj dTdt2wa：2To0T2aj sin(122jt naqjj)dtWj La其中L是原子鏈的長(zhǎng)度,使質(zhì)量密度，To為周期。所以 Tnj1 w2La24KT2(3)因此將此式代入（2）式有2njKT2jPL所以每個(gè)原子的平均位移為2njKTjKTPL j12j3.2、討論N個(gè)原胞的一維雙原子鏈（相鄰原子間距為a），其2N個(gè)格波解，當(dāng) M = m時(shí)與一維單原子鏈的結(jié)果對(duì)應(yīng)。;質(zhì)量為m的原子位于2n，2n+2，2n+4A、B有非零解,cosaq兩種不同的格波的色散關(guān)系m跖M&2n1(2 2n 2n 1(2 2n

16、 1 2n2N個(gè)獨(dú)立的方程(2 m 2)A (2(2 cosaq)A (2cosaq)B 0M 2)B 0cosaqM 2(m M)mM(m M)mM(m M)mM111-Msin2aq2(m M )4mMsi n2aq2(m M )214mM sin aq2 (m M )2n 1)2 2n)兩種色散關(guān)系如圖所示:長(zhǎng)波極限情況下q 0，噸)詈(2)q與一維單原子晶格格波的色散關(guān)系一致m和10 ，兩種原子質(zhì)量相等，且H23.3、考慮一雙子鏈的晶格振動(dòng)，鏈上最近鄰原子間的力常數(shù)交錯(cuò)地為最近鄰原子間距為 a 2。試求在q 0,q a處的(q)，并粗略畫(huà)出色散關(guān)系曲線。此問(wèn)題模擬如 這樣的雙原子分子晶

17、體。XCHOO0 tlB2n * 4答: ( 1)淺色標(biāo)記的原子位于 2n-1, 第2n個(gè)原子和第2n+l2n+1，2n+32n+ 1個(gè)原子的運(yùn)動(dòng)方程：;深色標(biāo)記原子位于2n,2n+2,2n+42n 12 2n體系N個(gè)原胞,有2N個(gè)獨(dú)立的方程方程的解:2niAe1t (2n)2aq2n 1IBet (2n哽，令1 /m,2/m，將解代入上述方程得:(12(12e22.1I aq2.1i aq2Jaqe222e2)a2 i1aq2e2 )A ()B2)BA、B有非零的解，系數(shù)行列式滿(mǎn)足:21e22.1i aq22)，22ei1aq),112尹2)2I !aqe22)2.1(12e23q22e22

18、e22e1iaq2 )2)i 1aq2 )(i1aq2 )(21e21e.1I aq.1i aq.1評(píng))因?yàn)?22C、210 ，令 01,210c2:10 0得到mm(11 02)2(101 20cosaq) 4022 o0兩種色散關(guān)系：2 o(11 20cosqa 101)當(dāng) q 0時(shí)，20(11 121),當(dāng)q 時(shí),a2(2)色散關(guān)系圖:3.7、設(shè)三維晶格的光學(xué)振動(dòng)在q=0附近的長(zhǎng)波極限有(q)0 Aq2求證:1/20；f()0,v解0時(shí),Aq2 0f ()0,Aq2依據(jù)q (q)2Aq, f(ds，并帶入上邊結(jié)果有(q)12dsq (q)A1/21?20V22A3/21/23.8、有N個(gè)

19、相同原子組成的面積為S的二維晶格，在德拜近似下計(jì)算比熱,并論述在低溫極限比熱正比證明：在k到kdk間的獨(dú)立振動(dòng)模式對(duì)應(yīng)于平面中半徑n dn間圓環(huán)的面積 2 ndn，且ndn2kdk5kdk 即23s2d3s2 v 22dh /kBT eE。3skBT33s kpT0時(shí)，ET3, Cvh /kBT exd x2dxDXD e 1()s T23.9、寫(xiě)出量子諧振子系統(tǒng)的自由能，證明在經(jīng)典極限下，自由能為F UokBTq證明：量子諧振子的自由能為2 kpTIn 1JksT經(jīng)典極限意味著(溫度較高)應(yīng)用所以h qkBTh qkBT因此1hkBT| nqkBTUokpTI其中Uo uq2hkpT3.10

20、、設(shè)晶體中每個(gè)振子的零點(diǎn)振動(dòng)能為1h ，使用德拜模型求晶體的零點(diǎn)振動(dòng)能。2證明:根據(jù)量子力學(xué)零點(diǎn)能是諧振子所固有的，與溫度無(wú)關(guān)，故T=0K時(shí)振動(dòng)能Eo就是各振動(dòng)模零點(diǎn)能之和。mE。0 E。gd將E1h 和g3V22 3代入積分有022Vs3V499E。23 mhNm，由于h mkBD得E。NkBD16相應(yīng)聲子能量是多少電子伏。 Vs在300k時(shí)的平均聲子數(shù)。. 088一股晶體德拜溫度為102K，可見(jiàn)零點(diǎn)振動(dòng)能是相當(dāng)大的，其量值可與溫升數(shù)百度所需熱能相比擬.3.11、一維復(fù)式格子 m 5 1.67 10 24g,M 4, m1.5 101N /m (即1.51 104dyn/cm),求(1),光

21、學(xué)波 max, min , 聲學(xué)波A max 。解(1),A max2 1.5 104dy n/cm 4 5 1.67 10243.00 1013s 1o max242 1.5 104 5 51.67 10 dyn/cmMm24244 5 1.67 105 1.67 101316.70 10 sA max41.5 10 dyn/cm5 1.67 10245.99 1013s1hA max6.5810165.991013s11.97102 eV(2) ho max6.5810166.701013s14.41102 eVho min6.5810163.001013s13.95102 eV(3)nm

22、axeh max/ kBT10.873nmaxO0.221。人 max / kBT1Onmineh min/kBT0.276(4)空 28.1 m第四章能帶理論并說(shuō)明它們的特性說(shuō)4.1、根據(jù)k 狀態(tài)簡(jiǎn)并微擾結(jié)果，求出與E及E相應(yīng)的波函數(shù)及 ?a2 *明它們都代表駐波，并比較兩個(gè)電子云分布說(shuō)明能隙的來(lái)源（假設(shè)Vn = Vn）。V解令k- , k ,簡(jiǎn)并微擾波函數(shù)為A 0（x） B 0（x）aa廣0 *E （k） E A VnB 0VnAE0 k E B 0帶入上式，其中 E E(k) |VnV(x) 0。于是，把近鄰格矢 Rs代入Es（Rs）表達(dá)式得到:時(shí)）JoJ1Rsv vik &e近鄰Joa

23、i2(kx ky)J1 eaai-(kx ky)i-( kx ky)e 2 e 2ai( kx ky) ei2(ky kz)i2.(ky kz)i|( ky kz)e 2e 2e 2i|( ky kz)i2(kx kz)e 2+e 2ai (kx kz) eai ( kx kz) eai ( kx kz) es Jo 2J1cos(kxky) cos號(hào)(kx ky)cos|-(kykz) cos|-(ky kz)cos- (kzkx) cos(kzkx)cos()cos() 2coscosaaaaaas J0 4J1 cos kx cos ky cos ky cos kz cos kz cos

24、 kx222222（2）對(duì)于體心立方：有8個(gè)最近鄰，這8個(gè)最近鄰的坐標(biāo)是:a aaa2（1,1,1），2（1,11），2（1,1,1），2（1,1,1）aaaa2（1,1,1），2（1,1,1,），2（1,1,1）,（1,1,1）vEs(k)a a as J。8Jj(cosq kxcosqkyCOSqkz)4.7、有維單原子鏈，間距為 a,總長(zhǎng)度為E(k)函數(shù)。(2)求出其能態(tài)密度函數(shù)的表達(dá)式?！?。求(1)用緊束縛近似求出原子(3)如果每個(gè)原子s態(tài)只有一個(gè)電子,s態(tài)能級(jí)對(duì)應(yīng)的能帶 求等于 T=0K的費(fèi)米能級(jí)eF及eF處的能態(tài)密度。V解(1),E(k) s j J1(eikaeika)J0 2

25、J1 coskaE0 2J1 coskaE(k) E J。J(Ps)eikRs(2) ,N(E) 2(3),kFN 20(k)E(kF)dkdE2dk 22NaNa2E 2J1 cosa2a2J1asin ka2kF皿Es, N(EF)NJ1 sin ka2aJ1 sina2aJ12倍.(b)對(duì)于(c)(b)的結(jié)果對(duì)于乙？a區(qū)邊中點(diǎn)的波矢為Kai?角頂B點(diǎn)的波矢為Kba4.8、證明一個(gè)自由簡(jiǎn)單晶格在第一布里淵區(qū)頂角上的一個(gè)自由電子動(dòng)能比該區(qū)一邊中點(diǎn)大 一個(gè)簡(jiǎn)單立力晶格在第一布里淵區(qū)頂角上的一個(gè)自由電子動(dòng)能比該區(qū)面心上大多少？ 二價(jià)金屬的電導(dǎo)率可能會(huì)產(chǎn)生什么影響7解(a) 二維簡(jiǎn)單正方晶格的晶格

26、常數(shù)為a,倒格子晶格基矢 A i?Ba第一布里淵區(qū)如圖所示h2自由電子能量2m k2 k2 K；A點(diǎn)能量A2mh22mh22mB點(diǎn)能量Bh22mK：K：h22mb）簡(jiǎn)單立方晶格的晶格常數(shù)為a,h22m,所以b/ a 2倒格子基矢為?B?C第一布里淵區(qū)如圖7 2所示.A點(diǎn)能量h222m aB點(diǎn)能量掃 K； Ky K；h2 2m ah22m72所示根據(jù)自由電子理論，自由電子的能量為h22mK；K；K； , FerM面應(yīng)為球面.由（b）可知，內(nèi)切于 4點(diǎn)的內(nèi)切球的體積3g2ga 21.047N3，于是在 K空間中，內(nèi)切球內(nèi)能容納的電子數(shù)為a其中V Na所以b/（C）如果二價(jià)金屬具有簡(jiǎn)單立方品格結(jié)構(gòu)，

27、布里淵區(qū)如圖二價(jià)金屬每個(gè)原子可以提供2個(gè)自由電子，內(nèi)切球內(nèi)只能裝下每原子1.047個(gè)電子，余下的0.953個(gè)電子可填入其它狀態(tài)中如果布里淵區(qū)邊界上存在大的能量間隙，則余下的電子只能填滿(mǎn)第一區(qū) 內(nèi)余下的所有狀態(tài)（包括B點(diǎn)）這樣，晶體將只有絕緣體性質(zhì)然而由（b）可知，B點(diǎn)的能員比A點(diǎn)高很多，從能量上看，這種電子排列是不利的事實(shí)上，對(duì)于二價(jià)金屬，布里淵區(qū)邊界上的能隙很 小，對(duì)于三維晶體，可出現(xiàn)一區(qū)、二區(qū)能帶重迭這樣，處于第一區(qū)角頂附近的高能態(tài)的電子可以“流向”第二區(qū)中的能量較低的狀態(tài)，并形成橫跨一、二區(qū)的球形Ferm面因此，一區(qū)中有空態(tài)存在，而二區(qū)中有電子存在，從而具有導(dǎo)電功能實(shí)際上，多數(shù)的二價(jià)金屆

28、具有六角密堆和面心立 方結(jié)構(gòu)，能帶出現(xiàn)重達(dá)，所以可以導(dǎo)電.4.10、解：設(shè)晶體中有N個(gè)Ci原子，向其中摻入x個(gè)鋅原子。則晶體中電子的總數(shù)為:(N-x)+2x=N+x由于Cl是面心立方，每一個(gè)原胞中含4個(gè)電子。因此：晶體中包含的原胞數(shù)為:其倒格子為體心立方，倒格子的邊長(zhǎng)為:，對(duì)角線的長(zhǎng)度為:于是：布里淵區(qū)邊界到原點(diǎn)的距離為:1 4.3.3即：當(dāng)Fermi球與第一布里淵區(qū)邊界相切時(shí),又由：2 3N x23kF3 23 ；3 33 2a3a3于是有:N xN 3a4a30.3597亠竺込03597 0.56N x 1 0.35970.6403即：當(dāng)鋅原子與銅原子之比為0.56時(shí)，F(xiàn)ermi球與第一布

29、里淵區(qū)邊界相接觸。4.12、正方晶格.設(shè)有二維正方晶格，晶體勢(shì)為U x, y 4U cos 2上 cosaa用基本方程，近似求出布里淵區(qū)角,處的能隙.a a解 以？表示位置矢量的單位矢量，以?,1?表示倒易矢量的單位矢量，則有， r x? yi?G Gt? G?/ g1b1 g2b2 ,g1,g2為整數(shù)。a晶體勢(shì)能 U x, y 4U coscos 乙.aa其中Ugii.2 .2 .2 .2ixixiyiye e e eU,而其他勢(shì)能傅氏系數(shù)UG10UgG(K G) 0 變?yōu)镚Ugiic KG11 UGn c K G11UgG 11U G 20UgilCiG 11ii eK G11這樣基Ugl

30、ic K G11求布里，即k1 1g(22)-G 11處的能隙，可利用雙項(xiàng)平面波近似2C(K)eiKr1當(dāng)K -G2!g 112G 11G 111g 112Lg 112!g 112,C,C由行列式有（所以在（一,-a)2C(K11 ,K-G 1121111111 G 112!g2h22mu211UCG)ei(KG）r來(lái)處理。lG,K!g2UC!g 1121111知1LG 1120解得）處的能隙為 a時(shí)依次有-G 11而其他的K G 112在雙 項(xiàng)平面 波近似 下上式11=0,因?yàn)閔2 22ma2 2r u, ma2u.第五章 晶體中電子在電場(chǎng)和磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)5.1、設(shè)有一維晶體的電子能帶可寫(xiě)成E

31、(k)ma1coska 8cos2ka），其中a為晶格常數(shù)，是電子的質(zhì)量。試求（1）能帶寬度；（2）電子在波矢k狀態(tài)的速度;（3）帶頂和帶底的電子有效質(zhì)量。解：（1）E(k)h 7( coskama 8cos2ka)82 ma7 - coska+8(2cos2ka-1)h24ma22(coska 2) 1當(dāng) ka= (2n+1)時(shí),n=0,1, 2E max (k)2h22 ma當(dāng)ka=2n 時(shí)，Emin(k) 0能帶寬度一EmaxEmin2ma(2)1 dE(k)1 e、(si n kasin 2ka)hdkma4*mh22m(cos ka1 cos2ka) 1Ek22當(dāng)k0時(shí),帶底，m*2

32、m當(dāng)k一時(shí),帶頂，m* 2 ma35.5、解：（1）電子的運(yùn)動(dòng)速度:片、擊宀dvd ,1加速度：（一dt dt h由于單位時(shí)間內(nèi)能量的增加1v - hvkE(k)止)-khdEvk dt=力在單位時(shí)間內(nèi)作的功即:dEdfdtdVdt1vh2 V VE F1h2VEkiFiEk2F2寫(xiě)成分量的形式:dv.)dt1h72EkTF12Ek1k2F22emnF1F2F3dv212E 匚2F1dt h k k2F3m21F11m22F21m23F32E2Ek?F31m31F1F21m33F3其中：112e2( i,j=1,2,3)mijhki kjdv3 丄dth2k3k1F1k2F2由題知：-h2k2

33、 h2k； hk；E -2m, 2m2 2g容易得出:11_Emn h2 匕2同理:m221m211m33譏12Eh2 k1 k2同理:mi31 1 1m21m23m31故運(yùn)動(dòng)方程為:m31dtdv3m3 dtF1F2F3（2）當(dāng)存在磁場(chǎng) 百作用時(shí)，電子將受到洛侖茲力作用當(dāng)B相對(duì)于橢球主軸的方向余弦為，時(shí)，電子的運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)成:V1V2B BV3BMBV3Bv)iMBV1B)j (V1BV2B )k電子的運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)成:dudtFie(V2BV3B )2V33V2dV2F2&V3BViB )3ViMdV3 dtF3e(ViBViB )iV22VieB,2eB ,3 eBmim2m3其中：1由于

34、電子在磁場(chǎng)B作用下作周期性運(yùn)動(dòng),故可設(shè)試探解:ViweV2i tV2e代入上述方程組可得：V3i tV3eimiVi2V33V2imiVi3V22V30im2V23ViiV3即3Viim2V2iV30imhV3iV22Vi2Viv2 imhV30i tVi, V2, V3有非零解的條件是i mi323im2i02i im332 2 2imim2m3i mi i im22im33222 2 2 2即: 2m im22m33,2 mim2m3=e Bm2m2m3m1m2m32 22=e B = *2m2m*mim2m32 2mi2 2m22 2m3i/2eB即：其中：m*mm2m3證畢22 2 2

35、2 2m*mim2m3第六章金屬電子論第七章半導(dǎo)體電子論o7.1、InSb電子有效質(zhì)量 me 0.015m，介電常數(shù)18，晶格常數(shù)a 6.49 A。試計(jì)算；施主的電離能；(2)基態(tài)軌道的半徑；(3)施主均勻分布，相鄰雜質(zhì)原于的軌道之間將產(chǎn)生交疊時(shí)摻有的施主濃度應(yīng)該 高于多少？m *解(1)由于施主電離能 Ed是氫原子電離能 Ei的2倍,moEdm* Ejm0.014 13.6(17)2(eV)46.59 10 (eV)(2), a0h2m* e2o6.31 102(A)6.31 10 8(m)(3),如果施主的電子與類(lèi)氫基態(tài)軌道發(fā)生重疊，則均勻分布于InSb中施主雜質(zhì)濃度 Nd就一定滿(mǎn)足313

36、(2a) Nd 1, % 広)1(2 6.31 10 8)34.98 1020(m 2)第十二章晶體中的缺陷和擴(kuò)散例1假設(shè)把一個(gè)鈉原子從鈉晶體內(nèi)部移到邊界上所需要的能量為空位的濃度？（已知： Na=0.97克/原米3,原子量為23）lev，試計(jì)算室溫 （300k）時(shí)，sckottky解：（1）設(shè)N為單位體積內(nèi)的 Na原子數(shù)，則在溫度 T時(shí)，schottky定位的濃度n可寫(xiě)成：n Ne KBT由題知：u=1ev=1.602 x 1019JNa =0.97克/厘米3每cm3含Na的mol數(shù)為:0.9723每cm3Na中所含的原子數(shù)為:N= 097 6.02 10230.97236.0210231.

37、6 10191.38 10 23 3004.2 105個(gè):厘米3Frenkel 缺例2.如果u代表形成一個(gè)Frenkel缺陷所需的能量，證明在溫度T時(shí)，達(dá)到熱平衡的晶體中,U2Kb陷的數(shù)目為：n 、NNe解：達(dá)到熱平衡時(shí)，在N個(gè)原子的晶體中形成 n個(gè)空位的可能方式數(shù)為:W1CnN !(N n” n!這n個(gè)原子排列在 N /個(gè)間隙位置上的可能方式數(shù)為:nW2Cn N !(N n)! n!這樣，從N個(gè)原子中取出n個(gè)原子并把它們排 n，個(gè)間隙位置上的總方式數(shù)為:N !Nn)! n!g(N n)! n! (N，由此引起的熵的增量為:Vs kB ln w kBlnN!(N n)! n!lnN!(N n)!n!利用斯特令公式:luN!=NlnN-N得 Vs kB Nl nN (N n)ln(N n) nln nkB Nl nN (N n)ln(N n