三角形四心與向量的典型問(wèn)題分析

1、三角形四心與向量的典型問(wèn)題分析向量是數(shù)形結(jié)合的載體，有方向，大小，雙重性，不能比較大小。在高中數(shù)學(xué)“平面向量”（必修4第二章）的學(xué)習(xí)中，一方面通過(guò)數(shù)形結(jié)合來(lái)研究向量的概念和運(yùn)算；另一方面，我們又以向量為工具，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題和物理的相關(guān)問(wèn)題。在平面向量的應(yīng)用中，用平面向量解決平面幾何問(wèn)題時(shí)，首先將幾何問(wèn)題中的幾何元素和幾何關(guān)系用向量表示，然后選擇適當(dāng)?shù)幕紫蛄?，將相關(guān)向量表示為基向量的線性組合，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基向量的運(yùn)算問(wèn)題，最后將運(yùn)算的結(jié)果再還原為幾何關(guān)系。下面就以三角形的四心為出發(fā)點(diǎn)，應(yīng)用向量相關(guān)知識(shí)，巧妙的解決了三角形四心所具備的一些特定的性質(zhì)。既學(xué)習(xí)了三角形四心的一些特定性

2、質(zhì)，又體會(huì)了向量帶來(lái)的巧妙獨(dú)特的數(shù)學(xué)美感。一、“重心”的向量風(fēng)采【命題1】 已知是所在平面上的一點(diǎn)，若，則是的重心如圖.M 圖圖 【命題2】 已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則的軌跡一定通過(guò)的重心.【解析】 由題意，當(dāng)時(shí)，由于表示邊上的中線所在直線的向量，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的重心，如圖.二、“垂心”的向量風(fēng)采【命題3】 是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的垂心【解析】 由，得，即，所以同理可證，是的垂心如圖. 圖圖【命題4】 已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的垂心【解析】 由題意，由于，即,所以表示垂直于的向量，即點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)且垂直于的直

3、線上，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的垂心，如圖.三、“內(nèi)心”的向量風(fēng)采【命題5】 已知為所在平面上的一點(diǎn)，且， 若，則是的內(nèi)心圖圖【解析】 ，則由題意得，與分別為和方向上的單位向量，與平分線共線，即平分同理可證：平分，平分從而是的內(nèi)心，如圖.【命題6】 已知是平面上一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的內(nèi)心【解析】 由題意得，當(dāng)時(shí)，表示的平分線所在直線方向的向量，故動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的內(nèi)心，如圖.四、“外心”的向量風(fēng)采【命題7】 已知是所在平面上一點(diǎn)，若，則是的外心圖圖【解析】 若，則，則是的外心，如圖?！久}7】 已知是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定通過(guò)的外心?！窘馕觥?由于過(guò)的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，表示