與三角形四心相關(guān)的向量結(jié)論

1、與三角形“四心”相關(guān)的向量結(jié)論濮陽市華龍區(qū)高中 張杰 隨著新課程對(duì)平面幾何推理與證明的引入，三角形的相關(guān)問題在高考中的比重有所增加。平面向量作為平面幾何的解題工具之一，與三角形的結(jié)合就顯得尤為自然，因此對(duì)三角形的相關(guān)性質(zhì)的向量形式進(jìn)行探討，就顯得很有必要。本文通過對(duì)一道高考模擬題的思考和探究，得到了與三角形“四心”相關(guān)的向量結(jié)論。希望在得出結(jié)論的同時(shí)，能引起一些啟示。 問題：設(shè)點(diǎn)在內(nèi)部，且有，則與的面積的比值是_. 分析： 設(shè)，則， 則點(diǎn)為的重心. 而 ，. 探究：實(shí)際上，可以將上述結(jié)論加以推廣，即可得此題的本源。 結(jié)論： 設(shè)點(diǎn)在內(nèi)部，若，則證明： 已知點(diǎn)在內(nèi)部，且 設(shè)：，則點(diǎn)為DEF的重心，

2、 又， 說明: 此結(jié)論說明當(dāng)點(diǎn)在內(nèi)部時(shí)，點(diǎn)把所分成的三個(gè)小三角形的面積之比等于從此點(diǎn)出發(fā)分別指向與三個(gè)小三角形相對(duì)應(yīng)的頂點(diǎn)的三個(gè)向量所組成的線性關(guān)系式前面的系數(shù)之比。應(yīng)用舉例：設(shè)點(diǎn)在內(nèi)部，且，則的面積與的面積之比是： A2：1 B3：1 C4：3 D3：2 分析：由上述結(jié)論易得：，所以，故選D 當(dāng)把這些點(diǎn)特定為三角形的“四心”時(shí)，我們就能得到有關(guān)三角形“四心”的一組統(tǒng)一的向量形式。引申：設(shè)點(diǎn)在內(nèi)部，且角所對(duì)應(yīng)的邊分別為 結(jié)論1：若為重心，則 分析：重心在三角形的內(nèi)部，且重心把的面積三等分.結(jié)論2 ：為內(nèi)心，則 分析：內(nèi)心在三角形的內(nèi)部，且易證SBOC：SCOA：SAOB=結(jié)論3： 為的外心，則

3、 分析： 易證SBOC：SCOA：SAOB=sin2A：sin2B：sin2C. 由結(jié)論3及結(jié)論：為的外心，為的垂心，則可得結(jié)論4。 結(jié)論4：若為垂心，則 即 證明：對(duì)任意有，其中為外心，為垂心， ， 則由平面向量基本定理得：存在唯一的一組不全為0的實(shí)數(shù)，使得， 即，由結(jié)論3得： 所以有：， 所以可得： 化簡(jiǎn)后可得： 應(yīng)用舉例：例1：已知為的內(nèi)心，且，則角的余弦值為 。分析：由結(jié)論2可得，所以由余弦定理可得：例2：已知的三邊長(zhǎng)為，設(shè)的外心為，若， 求實(shí)數(shù)的值。分析： ，整理后即得：. 由結(jié)論3可得：，又易得， . 點(diǎn)評(píng)：此題的通用解法應(yīng)該是構(gòu)造與基底相關(guān)的如下方程組： 解方程組可得結(jié)果。 例3：設(shè)是的垂心，當(dāng)時(shí)，求實(shí)數(shù)的值. 分析： 由結(jié)論4可得：. 而，整理后得： 由，可得， .而， 解得，. 點(diǎn)評(píng)：此題的通用解法應(yīng)該是仿例2的點(diǎn)評(píng)，構(gòu)造與基底相關(guān)的方程組。 通過這樣的思考、探究，不僅得到了與三角形的“四心”相關(guān)的有用結(jié)論，更為重要的是對(duì)提高發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力有很大幫助，正契合了新課標(biāo)對(duì)學(xué)生