與平行四邊形有關(guān)的常用輔助線作法歸類解析

1、與平行四邊形有關(guān)的常用輔助線作法歸類解析本文結(jié)合例題歸納六類與平行四邊形有關(guān)的常見輔助線，供同學(xué)們借鑒：第一類：連結(jié)對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化成兩個(gè)全等三角形。例1如左下圖1,在平行四邊形 ABCD中，點(diǎn)E,F在對角線AC上，且AE = CF ,請你以F為一個(gè)端點(diǎn)，和圖中已標(biāo)明字母的某一點(diǎn)連成一條新線段，猜想并證明它和圖中已 有的某一條線段相等（只需證明一條線段即可）連結(jié)BFBF = DE證明：連結(jié) DB,DF，設(shè)DB, AC交于點(diǎn)O四邊形 ABCD為平行四邊形. AO = OC,DO = OB. AE = FC. . AO-AE=OC - FC 即 OE = OF，四邊形EBFD為平行四邊形B

2、F = DE第二類：平移對角線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為梯形。例2如右圖2,在平行四邊形 ABCD中，對角線AC和BD相交于點(diǎn)O,如果AC = 12,BD=10, AB = m，那么m的取值范圍是（）A1 二 m 二 11 B2 :二 m :二 22 C10 :二 m 二 12 D5 :二 m :二 6解：將線段 DB沿DC方向平移，使得 DB =CE ,DC = BE ,則有四邊形CDBE為平行四邊形，.在 AACE 中，AC =12,CE = BD = 10, AE = 2AB = 2m 12-10 <2m<12 + 10,即 2<2m<22 解得 1<m<1

3、1 故選 A第三類：過一邊兩端點(diǎn)作對邊的垂線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為矩形和直角三角形問題。例3已知：如左下圖3,四邊形 ABCD為平行四邊形、222222求證：AC BD = AB BC CD DA證明：過A,D分別作AE_LBC于點(diǎn)E, DF _L BC的延長線于點(diǎn)FAC2 =AE2 CE2 = AB2 - BE2 （BC - BE）2 = AB2 BC 2 - 2BE BC則 AC2 BD2 =AB2 BC2 CD2 DA2 2BC CF -2BC BE 四邊形ABCD為平行四邊形AB / CD且AB = CD , AD = BC /ABC =/DCF/AEB =/DFC =90°M

4、BE = ADCFBE=CF AC2 BD2 = AB2 BC2 CD2 DA2第四類：延長一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形。例4：已知：如右上圖4,在正方形 ABCD中，E,F分別是CD、DA的中點(diǎn)，BE與CF交于P點(diǎn)，求證：AP = AB證明：延長CF交BA的延長線于點(diǎn) K .四邊形 ABCD為正方形AB / CD 且 AB=CD, CD = AD , /BAD =/BCD =ZD =90° /1 =/K又: /D =/DAK =90°, DF = AFACDF 色 AKAF八八 1八1AK =CD =ABCE =CD,DF =AD . CE = DF22&

5、#163; CPB = 90°,則 / KPB = 90°/BCD =/D =90°ABCE ACDF，N1=/2 /1 +N3 =90°Z2 +/3 = 90°AP = AB第五類：延長一邊上一點(diǎn)與一頂點(diǎn)連線，把平行四邊形轉(zhuǎn)化為平行線型相似三角形。例5如左下圖5,在平行四邊形 ABCD中，點(diǎn)E為邊CD上任一點(diǎn)，請你在該圖基礎(chǔ) 上，適當(dāng)添加輔助線找出兩對相似三角形。解：延長AE與BC的延長線相交于 F ,則有AAED s AFEC , AFAB s AFEC , MED s AFAB第六類：把對角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)連結(jié)，構(gòu)造三角形中位線1 _ 一

6、例6已知：如右上圖6,在平行四邊形 ABCD中，AN = BN,BE=BC,NE3交BD于F ,求BF : BD解：連結(jié)AC交BD于點(diǎn)O,連ZON四邊形ABCD為平行四邊形OA=OC,OB =OD =BD2. AN = BN1八. BE BC 3,BF 2 . “ ， BO 一 5一 1 人 一 1 人ON /BC 且 ON =1BC22 . BE :ON =2:3 . BF : BD =1:5BEONBF _ 2FO 一 3BFFO綜上所述，平行四邊形中常添加輔助線是：連對角線，平移對角線，延長一邊中點(diǎn)與頂點(diǎn)連線等，這樣可將平行四邊形轉(zhuǎn)化為三角形（或特殊三角形）、矩形（梯形）等圖形,為證明解

7、決問題創(chuàng)造條件。四邊形平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點(diǎn)。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹?口， 平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。 上述方法不奏效，過腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。 等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片梯形的輔助線口訣：梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)楹涂?。平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出 現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。上述方法不奏效，過腰中點(diǎn)全等造。通常情況下，通過做輔助線，把梯形轉(zhuǎn)化為三角形、平行四邊形，是解梯形 問題的基本思路。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。 常見的幾種 輔助線

8、的作法如下：作法圖形平移腰，轉(zhuǎn)化 為三角形、平行四 邊形。平移對角線。轉(zhuǎn)化為三角形、平 行四邊形。延長兩腰，轉(zhuǎn) 化為三角形。作高，轉(zhuǎn)化為 直角三角形和矩 形。中位線與腰中點(diǎn)連線。（一）、平移1、平移一腰:例 1.如圖所示，在直角梯形 ABCtDK /A= 90° , AB/ DC AD= 15, AB=16, BO 17.求 CD的長.解：過點(diǎn)D作DE/ BC交AB于點(diǎn)E.又AB/ CD所以四邊形BCDEI平行四邊形.所以 DE= BO 17, C5 BE.在RDAE中，由勾股定理，得aU=dE AD,即 A= 172 152 = 64.所以A已8.所以B已AB- A已16-8 =

9、8.例2如圖，梯形ABCD勺上底AB=3下底CD=8月要AD=4求另一腰BC的取 值范圍。解：過點(diǎn)B作BM/AD交CD于點(diǎn)M 在/XBCW, BM=AD=4CM=CD DM=CD AB=8- 3=5, 所以BC的取值范圍是： 5-4<BC<54,即 1<BC<9 2、平移兩腰：例 3 如圖，在梯形 ABCD中,AD/BC, / B+ / C=90° , AD=1 BC=3 E、F 分別是AD BC的中點(diǎn)，連接EF,求EF的長。解：過點(diǎn)E分別作AB CD的平行線，交BC于點(diǎn)G H,可得/ EGHk / EHG= B+ / C=90°則EGK直角三角形因

10、為E、F分別是AD BC的中點(diǎn)，容易證得F是GH的中點(diǎn).11 ,所以 EF =GH = (BC -BG -CH )223、平移對角線:例 4、已知：梯形 ABCm，AD/BC, AD=1 BC=4 BD=3 AC=4 求梯形 ABCD的面積.解：如圖，作DEE/ AC交BC的延長線于: AD/ BC四邊形ACE北平行四邊形BE=BC+CE=BC+AD=4+,1=DE=AC=4.在DBEt, BD=3,DE=4 BE=5丁. / BDE=90 .作 DHL BC于 H,貝U DHBD ED 12巳點(diǎn).BE 5S梯形ABCD（AD BC） DH匚125 5 會二 62例5如圖，在等腰梯形 ABCD

11、fr, AD/BC,AD=3 BC=7 BD=52 ,求證：AC± BQ解：過點(diǎn)C作BD的平行線交AD的延長線于點(diǎn)E,易得四邊形BCE北平行四邊形,貝U DE=BC CE=BD=<12 ,所以 AE=AD- DE=AD- BC=* 7=10。在等腰梯形ABCDfr, AC=BD=6,所以在 ACE, AC 2 +CE2 =（5亞）2 十（5女）2 =100 = AE2 ,從而ACL CE,于是ACL BD例 6 如圖，在梯形 ABCDt, AB/CD, AC=15cm BD=20cm 高 DH=12cm 求梯形ABCD勺面積。解：過點(diǎn)D作DE/AC,交BC的延長線于點(diǎn)E,則四邊

12、形ACE北平行四邊形,即 S &BD =S&CD SDCE q所以 S梯形ABCD = SaBE由勾股定理得EH = DE2 - DH 2 - AC2 - DH 2= 4152 -122 =9 7項(xiàng)BH = . BD2 -DH 2 = .202 -122=16(cm)C1一S DBE = BE 所以 212DH = (9 16) 12 =150(cm2)2,即梯形ABCD勺面積是2150cm。（二）、延長即延長兩腰相交于一點(diǎn)，可使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例 7 如圖，在梯形 ABCLfr, AD/BC, / B=50° , C C=8（J , AD=2 BC=5 求CD的長

13、。解：延長BA CD交于點(diǎn)E。在 BCE, / B=50° , / C=80° 。所以/ E=50° ,從而 BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以 CD=EGED=5- 2=3BC AO BD, AD= BC.判斷例8.如圖所示，四邊形ABCLfr, AD不平行于四邊形ABCD勺形狀，并證明你的結(jié)論.解：四邊形ABCD1等腰梯形.證明：延長AD BC相交于點(diǎn)E,如圖所示.,. AO BD AD= BC AB= BA,. .DA皆 ACBA.丁 / DA四 / CBA.EA= EB.又 AD= BC a DE= CE / EDC= /ECD.而 / E+ / E

14、A計(jì) / EBA= / E+ / EDCb / EC氏 180 ./EDC= /EAB-DC/ AB.又AD不平行于BC一四邊形ABC此等腰梯形.（三）、作對角線即通過作對角線，使梯形轉(zhuǎn)化為三角形。例 9 如圖 6,在直角梯形 ABCm,AD/BC, AB±AD, BC=CD BH CDT點(diǎn) E, 求證：AD=DE解：連結(jié)BD由 ADBC,得/ ADBW DBE由 BC=CD 得/ DBC=T BDC所以/ ADBN BDE又 / BADW DEB=90 , BD=BD所以 RtABAtDRtABED得 AD=DE（四）、作梯形的高1、作一條高例10如圖，在直角梯形 ABCm,ABD

15、C, /ABC=90 , AB=2DC對角線A C±BD,垂足為F,過點(diǎn)F作EF/AB,交AD于點(diǎn)E,求證：四邊形 ABFE是等腰 梯形。證：過點(diǎn)D作DGL AB于點(diǎn)G,則易知四邊形DGBO矩形，所以DC=BG因?yàn)锳B=2DC所以AG=GB從而 DA=DB 于是/ DABW DBA又EF/AB,所以四邊形ABF式等腰梯形。2、作兩條高例 11、在等腰梯形 ABCD, AD/BC, AB=CD / ABC=60 , AD=3cm BC=5c 成求：腰AB的長；梯形ABCD勺面積.解：作 AE! BC于 E, DF± BC于 F,又AD/ BC四邊形 AEFD®矩形，

16、EF=AD=3cm.AB=DC.在 RtzXABE中，/ B=60° , BE=1cm . AB=2BE=2cm AE = 3BE = . 3cm(AD BC) AE2S梯形ABCD =4.3cm2例12如圖，在梯形 ABCm,AD為上底，AB>CD求證：BD>AC證：作AE± BC于E,彳DF，BC于F,則易知 AE=DF在 RtzXABE和 RQDCF中，因?yàn)?AB>CD AE=DF所以由勾月£定理得BE>CF即BF>CE在 RtBDF和 RtCAE中由勾股定理得BD>AC（五）、作中位線1、已知梯形一腰中點(diǎn)，作梯形的中位線

17、。例13如圖，在梯形 ABCm,AB/DC,。是BC的中點(diǎn)，/ AOD=90 ,求證:AB+ CD=AD1證：取AD的中點(diǎn)E,連接OE則易知OE是梯形ABCD勺中位線，從而OE» 2（AB+ CD 在AOD, /AOD=90 , AE=DE1所以O(shè)E=AD2由、得AB+ CD=AD2、已知梯形兩條對角線的中點(diǎn)，連接梯形一頂點(diǎn)與一條對角線中點(diǎn)，并延 長與底邊相交，使問題轉(zhuǎn)化為三角形中位線。例14如圖，在梯形 ABCDt, AD/BC, E、F分別是BD AC的中點(diǎn)，求證:,、一_ ，一 1 ,、(1) EF/AD; (2) EF=(BCAD) 2證：連接DF,并延長交BC于點(diǎn)G,易證A

18、AF CFG則 AD=CG DF=GF由于DE=BE所以EF是BDG勺中位線1 -從而 EF/BG,且 EF BG 2因?yàn)?ADBG, BG =BC-CG =BC-AD1 ,所以 EFAD, EF=(BCAD)23、在梯形中出現(xiàn)一腰上的中點(diǎn)時(shí)，過這點(diǎn)構(gòu)造出兩個(gè)全等的三角形達(dá)到解 題的目的。例15、在梯形 ABCDt, AD/ BC / BAD=90, E是DC上的中點(diǎn)，連接 AE和 BE,求 / AEB=Z CBEE解：分別延長AE與BC,并交于F點(diǎn) / BAD=90fi AD/ BC ./ FBA=18&- / BAD=90又 : AD/ BC / DAEW F（兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等

19、）/AEDW FEC （對頂角相等）DE=EC（E點(diǎn)是CD的中點(diǎn)）. .AD陷 AFCE （AASAE=FE在 ABF中 / FBA=90 且 AE=FEBE=FE (直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半)在 FEB中 /EBFW FEB/ AEB=/ EBF+ / FEB=2 CBE例16、已知：如圖，在梯形ABCm，AD/BC, AB±BC E是CD中點(diǎn)，試問:線段AE和BE之間有怎樣的大小關(guān)系？BCF解：AE=BE理由如下：延長AE,與BC延長線交于點(diǎn)F. DE=CE / AEDN CEF/ DAEW F. .AD陷 AFCE .AE=EF. AB，BC a BE=AE例 17、已知：梯形 ABCLfr, AD/BC, E為 DC中點(diǎn)，EF±AB于 F點(diǎn)，AB=3c m, EF=5cm求梯形ABCD勺面積.解：如圖，過E點(diǎn)作MN/ AB,分別交AD的延長線于M點(diǎn)，