數(shù)學(xué)運(yùn)算之?dāng)?shù)的分解與拆分專題

1、數(shù)學(xué)運(yùn)算之?dāng)?shù)的分解與拆分專題數(shù)的拆分問題是公務(wù)員考試常考的題型之一，考察對(duì)數(shù)的基本特性的掌握，通常此類問題都比較靈活。一般來說此類問題整體難度不大，不過像考試中常用的代入法等在此將不再實(shí)用，故掌握方法就變得特別重要。1分解因式型：就是把一個(gè)合數(shù)分解成若干個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。運(yùn)用此方法解題首先要熟練掌握如何分解質(zhì)因數(shù)，還要靈活組合這些質(zhì)因數(shù)來達(dá)到解題的目的。【例1】三個(gè)質(zhì)數(shù)的倒數(shù)之和為a/231 ，則a=（ ）A.68 B.83 C.95 D.131【解析】將231分解質(zhì)因數(shù)得231=3711，則 1/3+1/7 +1/11 =131/231 ，故a=131。【例2】 四個(gè)連續(xù)的自然數(shù)的積為302

2、4，它們的和為（ ）A26 B.52 C.30 D.28【解析】分解質(zhì)因數(shù)：3024=22223337=6789，所以四個(gè)連續(xù)的四個(gè)自然數(shù)的和為6+7+8+9=30?！纠?】20n是2001*2000*1999*1998*3*2*1的因數(shù)，自然數(shù)n最大可能是多少？A 499 B500 C 498 D501【解析】20n=5*2*2的N次方，顯然2001*2000*1999*1998*3*2*1中，能分解出來的2個(gè)個(gè)數(shù)要遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于5的個(gè)數(shù)，所以2001*2000*1999*1998*3*2*1中最多能分解多少個(gè)5也就是N的最大值，由此計(jì)算所求應(yīng)為【20015】+【200125】+【2001125】

3、+【2001625】=400+80+16+3=499。注：【】取整數(shù)部分。2已知某幾個(gè)數(shù)的和，求積的最大值型：基本原理：a2+b22ab，（a，b都大于0，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取得等號(hào)）推 論：a+b=K（常數(shù)），且a，b都大于0，那么ab（a+b）/2）2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取得等號(hào)。此結(jié)論可以推廣到多個(gè)數(shù)的和為定值的情況。【例1】3個(gè)自然數(shù)之和為14，它們的的乘積的最大值為（ ）A.42 B.84 C.100 D.120【解析】以下內(nèi)容需要回復(fù)才能看到 開通VIP,擁有隱藏帖子免回復(fù)特權(quán)!不用回復(fù)也能看!若使乘積最大，應(yīng)把14拆分為5+5+4，則積的最大值為554=100。也就是說，當(dāng)不能滿足拆

4、分的數(shù)相等的情況下，就要求拆分的數(shù)之間的差異應(yīng)該盡量的小，這樣它們的乘積才能最大，這是做此類問題的指導(dǎo)思想。下面再舉一列大家可以自己體會(huì).【例2】將17拆分成若干個(gè)自然數(shù)的和，這些自然數(shù)的乘積的最大值為（ ）A.256 B.486 C.556 D.376【解析】以下內(nèi)容需要回復(fù)才能看到 開通VIP,擁有隱藏帖子免回復(fù)特權(quán)!不用回復(fù)也能看!將17拆分為17=3+3+3+3+3+2時(shí)，其乘積最大，最大值為 2=486。3. 排列組合型: 運(yùn)用排列組合知識(shí)解決數(shù)的分解問題。要求對(duì)排列組合有較深刻的理解，才能達(dá)到靈活運(yùn)用的目的?！纠?】有多少種方法可以把100表示為（有順序的）3個(gè)自然數(shù)之和？（ ）A

5、.4851 B.1000 C.256 D.10000【解析】以下內(nèi)容需要回復(fù)才能看到 開通VIP,擁有隱藏帖子免回復(fù)特權(quán)!不用回復(fù)也能看!插板法：100可以想象為100個(gè)1相加的形式，現(xiàn)在我們要把這100個(gè)1分成3份，那么就相等于在這100個(gè)1內(nèi)部形成的99個(gè)空中，任意插入兩個(gè)板，這樣就把它們分成了三個(gè)部分。而從99個(gè)空任意選出兩個(gè)空的選法有：C992=9998/2=4851（種）；故選A。(注：此題沒有考慮0已經(jīng)劃入自然數(shù)范疇，如果選項(xiàng)中出現(xiàn)把0考慮進(jìn)去的選項(xiàng)，建議選擇考慮0的那個(gè)選項(xiàng)。)【例2】 學(xué)校準(zhǔn)備了1152塊正方形彩板，用它們拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，有多少種不同的拼法？A.1152 B.3

6、84 C.28 D.12【解析】本題實(shí)際上是想把1152分解成兩個(gè)數(shù)的積。1152=11152=2576=3384=4288=6192=8144=9128=1296=1672=1864=2448=3236，故有12種不同的拼法。解法二：（用排列組合知識(shí)求解）由1152=2732，那么現(xiàn)在我們要做的就是把這7個(gè)2和2個(gè)3分成兩部分，當(dāng)分配好時(shí)，那么長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬也就固定了。具體地： 1）當(dāng)2個(gè)3在一起的時(shí)候，有8種分配方法（從后面有0個(gè)2一直到7個(gè)2）； 2）當(dāng)兩個(gè)3不在一起時(shí)，有4種分配方法，分別是一個(gè)3后有0，1，2，3個(gè)2。故共有8+4=12種。解法三：若1152=2732，那么1152的

7、所有乘積為1152因數(shù)的個(gè)數(shù)為（7+1）（2+1）=24個(gè)，每?jī)蓚€(gè)一組，故共有242=12組?！纠?】將分拆成若干連續(xù)自然數(shù)的和，有多少種分拆辦法？【解析】整數(shù)分拆（嚴(yán)格地講是自然數(shù)分拆）形式多樣，解法也很多。下面談?wù)勅绾卫么_定“中間數(shù)”法解將一個(gè)整數(shù)分拆成若干個(gè)連續(xù)數(shù)的問題。 那么什么是“中間數(shù)”呢？其實(shí)這里的“中間數(shù)”也就是平均數(shù)。有的“中間數(shù)”是答數(shù)中的一個(gè)，如：1、2、3、4、5中的“3”便是；也有的“中間數(shù)”是為了解題方便虛擬的，并不是答數(shù)中的一個(gè)，如：4、5、6、7這四個(gè)數(shù)的“中間數(shù)”即為“5.5”。由此我們可知，奇數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)的“中間數(shù)”是一個(gè)整數(shù)，而偶數(shù)個(gè)連續(xù)自然數(shù)的“中間

8、數(shù)”則為小數(shù)，并且是某個(gè)數(shù)的一半。 一、 把一個(gè)自然數(shù)分拆成指定個(gè)數(shù)的連續(xù)數(shù)的和的問題。 例1、把2000分成25個(gè)連續(xù)偶數(shù)的和，這25個(gè)數(shù)分別什么？ 分析與解：這道題如果一個(gè)一個(gè)地試，豈不是很麻煩，我們先求中間數(shù)：200025=80，那么80的左邊有12個(gè)數(shù)，右邊也有12個(gè)數(shù)，再加上80本身，正好是25個(gè)數(shù)，我們又知相鄰兩個(gè)偶數(shù)相差2，那么這25個(gè)偶數(shù)中最小的便為：80122=56，最大的為：80+122=104，故所求的這25個(gè)數(shù)為：56、58、80、102、104。 例2、把105分成10個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，這10個(gè)自然數(shù)分別是多少？ 分析與解：我們仿照例1的辦法先求中間數(shù)：10510=1

9、0.5，“10.5”這個(gè)數(shù)是小數(shù)，并不是自然數(shù)，很明顯“10.5”不是所求的數(shù)中的一個(gè)，但我們可以把10.5“虛擬”為所求的數(shù)中的一個(gè)，這樣也就是10.5左邊有5個(gè)數(shù)，右邊也有5個(gè)數(shù)，距離10.5最近的分別是10、11，這10個(gè)數(shù)分別是：6、7、8、9、10、（10.5）、11、12、13、14、15。 二、 把一個(gè)自然數(shù)分拆成若干個(gè)自然數(shù)的和的形式。 例3、84分拆成2個(gè)或2個(gè)以上連續(xù)自然數(shù)的和，有幾種？分別是多少？ 分析與解：我們先把84分解質(zhì)因數(shù)，84=2237由分解式可以看出，84的不同質(zhì)因數(shù)有2、3、7，這就說明能把84分拆成2、3、7的倍數(shù)個(gè)不同連續(xù)自然數(shù)的和，但是我們必須明確，有

10、的個(gè)數(shù)是不符合要求的，例如把84分拆成2個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和，無論如何是辦不到的，那么我們不妨把其分拆為3、7、8（222）個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和。 分拆為3個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和：（2237）3=28 ，確定了“中間數(shù)”28，再依據(jù)例2的方法確定其它數(shù)，所以這三個(gè)數(shù)是27、28、29。 同理，分拆為7個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和：（2237）7=12 ，它們是9、10、11、12、13、14、15。 分拆為8（222）個(gè)連續(xù)自然數(shù)的和：（2237）8=10.5 ，它們是7、8、9、10、（10.5）、11、12、13、14。其它情況均不符合要求。 再將此題引伸一步，怎樣判斷究竟有幾種分拆方式呢？就84而言，它有三種分拆方法，下面我們看84的約數(shù)有：1、2、3