上海春考數(shù)學(xué)參試題及答案-上海卷

1、2022年上海市普通高等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷考生注意:1. 答卷前，考生務(wù)必在答題紙上將姓名、高考準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，并在規(guī)定的區(qū)域內(nèi)貼上條形碼2. 本試卷共有20道試題，總分值150分.考試時(shí)間120分鐘.一.填空題本大題總分值 60分本大題共有11題，只要求在答題紙相應(yīng)題序的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì) 得5分，否那么一律得零分.1.函數(shù) y log2x 1的定義域是 2計(jì)算：1 i2 i為虛數(shù)單位x3函數(shù)y cos的最小正周期T.24.假設(shè)集合 A x |x| 1，集合 B x 0 x 2，那么 AB .5 .拋物線y2 x的準(zhǔn)線方程是 .6. a 3, b 2 .假設(shè)a b 3，

2、那么a與b夾角的大小為7.過(guò)點(diǎn)A(4,1和雙曲線2y161右焦點(diǎn)的直線方程為&在厶ABC中，假設(shè)AB 3,ABC 75 , ACB 60，那么 BC 等于fx.假設(shè)方程fx 0有2022個(gè)實(shí)數(shù)解,9.對(duì)于任意實(shí)數(shù) x，函數(shù)fx滿(mǎn)足f x那么這2022個(gè)實(shí)數(shù)解之和為.10. 一只猴子隨機(jī)敲擊只有26個(gè)小寫(xiě)英文字母的練習(xí)鍵盤(pán).假設(shè)每敲1次在屏幕上出現(xiàn)一個(gè)字母，它連續(xù)敲擊10次，屏幕上的10個(gè)字母依次排成一行，那么出現(xiàn)單詞"monkey 的概率為 結(jié)果用數(shù)值表示.?11以下是面點(diǎn)師一個(gè)工作環(huán)節(jié)的數(shù)學(xué)模型：如圖，在數(shù)02軸上截取與閉區(qū)間0,1對(duì)應(yīng)的線段，對(duì)折后坐標(biāo) 1所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)

3、重合再均勻地拉成1個(gè)單位長(zhǎng)度的線段，這一過(guò)程稱(chēng)為一次操作1311例如在第一次操作完成后，原來(lái)的坐標(biāo)丄、3變成-，原來(lái)的坐標(biāo)-變成1,等等4 422那么原閉區(qū)間0, 1上除兩個(gè)端點(diǎn)外的點(diǎn)，在第二次操作完成后，恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是 ;原閉區(qū)間0, 1上(除兩個(gè)端點(diǎn)外)的點(diǎn)，在第n次操作完成后(n 1)，恰好被拉到與1重合的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為 二.選擇題(本大題總分值 16分)本大題共有4題，每題都給出四個(gè)結(jié)論，其中有且只有一個(gè)結(jié)論是正確的，必須把答題紙上相應(yīng)題序內(nèi)的正確結(jié)論代號(hào)涂黑，選對(duì)得4分，否那么一律得零分.12在空間中，“兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)是“這兩條直線平行的(A )充分不必要

4、條件.(B )必要不充分條件(C)充要條件(D)既不充分也不必要條件13過(guò)點(diǎn)P(0, 1)與圓x22x0相交的所有直線中，被圓截得的弦最長(zhǎng)時(shí)的直線方程是答(A) x 0 .(B)1.(C) xy 10.(D) x y 10.14.函數(shù)f(x)3“ ,x 0,假設(shè) f log 2 x, x 0.0,X。3，那么x0的取值范圍是(A)X。8.(B) x00 或 x08.(C)0 x08.(D) x°0或 0x°8.15 .函數(shù) y 1.1 x(1x0)的反函數(shù)圖像是三.解答題(本大題總分值74分)本大題共有5題,解答以下各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域(對(duì)應(yīng)的題號(hào))內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟.

5、16.(此題總分值12分)如圖，在斜三棱柱ABCACB 2，AC側(cè)棱BB1與底面所成的43 ,BC4 .求斜三棱柱ABCA B1C1的體積V .17.此題總分值14分此題共有2個(gè)小題，第1小題總分值6分，第2小題總分值8分.數(shù)列 an的前n項(xiàng)和為Sn，ai 1，且3an 1 2Sn 3 n為正整數(shù).1求數(shù)列 an的通項(xiàng)公式；2 記S a1 a2an.假設(shè)對(duì)任意正整數(shù)n , kS Sn恒成立，求實(shí)數(shù)k的最大值.18.此題總分值14分我國(guó)方案發(fā)射火星探測(cè)器，該探測(cè)器的運(yùn)行軌道是以火星其半徑 圖，探測(cè)器的近火星點(diǎn)軌道上離火星外表最近的點(diǎn)A到火星外表的距離為8百公里，遠(yuǎn)火星點(diǎn)軌道上離火星外表最遠(yuǎn)的點(diǎn)

6、B到火星外表的距離為 800百公里.假定探測(cè)器由近火星點(diǎn) A第一 次逆時(shí)針運(yùn)行到與軌道中心 O的距離為.ab百公里時(shí)進(jìn)行變軌，其 中a、b分別為橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸的長(zhǎng)，求此時(shí)探測(cè)器與火星 外表的距離精確到 1百公里.19.(此題總分值16分)此題共有3個(gè)小題，第1小題總分值4分，第2小題總分值5分，第3小題總分值如圖，在直角坐標(biāo)系 xOy中，有一組對(duì)角線.長(zhǎng)為an的正方形AnBnCnDn (n 1, 2,),其對(duì)角線BnDn依次放置在x軸上(相鄰頂點(diǎn)重合).設(shè)an是首項(xiàng)為a，公差為d(d 0)的等差數(shù)列，點(diǎn) B1的坐標(biāo)為(d, 0).(1) 當(dāng) a 8, d 4 時(shí)，證明：頂點(diǎn) A、A、A3

7、不在同一條直線上；(2) 在(1)的條件下，證明：所有頂點(diǎn) An均落在拋物線y2 2x上;(3) 為使所有頂點(diǎn) An均落在拋物線y2 2px ( p求a與d之間所應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式.20.(此題總分值18分)此題共有3個(gè)小題，第1小題總分值4分，第2小題總分值4分，第3小題總分值10分.設(shè)函數(shù)fn( ) sinn ( 1)ncosn ,0,其中n為正整數(shù).4(1) 判斷函數(shù) 仃()、f3()的單調(diào)性，并就 匚()的情形證明你的結(jié)論；(2) 證明： 2 f6 ( ) f 4( )cos4sin4cos2sin2；(3) 對(duì)于任意給定的正整數(shù) n,求函數(shù)fn()的最大值和最小值.2022年上海市普通高

8、等學(xué)校春季招生考試數(shù)學(xué)試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說(shuō)明1.本解答列出試題的一種或幾種解法，如果考生的解法與所列解法不同，可參照解答中評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)的精神進(jìn)行評(píng)分2.評(píng)閱試卷，應(yīng)堅(jiān)持每題評(píng)閱到底，不要因?yàn)榭忌慕獯鹬谐霈F(xiàn)錯(cuò)誤而中斷對(duì)該題的評(píng)閱.當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤，影響了后繼局部，但該步以后的解答未改變這一題的內(nèi)容和難度時(shí),可視影響程度決定后面局部的給分,這時(shí)原那么上不應(yīng)超過(guò)后面局部應(yīng)給分?jǐn)?shù)之半，如果有較嚴(yán)重的概念性錯(cuò)誤，就不給分3.第16題至第20題中右端所注的分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的該題累加分?jǐn)?shù)4.給分或扣分均以1分為單位.答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn).第1至11題每一個(gè)空格正確的給5分,否那么一律

9、得零分.1.(1,).2. 2i.3.4. x 15.26.-3111.-47. y x 5.8.9.0.10.1x45肓.4 ；去，j為1, 2n中的所有奇數(shù).二.第12至15題每一題正確的給 4分，否那么一律得零分.三.第16.解43題號(hào)12131415代號(hào)BCAC16至20題)在 Rt AAC 中，AC AA tan AA1C作B1H 平面ABC，垂足為H，那么 B1BH在 Rt B1BH 中，B1H BB1 sin B1BHAA, sin4 3 6.3212分1V S abc BiH 4 4 648.217.解(1)3an1 2Sn 3，a n 1an數(shù)列an(2)2時(shí),，得ai3a

10、n 2Sn 13.3an1， 3a21 3an 2an2).2a!3，解得0.a2an是首項(xiàng)為n 1ag公比為q1的等比數(shù)列.3n為正整數(shù).Sna1(1)知,a1q10分由題意可知,對(duì)于任意的正整數(shù)，恒有，解得k數(shù)列1n單調(diào)遞增,1時(shí),數(shù)列中的最小項(xiàng)為必有k2即實(shí)數(shù)k的最大值為-.314分18.解設(shè)所求軌道方程為1 (ab 0)，c . a2b2 .80034,34，a 438, c 396.是b2a2c235028.所求軌道方程為2x19184435028設(shè)變軌時(shí),探測(cè)器位于P x。,y°，那么2X02y。ab 81975.1,2Xo2y。19184435028解得x0239.7，

11、y°156.7 (由題意)10分探測(cè)器在變軌時(shí)與火星外表的距離為22(X。c)y。R 187.3.13分答：探測(cè)器在變軌時(shí)與火星外表的距離約為187百公里.14分19.證明(1)由題意可知,18,6 , A3 32, 8，641% 18 8 5k a2a,汽328 618kkA2A3，頂點(diǎn)A|, A2, A3不在同一條直線上(2)由題意可知，頂點(diǎn) An的橫坐標(biāo)Xnan 112an2(n 1)2，頂點(diǎn)An的縱坐標(biāo)yn1訐2(n1).對(duì)任意正整數(shù)n，點(diǎn)An xn, yn的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程2x，所有頂點(diǎn)An均落在拋物線y2 2x上.(3)解法一由題意可知，頂點(diǎn) An的橫、縱坐標(biāo)分別是Xn d2

12、21)a 2(n 1) d, yn12 1)d消去n 1，可得xn押da(d a)2d為使得所有頂點(diǎn)An均落在拋物線y22px ( p 0)上，那么有2p,a(d a)2d解之，得 d 4p, a0.8p.a、d所應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式是：a 2d解法二點(diǎn)A為，y的坐標(biāo)為1a,2y11a.22點(diǎn)A1 x1, y1在拋物線y 2px上,2 y12x1a24(2d a)12分14分16分11分X2又點(diǎn)A2 X2,討2的坐標(biāo)為y233 .a d,22 且點(diǎn)A2 x2 , y2也在拋物線上,-(a d).2a 0,把點(diǎn)A2 X2,y2代入拋物線方程，解得a2d .13分因此，p拋物線方程為Xn又ynd la2

13、；【a (n21 2(n 1)a-(n 1)2d2n 1 .1)dd.2所有頂點(diǎn)An Xn , yn落在拋物線tX上.15分a、d所應(yīng)滿(mǎn)足的關(guān)系式是：a2d .16分20.解(1) f1( )、f3()在0,上均為單調(diào)遞增的函數(shù)4對(duì)于函數(shù)h() sincos ，設(shè) 12 ,1、20, ，那么4f1(1) h( 2)sin 1 sin 2cos 2 cos 1 ，sin 1 sin 2, cos 2 cos 1，f1 1 f12 ,函數(shù)f1()在(2)原式左邊66442sincossincos22242sincossinsin1sin2 2cos2 2又原式右邊cos2.2 2sin2f6()f

14、4()4 cos4 sin0,上單調(diào)遞增.4分4cos2cos4 sin4cos42小cos 2cos2sin2. 8 分(3)當(dāng)n 1時(shí)，函數(shù) 仇()在0,上單調(diào)遞增,4f1 ()的最大值為人一 0 ,最小值為f1 01.4當(dāng)n 2時(shí)，f21 , 函數(shù)f2()的最大、最小值均為1.當(dāng)n 3時(shí)，函數(shù)f3()在 0, 上為單調(diào)遞增4f3 ()的最大值為f30，最小值為f3 01 .41 2當(dāng)n 4時(shí)，函數(shù)f4( )1sin2 2在0, 上單調(diào)遞減，241f4()的最大值為f4 0 1，最小值為f4.11分42下面討論正整數(shù)n 5的情形：當(dāng)n為奇:數(shù)時(shí)，對(duì)任意1、20,且12 ,4fn(1) fn( 2)nsin1nsin2cosn2ncos 1 ,以及0sin 1 sin21,0cos2cos 11,nsinn1 sin 2,cosn2ncos1，從而fn(1) fn( 2)fn()在0,上為單調(diào)遞增，那么4f n ()的最大值為f n0，最小值為4f4 014分當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，一方面有fn(