數(shù)學(xué)：《曲線(xiàn)和方程》教案（人教版第二冊(cè)上）

1、曲線(xiàn)和方程教案【課 題】曲線(xiàn)和方程【教 材】人教版全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)數(shù)學(xué)第二冊(cè)（上）【教學(xué)目標(biāo)】 知識(shí)目標(biāo)： 1、了解曲線(xiàn)上的點(diǎn)與方程的解之間的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系； 2、初步領(lǐng)會(huì)“曲線(xiàn)的方程”與“方程的曲線(xiàn)”的概念； 3、學(xué)會(huì)根據(jù)已有的情景資料找規(guī)律，進(jìn)而分析、判斷、歸納結(jié)論； 4、強(qiáng)化“形”與“數(shù)”一致并相互轉(zhuǎn)化的思想方法。能力目標(biāo)： 1、通過(guò)直線(xiàn)方程的引入，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)方程的解和曲線(xiàn)上的點(diǎn)的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系的認(rèn)識(shí)； 2、在形成曲線(xiàn)和方程的概念的教學(xué)中，學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、討論等數(shù)學(xué)活動(dòng)過(guò)程，探索出結(jié)論，并能有條理的闡述自己的觀點(diǎn)； 3、能用所學(xué)知識(shí)理解新的概念，并能運(yùn)用概念解決實(shí)際問(wèn)題，從中體會(huì)

2、轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，提高思維品質(zhì)，發(fā)展應(yīng)用意識(shí)； 情感目標(biāo)： 1、通過(guò)概念的引入，讓學(xué)生感受從特殊到一般的認(rèn)知規(guī)律； 2、通過(guò)反例辨析和問(wèn)題解決，培養(yǎng)合作交流、獨(dú)立思考等良好的個(gè)性品質(zhì)，以及勇于批判、敢于創(chuàng)新的科學(xué)精神。【教學(xué)重點(diǎn)】“曲線(xiàn)的方程”與“方程的曲線(xiàn)”的概念【教學(xué)難點(diǎn)】怎樣利用定義驗(yàn)證曲線(xiàn)是方程的曲線(xiàn)，方程是曲線(xiàn)的方程【教學(xué)方法】問(wèn)題探索和啟發(fā)引導(dǎo)式相結(jié)合【教具準(zhǔn)備】三角板、多媒體教學(xué)設(shè)備【教學(xué)過(guò)程】 一、感性認(rèn)識(shí)階段以舊帶新，提出課題師：在本節(jié)課之前，我們研究過(guò)直線(xiàn)的各種方程，建立了二元一次方程與直線(xiàn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線(xiàn)都可以用一個(gè)二元一次方程表示，同時(shí)任何

3、一個(gè)二元一次方程也表示著一條直線(xiàn)。下面看一個(gè)具體的例子：（出示幻燈片2）幻燈片2畫(huà)出方程表示的直線(xiàn)借助多媒體讓學(xué)生直觀上深刻體會(huì)如下結(jié)論： （出示幻燈片3） 幻燈片31、直線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；2、以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在直線(xiàn)上。即：直線(xiàn)上所有點(diǎn)的集合與方程的解的集合之間建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。也即：（出示幻燈片4，引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比、推廣并思考相關(guān)問(wèn)題）幻燈片4 類(lèi)比：推廣：即：任意的曲線(xiàn)和二元方程是否都能建立這種對(duì)應(yīng)關(guān)系呢？也即：方程的解與曲線(xiàn)C上的點(diǎn)的坐標(biāo)具備怎樣的關(guān)系就能用方程表示曲線(xiàn)C，同時(shí)曲線(xiàn)C也表示方程？為什么要具備這些條件？師：以上問(wèn)題就是本節(jié)課研究的內(nèi)容：曲線(xiàn)和方程（板書(shū)課題

4、）。二、分化本質(zhì)屬性階段運(yùn)用反例揭示內(nèi)涵師：剛才的討論中，有的同學(xué)提到了應(yīng)具備關(guān)系：“曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”；有的同學(xué)提到了應(yīng)具備關(guān)系：“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn)”；還有的同學(xué)雖用了不同的提法，但意思不外乎這兩個(gè)?，F(xiàn)在的問(wèn)題是：上述的兩種提法一樣嗎？它們反映的是不是同一事實(shí)？有何區(qū)別？究競(jìng)用怎樣的關(guān)系才能把幻燈片4中的曲線(xiàn)和方程的這種對(duì)應(yīng)關(guān)系完整的表達(dá)出來(lái)？為了弄清這些問(wèn)題，我們來(lái)研究下列問(wèn)題：（出示幻燈片5，讓學(xué)生回答問(wèn)題，并加以糾正和總結(jié)）幻燈片5 用下列方程表示如圖所示的曲線(xiàn)C，對(duì)嗎？為什么？師：方程、都不是曲線(xiàn)C的方程。第題中曲線(xiàn)C上的點(diǎn)不全是方程的解；例如點(diǎn)A（

5、2，2）、B（，）等不符合“曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”這一結(jié)論。第題中，盡管“曲線(xiàn)上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解”，但是以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)卻不全在曲線(xiàn)上；例如D（2，2）、E（，）等不符合“以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線(xiàn)上”這一結(jié)論。第題中既有以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)，如G（3，3）、H（，）等都不在曲線(xiàn)上，又有曲線(xiàn)C上的點(diǎn)，如M（3，3）、N（1，1）等的坐標(biāo)不是方程的解。事實(shí)上，、中各方程所表示的曲線(xiàn)應(yīng)該是如圖所示的3種情況。（出示幻燈片6）幻燈片6 師：以上我們觀察分析了幻燈片3、5中的問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)幻燈片3中的問(wèn)題完整地用方程表示曲線(xiàn)，用曲線(xiàn)表示方程；而幻燈片5中的問(wèn)題不能完整地用方程表示曲線(xiàn)，

6、用曲線(xiàn)表示方程。如果我們把完整地用方程表示曲線(xiàn)和用曲線(xiàn)表示方程看成“曲線(xiàn)的方程”和“方程的曲線(xiàn)”的話(huà)，那么就可以給“曲線(xiàn)的方程”和“方程的曲線(xiàn)”下定義了。三、概括形成定義階段討論歸納給出定義師：在下定義時(shí)，針對(duì)幻燈片5中的第個(gè)問(wèn)題“曲線(xiàn)上混有其坐標(biāo)不是方程的解的點(diǎn)”應(yīng)作何規(guī)定？生：“曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解”。師：針對(duì)幻燈片5中的第個(gè)問(wèn)題“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)不在曲線(xiàn)上”應(yīng)作何規(guī)定？生：“以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都有是曲線(xiàn)上的點(diǎn)”。這樣，我們可以對(duì)“曲線(xiàn)的方程”和“方程的曲線(xiàn)”下這樣的定義：（出示幻燈片7）幻燈片7一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線(xiàn)C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的

7、關(guān)系：曲線(xiàn)上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解；以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線(xiàn)上的點(diǎn)，那么，這個(gè)方程叫做曲線(xiàn)的方程；這條曲線(xiàn)叫做方程的曲線(xiàn)（圖形）。四、定義強(qiáng)化理解階段多種表征、深化內(nèi)涵師：大家熟知，曲線(xiàn)可以看作是由點(diǎn)組成的集合，記作C；一個(gè)二元方程的解可以作為點(diǎn)的坐標(biāo)，因此二元方程的解集也描述了一個(gè)點(diǎn)集，記作F。請(qǐng)大家思考：如何用集合C和F間的關(guān)系來(lái)表述“曲線(xiàn)的方程”和“方程的曲線(xiàn)”定義中的兩個(gè)關(guān)系，進(jìn)而重新表述“曲線(xiàn)的方程”和“方程的曲線(xiàn)”的定義。啟發(fā)學(xué)生得出：關(guān)系指點(diǎn)集C是點(diǎn)集F的子集；關(guān)系指點(diǎn)集F是點(diǎn)集C的子集。（出示幻燈片8）幻燈片8這樣用集合相等的概念定義“曲線(xiàn)的方程”與“方程的曲線(xiàn)”為

8、：師：另外從充要條件的角度看，關(guān)系或僅是“曲線(xiàn)的方程”和“方程的曲線(xiàn)”的必要條件，只有兩者都滿(mǎn)足了“曲線(xiàn)的方程”和“方程的曲線(xiàn)”才具備充分性。五、應(yīng)用和強(qiáng)化階段主動(dòng)參與、合作交流1、初步應(yīng)用、突出內(nèi)涵（出示幻燈片9，讓學(xué)生思考后回答下列問(wèn)題）幻燈片9下列各題中，圖所示的的曲線(xiàn)C的方程為所列方程，對(duì)嗎？如果不對(duì)，是不符合關(guān)系還是關(guān)系？學(xué)生回答：錯(cuò)。不符合定義中的關(guān)系，即但FC。錯(cuò)。不符合定義中的關(guān)系，即但CF。錯(cuò)。不符合定義中的關(guān)系和，即CF且FC。2、變式應(yīng)用，提升能力（出示幻燈片10，讓學(xué)生在練習(xí)本上解答以下問(wèn)題）幻燈片10解答下列問(wèn)題，且說(shuō)出各依據(jù)了“曲線(xiàn)的方程”和“方程的曲線(xiàn)”定義中的哪

9、一個(gè)關(guān)系？點(diǎn)A（3，4）、B（，2）是否在方程的圓上？已知方程為的圓過(guò)點(diǎn)C（，m），求m的值。學(xué)生回答：依據(jù)關(guān)系點(diǎn)A在圓上，依據(jù)關(guān)系點(diǎn)B不在圓上。 依據(jù)關(guān)系求得m=。（出示幻燈片11，教師啟發(fā)學(xué)生共同完成如下證明）幻燈片11證明以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心，半徑等于5的圓的方程是。師：請(qǐng)同學(xué)思考，證明應(yīng)從何著手？生：應(yīng)從以下兩方面：（1）圓上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程：； （2）方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在圓上。師：（1）中的“點(diǎn)”和（2）中的“解”指的都是有關(guān)集合中的全體元素，怎樣解決全體問(wèn)題？師：（學(xué)生思考片刻后）用“任意一個(gè)”代表“全體”是數(shù)學(xué)證明中常用的方法。（請(qǐng)同學(xué)們完成證明過(guò)程，同桌間交流，參照課本證明糾正錯(cuò)誤，完善證題過(guò)程，加強(qiáng)證明題的嚴(yán)密性。）六、小結(jié)：本節(jié)課我們通過(guò)實(shí)例的研究，掌握了“曲線(xiàn)的方程”和“方程的曲線(xiàn)”的定義，在領(lǐng)會(huì)定義時(shí)，要牢記關(guān)系、兩者缺一不可，它們都是“曲線(xiàn)的方程”和“方程的曲線(xiàn)”的必要條件，兩者都滿(mǎn)足了“曲