可靠度讀書筆記

1、關(guān)于結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)及可靠度分析的讀書報(bào)告1. 引言結(jié)構(gòu)在地震作用下的響應(yīng)受多種不確定因素的影響，例如由于震源、傳播介質(zhì)和場地條件中許多自然因素的影響，地震動(dòng)的強(qiáng)度、頻率含量和持時(shí)都具有明顯的隨機(jī)性，從而使結(jié)構(gòu)的反應(yīng)也具有隨機(jī)性。此外，結(jié)構(gòu)反應(yīng)分析中通常還包含所選用的計(jì)算模型和工程實(shí)際的符合成都以及結(jié)構(gòu)進(jìn)一步破壞的機(jī)制等方面的不確定性因素。因此，為了，更真實(shí)地進(jìn)行地震作用下的結(jié)構(gòu)安全性評(píng)價(jià)，勢(shì)必要采用概率的概念和隨機(jī)振動(dòng)理論的方法。結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)分析包括頻域內(nèi)的功率譜分析和時(shí)域內(nèi)的方差分析。同時(shí)結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)分析可分為平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)和非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)。對(duì)于平穩(wěn)過程假定，在頻域內(nèi)進(jìn)行分析更為容易，可以通過

2、頻率響應(yīng)函數(shù)求得響應(yīng)的功率譜，進(jìn)而獲得結(jié)構(gòu)響應(yīng)的方差。對(duì)于非平穩(wěn)過程假定，則在時(shí)域進(jìn)行相關(guān)分析、進(jìn)而獲得方差響應(yīng)更為簡單。而此時(shí)結(jié)構(gòu)響應(yīng)的頻域特征，則不易通過理論分析得到。非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)頻域內(nèi)的功率譜分析時(shí)域內(nèi)的方差分析圖1 結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)分析方法結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)分為線性結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)分析和非線性系統(tǒng)的隨機(jī)響應(yīng)分析。線性體系最本質(zhì)的特征是激勵(lì)與響應(yīng)成線性關(guān)系，從而疊加原理適用于結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)分析在一定條件下，體系的反應(yīng)還可以分解為有限或無限個(gè)振型反應(yīng)之和。這些都大大簡化了線性體系的隨機(jī)響應(yīng)分析。在強(qiáng)烈地震作用下，結(jié)構(gòu)將進(jìn)入具有明顯滯回性能的非線性狀態(tài)。結(jié)構(gòu)非線性響應(yīng)分析與線性響

3、應(yīng)分析的區(qū)別在于疊加原理和振型分解法不再適用，即便激勵(lì)為高斯過程，結(jié)構(gòu)的響應(yīng)也不再是高斯過程，這使得非線性響應(yīng)分析要比線性響應(yīng)分析困難得多。結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析的最終目的是要定量的評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)的可靠性，即在概率的意義上定量地評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)的安全程度。因此結(jié)構(gòu)可靠度分析一直是非?；钴S的研究領(lǐng)域，近年來取得了許多進(jìn)展。本文主要對(duì)隨機(jī)響應(yīng)分析方法及動(dòng)力可靠度分析方法進(jìn)行綜述，介紹它們的計(jì)算原理并分析了各自的優(yōu)缺點(diǎn)。2. 隨機(jī)響應(yīng)的時(shí)域分析法根據(jù)結(jié)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的微分方程MY+CY+KY=Xt (1)一般動(dòng)力方程的數(shù)值積分格式，結(jié)構(gòu)的位移和速度響應(yīng)遞推關(guān)系式通常可以表示為Yi+1Yi+1=A1YiYi+A2XiXi+1

4、(2)式中Yi、Yi和Xi為時(shí)刻為t=it結(jié)構(gòu)的響應(yīng)向量、速度響應(yīng)向量和激勵(lì)向量；A1和A2為確定性矩陣，依賴與結(jié)構(gòu)特性和具體積分格式的參數(shù)。對(duì)上式右乘自身的轉(zhuǎn)置并取數(shù)學(xué)期望，可以得到下面遞推關(guān)系式Di+1=A1DiA1T+A2BiA2T+A1CiA2T+(A1CiA2T)T (3)式中Bi、Ci和Di分別定義為Bi=E(XiXiT)E(XiXi+1T)E(Xi+1XiT)E(Xi+1Xi+1T) (4)Ci=E(YiXiT)E(YiXi+1T)E(Yi+1XiT)E(Yi+1Xi+1T (5)Di=E(YiYiT)E(YiYi+1T)E(YiYiT)E(YiYiT (6)式（16）又可表示為

5、Ci=A1iE(Y0XiT)E(Y0Xi+1T)E(Y0XiT)E(Y0Xi+1T+j=0i-1A1jA2E(Xi-j-1XiT)E(Xi-j-1Xi+1T)E(Xi-jXiT)E(Xi-jXi+1T) (7)結(jié)構(gòu)響應(yīng)相關(guān)矩陣求解的遞推關(guān)系式的對(duì)角矩陣即為位移和速度響應(yīng)的均方值。由式（13）可以看出，時(shí)刻ti+1與時(shí)刻ti響應(yīng)相關(guān)矩陣的敵退關(guān)系依賴于激勵(lì)與響應(yīng)的相關(guān)矩陣Ci。從式（18）看出，Ci的計(jì)算設(shè)計(jì)到大量的滿矩陣乘法運(yùn)算，因此Ci的求解是極其耗時(shí)的，這直接影響結(jié)構(gòu)響應(yīng)相關(guān)矩陣的計(jì)算效率。對(duì)于大型復(fù)雜結(jié)構(gòu)，Ci的運(yùn)算量是不可接受的。當(dāng)激勵(lì)為白噪聲或調(diào)制白噪聲時(shí)，Ci的計(jì)算效率則高得多。與

6、功率譜法相比，時(shí)域直接積分法更為直觀，可以直接獲得響應(yīng)的方差。在計(jì)算方面，雖然時(shí)域分析法不需要計(jì)算大量離散頻點(diǎn)處功率譜值，但在每個(gè)離散時(shí)刻處需要計(jì)算響應(yīng)和激勵(lì)的相關(guān)矩陣，計(jì)算效率更低。不過對(duì)于特殊激勵(lì)情況下，例如激勵(lì)為白噪聲或調(diào)制白噪聲時(shí)，時(shí)域分析法的計(jì)算效率可大幅度提高。總體來說，大多數(shù)現(xiàn)有的時(shí)域直接積分法更適用于白噪聲或調(diào)制白噪聲隨機(jī)激勵(lì)的情形和結(jié)構(gòu)體系自由度較少的情形。隨機(jī)激勵(lì)能否簡化為白噪聲系統(tǒng)可以按照如下方法判斷：對(duì)于地震地面運(yùn)動(dòng)的平穩(wěn)模型，地面加速度過程為At。由線性隨機(jī)振動(dòng)理論可知，體系位移響應(yīng)的功率譜密度可以表示為：SX=H2SA (8)式中，H為體系的頻響函數(shù)。體系位移響應(yīng)及

7、速度相應(yīng)的方差可以表示為:X2=-SXd (9)X2=-2SXd (10)對(duì)于實(shí)際建筑結(jié)構(gòu)中的線性體系來說，體系的阻尼一般很小，此時(shí)即使SX不是白噪聲，但若SX的帶寬較之小阻尼情形下系統(tǒng)幅頻特性H的半功率帶寬(2n)要寬得多，且當(dāng)系統(tǒng)在固有頻率（也即H的中心頻率）n處，SXn的值與SX的最大值具有相同的數(shù)量級(jí)；那么激勵(lì)就可以近似地看作是白噪聲，其功率可取為SXn。圖3 可用白噪聲激勵(lì)近似處理的情形因此以上兩式可以近似寫成：X2=203SA0 (11)X2=20SA0 (12)將體系的自振頻率0=km以及阻尼比=c02m0代入以上兩式，就可求得體系位移響應(yīng)和速度響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)矩。3. 線性系統(tǒng)隨機(jī)響

8、應(yīng)分析對(duì)于線性系統(tǒng)，其突出的優(yōu)勢(shì)是可以采用疊加原理。線性體系的運(yùn)動(dòng)方程通?？梢员硎緸榫€性常微分方程或偏微分方程。線性體系最本質(zhì)的特征是激勵(lì)與響應(yīng)成線性關(guān)系，從而疊加原理適用于結(jié)構(gòu)的隨機(jī)響應(yīng)分析，即體系在多個(gè)激勵(lì)同時(shí)作用下的響應(yīng)等于各個(gè)激勵(lì)分別作用下響應(yīng)之和。在一定條件下，體系的反應(yīng)還可以分解為有限或無限個(gè)振型反應(yīng)之和。這些都大大簡化了線性體系的隨機(jī)響應(yīng)分析。因此，對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)來說，它的動(dòng)態(tài)特性可以用脈沖響應(yīng)函數(shù)或頻率響應(yīng)特性來描述。所謂脈沖響應(yīng)是指系統(tǒng)對(duì)單位沖量作用的響應(yīng)，它表征系統(tǒng)在時(shí)域的動(dòng)態(tài)特性。所謂頻響特性是指系統(tǒng)對(duì)各個(gè)單位復(fù)諧和輸入的響應(yīng)恃性，它表征系統(tǒng)在頻域的動(dòng)態(tài)特性。兩者有確

9、定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，即Fourier變換對(duì)關(guān)系。H=-he-id (13)h=12-Heid (14)以上兩式存在的前提條件是-htdt<，也就是要求系統(tǒng)為穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)受到?jīng)_擊后，所激發(fā)的運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間的推移逐漸衰減。 同樣也是在疊加原理的基礎(chǔ)上，多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)可以通過模態(tài)變換，將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)分解為各個(gè)模態(tài)運(yùn)動(dòng)，先求出模態(tài)激勵(lì)下的各個(gè)模態(tài)運(yùn)動(dòng)，然后再疊加起來得到系統(tǒng)的總運(yùn)動(dòng)。這就是動(dòng)力響應(yīng)分析中的模態(tài)疊加法。頻域法建立在隨機(jī)振動(dòng)理論的基礎(chǔ)上，其最大特點(diǎn)就在于通過Fourier變換，能將時(shí)域的常微分方程(組)化為代數(shù)方程(組)。因此在線性系統(tǒng)中，頻域分析法被廣泛采用。3.1 傳統(tǒng)功率譜法在隨機(jī)振

10、動(dòng)分析中，功率譜方法是求解結(jié)構(gòu)隨機(jī)響應(yīng)的主要方法。該法從激勵(lì)功率譜密度函數(shù)之間的傳遞關(guān)系著手，建立隨機(jī)響應(yīng)功率譜密度函數(shù)的求解方法。本質(zhì)上功率譜密度函數(shù)所包含的是隨機(jī)過程的頻域二階統(tǒng)計(jì)信息，通過傅里葉變換即可獲得響應(yīng)的時(shí)域二階統(tǒng)計(jì)特征。功率譜法在線性隨機(jī)振動(dòng)問題中一直起著重要的作用，特別是在平穩(wěn)輸入/平穩(wěn)輸出問題中，響應(yīng)功率譜與激勵(lì)功率譜之間簡單的代數(shù)關(guān)系是功率譜法中最精彩的部分。經(jīng)過有限元離散后，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的動(dòng)力微分方程可寫為MY+CY+KY=Xt (15)式中M、C、K分別表示質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣；Y、Y、Y分別為加速度向量、速度向量和位移向量；X(t)為隨機(jī)激勵(lì)響亮。當(dāng)激勵(lì)X(t)

11、為平穩(wěn)隨機(jī)過程向量時(shí)，設(shè)其功率譜密度函數(shù)矩陣為SXX(w)，則位移響應(yīng)的功率譜密度函數(shù)矩陣可以表示為SYYw=Hw*SXXwH(w)T (16)式中H(w)為結(jié)構(gòu)的頻率響應(yīng)函數(shù)矩陣，上標(biāo)*表示復(fù)數(shù)共軛，上標(biāo)T表示矩陣轉(zhuǎn)置。當(dāng)激勵(lì)X(t)為非平穩(wěn)隨機(jī)過程時(shí)，激勵(lì)的集合平均不能再用時(shí)間平均來代替，這就使得非平穩(wěn)的處理變得非常困難。好在對(duì)非平穩(wěn)激勵(lì)的一類特殊情形，即演變隨機(jī)激勵(lì)來說，問題相對(duì)簡單許多。演變隨機(jī)激勵(lì)，是指平穩(wěn)隨機(jī)激烈按某種確定性演化規(guī)律得來的一類非平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念。當(dāng)激勵(lì)X(t)為均勻調(diào)制非平穩(wěn)隨機(jī)過程向量時(shí)，X(t)可以表示為Xt=Gtxt (17)式中Gt=diagg1t g2t

12、gnt, Xt=x1t x2txntT,其中g(shù)it和xit(i=1,2,n)分別為均勻調(diào)制函數(shù)和平穩(wěn)隨機(jī)過程，n為結(jié)構(gòu)自由度數(shù)。設(shè)x(t)的功率譜密度函數(shù)矩陣為SXX(w)，則位移響應(yīng)Y(t)的功率譜密度函數(shù)矩陣為SYYw，t=Iw,t*SXXwIw,tT (18) 用Ii(w,t)表示為I(w,t)的第i列向量，Gi(t)表示為Gt的第i列向量，則Ii(w,t)為Gi(t)eiwt作用下動(dòng)力方程的解答，即Ii(w,t)滿足下述方程MIiw,t+CIiw,t+KIiw,t=Giteiwt (19) 當(dāng)激勵(lì)X(t)為非均勻調(diào)制非平穩(wěn)隨機(jī)過程向量時(shí)，位移響應(yīng)的時(shí)變功率譜密度函數(shù)矩陣的表達(dá)式與*式相

13、似。3.2 虛擬激勵(lì)法 虛擬激勵(lì)法通過構(gòu)造與隨機(jī)激勵(lì)功率譜密度函數(shù)相關(guān)的虛擬激勵(lì)，將平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)分析轉(zhuǎn)化為確定性簡諧振動(dòng)分析，將非平穩(wěn)隨機(jī)振動(dòng)分析轉(zhuǎn)化為確定性動(dòng)力時(shí)程分析，從而大大簡化了隨機(jī)振動(dòng)分析的計(jì)算步驟，卻仍保持了傳統(tǒng)功率譜法的計(jì)算結(jié)果。 當(dāng)激勵(lì)X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程向量，可構(gòu)造下面隨機(jī)激勵(lì)Xit;w=iwi(w)*eiwt (20)式中iw及i(w)為SXXw的特征值和特征向量。在虛擬激勵(lì)Xit;w下結(jié)構(gòu)虛擬響應(yīng)為Yit;w=iwH(w)i(w)*eiwt (21)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)Y(t)的功率譜密度函數(shù)SYYw可用虛擬響應(yīng)構(gòu)造為SYYw,t=i=1nYi(t;w)*Yi(t;w)T (2

14、2)當(dāng)激勵(lì)X(t)為均勻調(diào)制非平穩(wěn)隨機(jī)過程向量，可構(gòu)造下面隨機(jī)激勵(lì)Xit;w=iwGti(w)*eiwt (23)式中iw及i(w)為SXXw的特征值和特征向量。在虛擬激勵(lì)Xit;w下結(jié)構(gòu)虛擬響應(yīng)為Yit;w=iwI(w,t)i(w)* (24)結(jié)構(gòu)位移響應(yīng)Y(t)的功率譜密度函數(shù)SYYw，t可用虛擬響應(yīng)構(gòu)造為SYYw,t=i=1nYi(t;w)*Yi(t;w)T (25)比較傳統(tǒng)功率譜法和虛擬激勵(lì)法的計(jì)算公式，可以看出虛擬激勵(lì)法并不比傳統(tǒng)功率譜法節(jié)省計(jì)算量。由于虛擬激勵(lì)法還需要解功率譜密度矩陣的特征值和特征向量，其計(jì)算量反而更大一些。只是虛擬激勵(lì)法通過引入類似符號(hào)化的表達(dá)公式，令隨機(jī)振動(dòng)分析

15、更易理解。對(duì)于許多工程實(shí)用問題，響應(yīng)方差分析十分重要。結(jié)構(gòu)響應(yīng)Y(t)的協(xié)方差矩陣可通過對(duì)功率譜密度函數(shù)矩陣積分得到covYt,Yt=EYtY(t)T=-+SYYw,tdw=iSYY(wi,t)wi (26)從上式可以看出，功率譜法首先需要求出在一系列離散頻點(diǎn)（通常是幾十至幾百點(diǎn)）上的結(jié)構(gòu)響應(yīng)功率譜，然后在整個(gè)頻域上幾分方能得到響應(yīng)方差。在非平穩(wěn)激勵(lì)情況下，每求一個(gè)離散頻點(diǎn)處的響應(yīng)功率譜值都需要做一次時(shí)程積分，計(jì)算量很大。事實(shí)上，此時(shí)的功率法已非單純的頻域積分法，而是時(shí)頻域混合積分方法，這是功率譜法在求解非平穩(wěn)隨機(jī)響應(yīng)時(shí)計(jì)算量大的根本原因。4. 非線性系統(tǒng)隨機(jī)響應(yīng)分析由于在強(qiáng)烈地震作用下，結(jié)構(gòu)

16、基本已進(jìn)入具有明顯滯回性能的非線性狀態(tài)。系統(tǒng)的非線性可以表現(xiàn)為非線性恢復(fù)力，非線性阻尼或非線性慣性。結(jié)構(gòu)構(gòu)件恢復(fù)力滯回性能的研究是結(jié)構(gòu)地震響應(yīng)分析的一個(gè)重要方面。關(guān)于構(gòu)件恢復(fù)力模型的數(shù)學(xué)描述，有用解析函數(shù)分段表示的形式和用一個(gè)函數(shù)或微分方程統(tǒng)一表示的形式。在這種模型中，將恢復(fù)力表示為彈性力和滯回力和的形式，根據(jù)滯回微分方程形式的不同，恢復(fù)力的表達(dá)式也不同，比較著名的有Wen等提出的光滑滯回微分方程及其改進(jìn)形式。非線性動(dòng)力分析表明，恢復(fù)力模型曲線的形狀對(duì)結(jié)構(gòu)的平均峰值響應(yīng)影響不大。因此，分析時(shí)可根據(jù)問題精度的要求，選取相對(duì)簡便的恢復(fù)力模型。根據(jù)地震動(dòng)加速度的譜密度函數(shù)和結(jié)構(gòu)構(gòu)件的恢復(fù)力模型，可應(yīng)

17、用隨機(jī)振動(dòng)理論分析結(jié)構(gòu)的非線性隨機(jī)響應(yīng)。它與線性系統(tǒng)隨機(jī)振動(dòng)的區(qū)別主要是:(1)疊加原理不再適用，即各個(gè)輸入引起的輸出之和不等于輸入之和引起的輸出。(2)以疊加原理為基礎(chǔ)的杜哈姆積分也不再適用，而由杜哈姆積分導(dǎo)出的相關(guān)理論也隨之失效了，從而不存在也不可能得到激勵(lì)譜、響應(yīng)譜、系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性三者在頻率域中的函數(shù)關(guān)系。(3)因?yàn)檎龖B(tài)過程的線性疊加才能得到正態(tài)過程，現(xiàn)在既然不能應(yīng)用疊加原理，因此對(duì)于一般的非線性系統(tǒng)，正態(tài)激勵(lì)得到的是非正態(tài)響應(yīng)。(4)在無噪聲干擾的情況下，單輸入單輸出非線性系統(tǒng)的常相干函數(shù)為:xy2=SxySxxSyy1 (27)在多輸入多輸出的非線性系統(tǒng)中，則偏相干函數(shù)為:xiyi2

18、=SxiyiSxixiSyiyi1 (28)目前用于非線性系統(tǒng)的分析方法包括隨機(jī)攝動(dòng)法、FPK方程法、統(tǒng)計(jì)截矩法和隨機(jī)等價(jià)線性化法等。4.1 FPK法 FPK方程解法的基本思想是把系統(tǒng)的位移響應(yīng)看成狀態(tài)空間中一個(gè)多為隨機(jī)過程向量的分量。當(dāng)隨機(jī)激勵(lì)僅限于白噪聲時(shí)，這個(gè)隨機(jī)過程向量在每個(gè)時(shí)刻取得的增量是獨(dú)立的，于是它在性質(zhì)上是馬爾科夫過程，且是擴(kuò)散過程，其概率結(jié)構(gòu)完全由概率初始條件和轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)所決定，而擴(kuò)散過程的轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)服從FPK方程，因而求解實(shí)際非線性系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的FPK方程，就可得到受高斯白噪聲激勵(lì)后系統(tǒng)響應(yīng)的概率規(guī)律，從而求得相應(yīng)的頻域和時(shí)域信息。由于在均方意義下白噪聲的積分沒有

19、存在的意義，只有當(dāng)振動(dòng)的微分方程寫成伊藤型時(shí)，其響應(yīng)隨機(jī)過程才具有良好的MARKOV性質(zhì)，即在一個(gè)給定時(shí)刻上，它的條件概率密度只取決于最近一個(gè)過去時(shí)刻的觀察值，這種特性稱為無后效性。簡單地說，無后效性就是指過程的將來只依賴于過程的現(xiàn)在，而與過程的過去無關(guān)。這樣，響應(yīng)就完全由它的初始條件X0和傳遞概率密度函數(shù)PX，t|X0，t0所決定。傳遞概率密度函數(shù)由如下的Fokker-Planck方程求得:tPX，t|X0，t0+i=1nXiaiX，tP-12i=1nj=1n2XiXjbijX，tP=0 (29)其中：ai=limt01tEZi-Xi (30)bij=limt01tEZi-XiZj-Xj (

20、31)其中，ai表示隨機(jī)函數(shù)變化速度；bij表示隨機(jī)函數(shù)協(xié)方差的變化速度。Zi是Xi在時(shí)刻t+t的值。利用上面的式子求系數(shù)ai和bij時(shí)，需要知道系統(tǒng)本身的各個(gè)物理參數(shù)和激勵(lì)的概率特征。然后再求傳遞概率密度函數(shù)時(shí)，還需要知道響應(yīng)的初始條件、邊界條件和概率條件。當(dāng)響應(yīng)的條件概率密度函數(shù)P確定后，則響應(yīng)的幅值和時(shí)域各個(gè)信息也就完全可求了。FPK法從理論上講，可無限制地適用于非平穩(wěn)問題，也適用于非線性問題，是隨機(jī)非線性問題求解法中較嚴(yán)密的一種解法。但實(shí)際上在用FPK方法求解過程中，除比較簡單的情況外FPK方程的解是未知的，因此應(yīng)用解析方法求解較為復(fù)雜的隨機(jī)振動(dòng)問題是比較困難的。4.2 隨機(jī)等價(jià)線性化

21、法隨機(jī)等價(jià)線性化法是確定性激勵(lì)情況克雷洛夫與包哥留波夫的等效線性化法對(duì)隨機(jī)激勵(lì)情形的推廣?？死茁宸蚺c包哥留波夫在1947年最早提出了統(tǒng)計(jì)線性化思想，以后由于研究帶有隨機(jī)輸入的非線性控制系統(tǒng)的需要而得到了發(fā)展，1963年Caughey將該方法首次用于確定性單自由度非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)隨機(jī)響應(yīng)。后來其他一些研究者將這種方法擴(kuò)大應(yīng)用于多自由度系統(tǒng)非平穩(wěn)激勵(lì)、非高斯響應(yīng)。其基本思想是以線性函數(shù)等效地替代非線性函數(shù)：Fx，xa1+a2x0+a3x0 (32)式中的常系數(shù)ai(i=1，2，3)由誤差項(xiàng)的方差項(xiàng)的方差為最小的條件確定。此法可求解具有下列特點(diǎn)的非線性隨機(jī)振動(dòng)問題:(1)系統(tǒng)的非線性項(xiàng)與速度和

22、位移均有關(guān)。(2)具有滯回特性的非線性問題。(3)激勵(lì)可以是非白噪聲，但必須是平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過程。 等效線性化方法雖然可處理恢復(fù)力具有滯回特性的非線性問題，但是隨著非線性程度變強(qiáng)，其近似程度隨之變差，在必須考慮大塑性變形時(shí)，仍不加變化地采用上述方法是不適當(dāng)?shù)摹?.3 隨機(jī)攝動(dòng)法系統(tǒng)非線性較弱的情況，確定型非線性問題的攝動(dòng)法已有廣泛的應(yīng)用。這種確定性非線性問題的古典方法是由Crandall于1963年首次拓寬應(yīng)用與非確定性振動(dòng)問題的。以后1973年Nayfesh,1977年Jordan和Smith等人都對(duì)其推廣用于一般的非線性隨機(jī)振動(dòng)問題作了研究，1982年Nakagiri和Hisada,1988

23、年Liu,Besterfield和Belystchko還把攝動(dòng)法推廣于隨機(jī)有限元分析。主要原理是把所求的解用一個(gè)的冪級(jí)數(shù)表示，該技術(shù)的每一項(xiàng)作為對(duì)其以前各項(xiàng)的非線性函數(shù)的線性響應(yīng)一次逐項(xiàng)求值。非線性方程為y+y+w02y+fy,y=fzt (33)設(shè)其解為y=y0t+y1t+2y2t+ (34)將（34）帶入（33）解出yt在實(shí)際計(jì)算中，式（34）的級(jí)數(shù)很少超過二次項(xiàng)，因?yàn)榧?jí)數(shù)常常是漸近級(jí)數(shù)，雖然高次項(xiàng)對(duì)小的非線性項(xiàng)改進(jìn)了近似程度，但對(duì)較大的非線性情況近似程度顯然變壞。而且對(duì)隨機(jī)過程yt的展開式934),無論在均方意義下還是其它意義下的收斂性至今仍未得到證明，這就限制了該方法的適用范圍。從理論

24、上說，冪級(jí)數(shù)所取的項(xiàng)數(shù)越多，解的精度就越高。但實(shí)際上，超過一階近似后，求解已十分困難。即使系統(tǒng)受到的是正態(tài)隨機(jī)激勵(lì)，其響應(yīng)的一階近似值也不是正態(tài)過程。所以我們?cè)谟脭z動(dòng)法求解實(shí)際問題時(shí)，一般只做到一階近似。應(yīng)該注意的是:在求解具有彈性非線性特性(即弱非線性)，攝動(dòng)法不失為一種有效的方法，但對(duì)于具有滯回特性的強(qiáng)非線性問題來說，攝動(dòng)法就不再適用了。5. 動(dòng)力可靠度理論5.1 結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度的基本概念 結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)將產(chǎn)生一定統(tǒng)計(jì)強(qiáng)度的結(jié)構(gòu)響應(yīng)，結(jié)構(gòu)隨機(jī)振動(dòng)分析是為了獲得響應(yīng)的統(tǒng)計(jì)量。響應(yīng)統(tǒng)計(jì)量的主要用途是據(jù)以判定或評(píng)價(jià)結(jié)構(gòu)的可靠性。結(jié)構(gòu)在隨機(jī)激勵(lì)作用下的可靠性通常稱為動(dòng)力可靠性。結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度是結(jié)構(gòu)動(dòng)

25、力可靠性的數(shù)學(xué)度量。結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度是指結(jié)構(gòu)在隨機(jī)動(dòng)力激勵(lì)作用下，在給定時(shí)間內(nèi)部發(fā)生破壞或失效的概率。在許多情況下，常常根據(jù)動(dòng)力響應(yīng)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，憑經(jīng)驗(yàn)來判斷結(jié)構(gòu)的可靠性。然而更合理的做法是，根據(jù)一定破壞模型，導(dǎo)出結(jié)構(gòu)的可靠度。因此結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠度分析必須對(duì)結(jié)構(gòu)的安全與破壞作出規(guī)定，即給出結(jié)構(gòu)的安全與破壞準(zhǔn)則。目前，結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度分析所采用的破壞準(zhǔn)則大致可分為兩類：第一類是首次超越破壞準(zhǔn)則；第二類是疲勞破壞準(zhǔn)則。首次超越破壞準(zhǔn)則假設(shè)結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)（如控制點(diǎn)的應(yīng)力、應(yīng)變或控制點(diǎn)、控制層的位移）首次超越界限值或安全界限時(shí)結(jié)構(gòu)就發(fā)生破壞?；谑状纬狡茐臏?zhǔn)則的結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度，簡稱為結(jié)構(gòu)的首次超越破壞

26、可靠度。疲勞破壞準(zhǔn)則假設(shè)結(jié)構(gòu)在長期的隨機(jī)動(dòng)力荷載作用下，結(jié)構(gòu)動(dòng)力響應(yīng)在不大的界限上多次重復(fù)，當(dāng)累計(jì)損傷一旦達(dá)到某一限值或裂紋擴(kuò)展到一定程度時(shí)結(jié)構(gòu)就發(fā)生破壞?；谄谄茐臏?zhǔn)則的結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度，簡稱為結(jié)構(gòu)的疲勞破壞動(dòng)力可靠度。疲勞破壞機(jī)理較復(fù)雜，至今仍不可能根據(jù)基本的物理定律進(jìn)行疲勞分析，而只能在大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上應(yīng)用累積損傷假設(shè)或斷裂力學(xué)中的經(jīng)驗(yàn)公式對(duì)疲勞可靠度作出估計(jì)。在以上兩種破壞準(zhǔn)則中，首次破壞準(zhǔn)則是一個(gè)比較建安的，理想化的模型，但卻給出了動(dòng)力可靠度分析的基本思路，因此首次超越破壞準(zhǔn)則是比較受到重視和研究較多的一種模型。因此一下介紹所涉及的可靠度均基于首次超越破壞準(zhǔn)則的動(dòng)力可靠度?？紤]結(jié)構(gòu)

27、失效由單個(gè)隨機(jī)響應(yīng)過程Y(t)控制，b為界限值，則結(jié)構(gòu)在給定時(shí)間0,T內(nèi)的動(dòng)力可靠度可表示為PrT=PYtb,0<tT (35)結(jié)構(gòu)的時(shí)效概率PfT=1-PrT自1945年美國學(xué)者Rice最早開展隨機(jī)過程首次超越界限概率研究以來，經(jīng)過近70年的發(fā)展，結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度分析方法已經(jīng)取得了很大進(jìn)展，形成了基于過程跨越理論的犯法和基于擴(kuò)散過程理論的方法。這兩類方法代表了動(dòng)力可靠度分析的兩類分析思路，一類基于過程跨越界限理論，在一定假定前提下，導(dǎo)出過程首次超越界限概率的計(jì)算公式，進(jìn)而直接利用結(jié)構(gòu)隨機(jī)動(dòng)力響應(yīng)分析結(jié)構(gòu)計(jì)算結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度；另一類直接從結(jié)構(gòu)所滿足的隨機(jī)振動(dòng)微分方程著手，建立首次超越界限的概

28、率密度所滿足的微分方程，利用數(shù)值方法求解改微分方程，已獲得結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠度。5.2 基于過程跨越理論的方法Rice在1944年和1945年先后發(fā)表了兩篇論文，其中研究了隨機(jī)過程跨越某一固定界限次數(shù)問題，首次建立了在給定時(shí)間內(nèi)跨越界限次數(shù)及其期望值的數(shù)學(xué)表達(dá)式，為基于過程跨越理論的動(dòng)力可靠度分析方法奠定了基礎(chǔ)?；谶^程跨越理論的動(dòng)力可靠度主要分析方法有內(nèi)外向級(jí)數(shù)法、泊松過程法及其修正方法和點(diǎn)過程法等。其中泊松過程法及其修正方法為最具代表性的一類方法，并且在工程中獲得了最為廣泛的應(yīng)用。5.2.1 內(nèi)外向級(jí)數(shù)法Rice在1944年和1945年先后發(fā)表的兩篇論文中給出了計(jì)算首次超越界限概率的著名內(nèi)外級(jí)

29、數(shù)公式。1986年Madsen用不同方法重新推導(dǎo)了Rice的內(nèi)外向級(jí)數(shù)公式。這里給出由Madsen推導(dǎo)的內(nèi)外向級(jí)數(shù)公式。用符號(hào)B(t)和B(t)來分別表示跨越事件“在時(shí)間間隔t,t+t內(nèi)Y(t)首次跨越界限b”。通過引入函數(shù)Y(b,t,t1,ti)和Y(b,t,t1,ti)來表示BtBt1Bti-1 Bti和BtBt1Bti-1 B'ti的概率Yb,t,t1,ti=Yb,t,t1,ti+0tiYb,t,t1,tidti+1 (36)對(duì)上式變形得Yb,t,t1,ti=Yb,t,t1,ti-0tiYb,t,t1,tidti+1 (37)所以Yb,t=Yb,t+i=1(-1)i0t0t10t

30、iYb,t,t1,tidtidt1 (37)隨機(jī)過程Y(t)在時(shí)間0,T內(nèi)不跨越界限b的概率為PrT=exp-0TYb,tdt (38) 1968年Roberts改進(jìn)了Rice的內(nèi)外向級(jí)數(shù)，計(jì)算了Rice級(jí)數(shù)的前三項(xiàng)，求得了兩個(gè)上界限和一個(gè)下界限，并通過分析表明:當(dāng)時(shí)效概率很小時(shí)，級(jí)數(shù)收斂是很快的。從理論上說，內(nèi)外向級(jí)數(shù)法適用于任何隨機(jī)過程并且能夠給出問題的精確解。然而，出了級(jí)數(shù)項(xiàng)j取非常小的情況，式（37）和（38）所表示的積分一般是很難求解的。因此，一般只取前幾項(xiàng)作為內(nèi)外級(jí)數(shù)的近似表達(dá)式。另外，當(dāng)隨機(jī)激勵(lì)持續(xù)的時(shí)間很長時(shí)，計(jì)算工作量是非常大的。從實(shí)際應(yīng)用的觀點(diǎn)來看，內(nèi)外向級(jí)數(shù)主要還是適用于

31、時(shí)程問題。5.2.2 泊松過程及其修正方法動(dòng)力可靠度的泊松公式最先是由Coleman應(yīng)用Rice期望跨越率的結(jié)果與獨(dú)立跨越界限的假定得到的?；讵?dú)立跨越界限的假定，則跨越次數(shù)服從泊松過程。令Yb,t=0+yfYYb,y,tdy (39)則Yb,t表示為單位時(shí)間內(nèi)跨越界限次數(shù)的期望值，即期望跨越概率。結(jié)合泊松過程的特征，推導(dǎo)出結(jié)構(gòu)的動(dòng)力可靠度PrT為PrT=exp0TYb,tdt (40)由上述公式可知，在泊松過程假定下計(jì)算結(jié)構(gòu)可靠度的關(guān)鍵，在于已知Y(t)與Y(t)的聯(lián)合概率密度函數(shù)fYY(b,y,t)。當(dāng)Y(t)為零均值高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程時(shí)Yb,t=Y2Yexp-b22Y2 (41)當(dāng)Y(t)

32、為零均值高斯非平穩(wěn)隨機(jī)過程時(shí)Yb,t=Y2Y1-2expb221-2Y2+2bYexp-b22Y2bY1-2 42式中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，Y(t)與Y(t)的相關(guān)系數(shù)一般很小，因此在計(jì)算中一般取為0，則（42）式近似為Yb,t=Y(t)2Y(t)exp-b22Y2(t) (43)基于跨越界限次數(shù)服從泊松過程假定的動(dòng)力可靠度計(jì)算方法稱為泊松過程法。Cramer已經(jīng)嚴(yán)格證明：當(dāng)b趨近于無窮大時(shí)，跨越次數(shù)的分布漸近為泊松分布。這就意味著如果界限值是足夠大，就可以認(rèn)為這就意味著如果界限值是足夠大，就可以認(rèn)為跨越之間是相互獨(dú)立的，因此泊松過程法適用于隨機(jī)過程的高界限跨越問題。然而，泊松過程法對(duì)于低界限問

33、題是不適當(dāng)?shù)摹?對(duì)于窄帶過程，過程跨越界限是成群出現(xiàn)的，意味著一次跨越可能面臨后續(xù)的一次或多次跨越，因此跨越之間并不是相互獨(dú)立的，此時(shí)泊松過程法會(huì)夸大首次跨越界限概率的計(jì)算結(jié)果，用泊松過程法得到的動(dòng)力可靠度偏于保守。對(duì)于寬帶過程，泊松過程假定沒有計(jì)及過程實(shí)際花費(fèi)在非安全域內(nèi)的時(shí)間，此時(shí)泊松過程法會(huì)減小首次跨越界限概率的計(jì)算結(jié)果，用泊松過程法得到的動(dòng)力可靠度偏于非保守。針對(duì)這兩方面的誤差原因，曾提出多種對(duì)泊松過程法的修正。 由于窄帶過程的界限跨越不是獨(dú)立的，而傾向于成群地出現(xiàn)。包絡(luò)過程的跨越經(jīng)常出現(xiàn)在群的跨越之前，因此，更合理的做法是用包絡(luò)過程的首次超越界限問題代替過程本身的首次超越界限問題。提

34、出以包絡(luò)過程的獨(dú)立界限跨越假定代替過程本身的獨(dú)立跨越界限假定，即采用基于泊松過程假定的包絡(luò)過程期望跨越率代替過程本身的期望跨越率，以改善對(duì)結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度的估計(jì)。當(dāng)Y(t)為零均值高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程時(shí)，基于泊松過程假定的包絡(luò)過程期望跨越率為Yb,t=2bqYYexp-b22Y2 (44)式中q為帶寬參數(shù)，表示為q=1-1201 (45)上式中的i為Y(t)的第i階矩。如果計(jì)及包絡(luò)過程花費(fèi)在界限以上的時(shí)間，假設(shè)包絡(luò)過程在界限以上的狀態(tài)為1，在界限以下的狀態(tài)為 0，則由狀態(tài)0和1構(gòu)成的過程為兩態(tài)馬爾科夫過程。假定在相繼狀態(tài) 0和1上所處時(shí)間相互獨(dú)立，根據(jù)更新過程理論，可得到兩態(tài)馬爾可夫過程假定下對(duì)包絡(luò)

35、過程期望跨越率的估計(jì)。當(dāng)Y(t)為零均值高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程時(shí)，基于馬爾可夫過程假定的包絡(luò)過程期望跨越率為Yb,t=2bqY2Y2expb22Y2-1-1 (46) 對(duì)于窄帶隨機(jī)過程低界限跨越問題，伴隨著一次包絡(luò)過程界限跨越，往往有一次或數(shù)次過程本身界限跨越，上述修正將是對(duì)泊松過程法的改善。對(duì)于寬帶隨機(jī)過程低界限跨越問題，包絡(luò)過程界限跨越不一定伴隨過程本身界限跨越，從而得到比泊松過程法更為保守的可靠度估計(jì)?？紤]到并非所有包絡(luò)過程界限跨越一定伴隨過程本身界限跨越的這一事實(shí)，Vanmarcke在計(jì)及包絡(luò)過程花費(fèi)在界限以上時(shí)間的基礎(chǔ)上，通過識(shí)別和消除那些包絡(luò)過程跨越而之后不伴隨出現(xiàn)原過程的任何一次跨越，

36、進(jìn)一步對(duì)期望跨越率提出修正。引入以表示緊接包絡(luò)過程跨越而之后不伴隨出現(xiàn)原過程跨越的那部分所占的比例。當(dāng)Y(t)為零均值高斯平穩(wěn)隨機(jī)過程時(shí)=1-Y2bq1-exp-2b2Y (47)以1-乘以（46），得到修正后的期望跨越率為Yb,t=Y2Yexp-b22Y2 (48)=1-exp-2qbY1-exp-b22Y2 (49)當(dāng)Y(t)為高斯非平穩(wěn)隨機(jī)過程時(shí)，期望跨越率的計(jì)算公式與（48）是相同的，只需要把譜矩改為it=-+wiSYYw,tdw (i=0,1,2)即可。雖然，泊松過程法及其修正方法計(jì)算公式簡單，但在這些方法推導(dǎo)過程中采用了不同程度的假定，這會(huì)給動(dòng)力可靠度的計(jì)算精度帶來不同程度的影響。

37、原則上泊松過程法及其修正方法只適用于結(jié)構(gòu)響應(yīng)為高斯隨機(jī)過程時(shí)的動(dòng)力可靠度分析。5.2.2 點(diǎn)過程法 點(diǎn)過程法是計(jì)算窄帶隨機(jī)過程首次超越界限概率的好方法，其基本概念是用隨機(jī)過程Y(t)的極值點(diǎn)過程超越界限問題代替隨機(jī)過程本身超越界限問題。 然而用極值點(diǎn)過程超越界限問題代替過程本身超越界限問題時(shí)，同樣需要用到泊松過程假定或馬爾可夫過程假定才能得到結(jié)構(gòu)動(dòng)力可靠度的計(jì)算公式。實(shí)際上，不僅相鄰極值點(diǎn)存在相關(guān)性，而且還和其它極值點(diǎn)存在相關(guān)性。因此，基于泊松過程假定或馬爾科夫過程假定的點(diǎn)過程法同樣具有泊松過程法及其修正方法所存在的計(jì)算精度問題。 5.3 基于擴(kuò)散過程理論的方法基于過程跨越理論的方法只能獲得動(dòng)力可靠度的近似解，而基于擴(kuò)散過程理論的方法通過求解過程轉(zhuǎn)移概率密度函數(shù)所滿足的 FPK 方程，可以獲得動(dòng)力可靠度的數(shù)值精確解。FPK 方程上世紀(jì)初由物理學(xué)家?？恕⑵绽士说仍谘芯坎祭蔬\(yùn)動(dòng)與擴(kuò)散時(shí)首先得到，