勾股定理經(jīng)典例題詳解

1、勾股定理經(jīng)典例題詳解知識(shí)點(diǎn)一：勾股定理如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為：a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a2b2c2即直角三角形中兩直角邊的平方和等于斜邊的平方要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方關(guān)系的定理。 （2）勾股定理只適用于直角三角形，而不適用于銳角三角形和鈍角三角。 （3）理解勾股定理的一些變式： c2=a2+b2, a2=c2-b2， b2=c2-a2 ，c2=(a+b)2-2ab知識(shí)點(diǎn)二：用面積證明勾股定理方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（1）所示的正方形。 圖（1）中，所以。 方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形。 圖（2）中，所以。方法三：將四個(gè)全

2、等的直角三角形分別拼成如圖（3）1和（3）2所示的兩個(gè)形狀相同的正方形。 在（3）1中，甲的面積=（大正方形面積）（4個(gè)直角三角形面積）, 在（3）2中，乙和丙的面積和=（大正方形面積）（4個(gè)直角三角形面積）, 所以，甲的面積=乙和丙的面積和，即：.方法四：如圖（4）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形。 ，所以。知識(shí)點(diǎn)三：勾股定理的作用1已知直角三角形的兩條邊長(zhǎng)求第三邊；2已知直角三角形的一條邊，求另兩邊的關(guān)系；3用于證明平方關(guān)系的問題； 4利用勾股定理，作出長(zhǎng)為的線段。2. 在理解的基礎(chǔ)上熟悉下列勾股數(shù)滿足不定方程x2+y2=z2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)（又稱為高數(shù)或畢達(dá)哥拉斯數(shù)），顯然，以

3、x,y,z為三邊長(zhǎng)的三角形一定是直角三角形。 熟悉下列勾股數(shù)，對(duì)解題是會(huì)有幫助的：3、4、55、12、13；8、15、17；7、24、25；10、24、26；9、40、41如果(a,b,c)是勾股數(shù)，當(dāng)t>0時(shí)，以at,bt,ct為三角形的三邊長(zhǎng)，此三角形必為直角三角形。經(jīng)典例題透析 類型一：勾股定理的直接用法1、在RtABC中，C=90°(1)已知a=6， c=10，求b，(2)已知a=40，b=9，求c；(3)已知c=25，b=15，求a.思路點(diǎn)撥: 寫解的過程中，一定要先寫上在哪個(gè)直角三角形中，注意勾股定理的變形使用。解析：(1) 在ABC中，C=90°，a=6

4、，c=10,b=(2) 在ABC中，C=90°，a=40，b=9,c=(3) 在ABC中，C=90°，c=25，b=15,a=總結(jié)升華：有一些題目的圖形較復(fù)雜，但中心思想還是化為直角三角形來解決。如：不規(guī)則圖形的面積，可轉(zhuǎn)化為特殊圖形求解，本題通過將圖形轉(zhuǎn)化為直角三角形的方法，把四邊形面積轉(zhuǎn)化為三角形面積之差或和。舉一反三【變式】:如圖B=ACD=90°, AD=13,CD=12, BC=3,則AB的長(zhǎng)是多少?【答案】ACD=90°AD=13, CD=12AC2 =AD2CD2=132122=25AC=5又ABC=90°且BC=3由勾股定理可得

5、AB2=AC2BC2 =5232 =16AB= 4AB的長(zhǎng)是4.類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用2、如圖，已知：在中，. 求：BC的長(zhǎng). 思路點(diǎn)撥：由條件，想到構(gòu)造含角的直角三角形，為此作于D，則有，再由勾股定理計(jì)算出AD、DC的長(zhǎng)，進(jìn)而求出BC的長(zhǎng). 解析：作于D，則因，（的兩個(gè)銳角互余）（在中，如果一個(gè)銳角等于，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半）. 根據(jù)勾股定理，在中，. 根據(jù)勾股定理，在中，. . 總結(jié)升華：利用勾股定理計(jì)算線段的長(zhǎng)，是勾股定理的一個(gè)重要應(yīng)用. 當(dāng)題目中沒有垂直條件時(shí)，也經(jīng)常作垂線構(gòu)造直角三角形以便應(yīng)用勾股定理. 舉一反三【變式1】如圖，已知：，于P. 求證：. 思路點(diǎn)撥: 圖

6、中已有兩個(gè)直角三角形，但是還沒有以BP為邊的直角三角形. 因此，我們考慮構(gòu)造一個(gè)以BP為一邊的直角三角形. 所以連結(jié)BM. 這樣，實(shí)際上就得到了4個(gè)直角三角形. 那么根據(jù)勾股定理，可證明這幾條線段的平方之間的關(guān)系.解析：連結(jié)BM，根據(jù)勾股定理，在中，. 而在中，則根據(jù)勾股定理有. 又 （已知），. 在中，根據(jù)勾股定理有，. 【變式2】已知：如圖，B=D=90°，A=60°，AB=4，CD=2。求：四邊形ABCD的面積。分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC，或延長(zhǎng)AB、DC交于F，或延長(zhǎng)AD、BC交于點(diǎn)E，根據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第

7、三種較為簡(jiǎn)單。解析：延長(zhǎng)AD、BC交于E。A=60°，B=90°，E=30°。AE=2AB=8，CE=2CD=4，BE2=AE2-AB2=82-42=48，BE=。 DE2= CE2-CD2=42-22=12，DE=。S四邊形ABCD=SABE-SCDE=AB·BE-CD·DE=類型三：勾股定理的實(shí)際應(yīng)用（一）用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題3、如圖所示，在一次夏令營(yíng)活動(dòng)中，小明從營(yíng)地A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60°方向走了到達(dá)B點(diǎn)，然后再沿北偏西30°方向走了500m到達(dá)目的地C點(diǎn)。（1）求A、C兩點(diǎn)之間的距離。（2）確定目的地C在

8、營(yíng)地A的什么方向。思路點(diǎn)撥：把實(shí)際問題中的角度轉(zhuǎn)化為圖形中的角度，利用勾股定理求解。解析：（1）過B點(diǎn)作BE/AD DAB=ABE=60° 30°+CBA+ABE=180° CBA=90° 即ABC為直角三角形 由已知可得：BC=500m，AB= 由勾股定理可得： 所以（2）在RtABC中， BC=500m，AC=1000m CAB=30° DAB=60° DAC=30° 即點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東30°的方向總結(jié)升華：本題是一道實(shí)際問題，從已知條件出發(fā)判斷出ABC是直角三角形是解決問題的關(guān)鍵。本題涉及平行線的性質(zhì)和勾股

9、定理等知識(shí)。舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該工廠的廠門?【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時(shí)其高度是否小于CH如圖所示，點(diǎn)D在離廠門中線0.8米處，且CD， 與地面交于H解：OC1米(大門寬度一半)，OD0.8米（卡車寬度一半）在RtOCD中，由勾股定理得：CD.米，C.（米）.（米）因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門（二）用勾股定理求最短問題4、國(guó)家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國(guó)各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個(gè)村莊A、B、C、D，且正好位于一個(gè)正

10、方形的四個(gè)頂點(diǎn)，現(xiàn)計(jì)劃在四個(gè)村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們?cè)O(shè)計(jì)了四種架設(shè)方案，如圖實(shí)線部分請(qǐng)你幫助計(jì)算一下，哪種架設(shè)方案最省電線 思路點(diǎn)撥：解答本題的思路是：最省電線就是線路長(zhǎng)最短，通過利用勾股定理計(jì)算線路長(zhǎng)，然后進(jìn)行比較，得出結(jié)論 解析：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為1，則圖（1）、圖（2）中的總線路長(zhǎng)分別為AB+BC+CD3，AB+BC+CD3圖（3）中，在RtABC中同理圖（3）中的路線長(zhǎng)為圖（4）中，延長(zhǎng)EF交BC于H，則FHBC，BHCH由FBH及勾股定理得：EAEDFBFCEF12FH1此圖中總線路的長(zhǎng)為4EA+EF 32.828>2.732 圖（4）的連接線路最短，即圖（4）的架設(shè)方案最省電

11、線總結(jié)升華：在實(shí)際生產(chǎn)工作中，往往工程設(shè)計(jì)的方案比較多，需要運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行計(jì)算，比較從中選出最優(yōu)設(shè)計(jì)本題利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性質(zhì)舉一反三【變式】如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為20cm，高為4cm，是上底面的直徑一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C，試求出爬行的最短路程解：如圖，在Rt中，底面周長(zhǎng)的一半cm，根據(jù)勾股定理得（提問：勾股定理） AC （cm）（勾股定理）答：最短路程約為cm類型四：利用勾股定理作長(zhǎng)為的線段5、作長(zhǎng)為、的線段。思路點(diǎn)撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長(zhǎng)就等于，直角邊為和1的直角三角形斜邊長(zhǎng)就是，類似地可作。作法：如圖

12、所示 （1）作直角邊為1（單位長(zhǎng)）的等腰直角ACB，使AB為斜邊；（2）以AB為一條直角邊，作另一直角邊為1的直角。斜邊為；（3）順次這樣做下去，最后做到直角三角形，這樣斜邊、的長(zhǎng)度就是 、。總結(jié)升華：（1）以上作法根據(jù)勾股定理均可證明是正確的；（2）取單位長(zhǎng)時(shí)可自定。一般習(xí)慣用國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)的單位，如1cm、1m等，我們作圖時(shí)只要取定一個(gè)長(zhǎng)為單位即可。舉一反三 【變式】在數(shù)軸上表示的點(diǎn)。解析：可以把看作是直角三角形的斜邊，為了有利于畫圖讓其他兩邊的長(zhǎng)為整數(shù)，而10又是9和1這兩個(gè)完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和1。作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點(diǎn)，使OA=3，作ACOA且截取AC=1，以O(shè)C為半

13、徑，以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)B即為。類型五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫出下列原命題的逆命題并判斷是否正確1原命題：貓有四只腳（正確）2原命題：對(duì)頂角相等（正確）3原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等（正確）4原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊距離相等（正確）思路點(diǎn)撥：掌握原命題與逆命題的關(guān)系。解析：1. 逆命題：有四只腳的是貓（不正確）2. 逆命題：相等的角是對(duì)頂角（不正確）3. 逆命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上（正確）4. 逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上（正確）總結(jié)升華：本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。7、如果ABC

14、的三邊分別為a、b、c，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判斷ABC的形狀。思路點(diǎn)撥：要判斷ABC的形狀，需要找到a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有從該條件入手，解決問題。 解析：由a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得 ：a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。 (a-3)20, (b-4)20, (c-5)20。 a=3，b=4，c=5。 32+42=52, a2+b2=c2。 由勾股定理的逆定理，得ABC是直角三角形。 總結(jié)升華：勾股定理的逆定理是通

15、過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的,在證明中也常要用到。 舉一反三【變式1】四邊形ABCD中，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積?！敬鸢浮浚哼B結(jié)ACB=90°，AB=3，BC=4AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5AC2+CD2=169，AD2=169AC2+CD2=AD2ACD=90°（勾股定理逆定理）【變式2】已知:ABC的三邊分別為m2n2,2mn,m2+n2(m,n為正整數(shù),且mn),判斷ABC是否為直角三角形.分析:本題是利用勾股定理的的逆定理， 只要證明:a2+b2=c2即可證明： 所以ABC是直角

16、三角形.【變式3】如圖正方形ABCD，E為BC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且BF=AB。 請(qǐng)問FE與DE是否垂直?請(qǐng)說明?！敬鸢浮看穑篋EEF。證明：設(shè)BF=a，則BE=EC=2a, AF=3a，AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。連接DF（如圖）DF2=AF2+AD2=9a2+16a2=25a2。 DF2=EF2+DE2, FEDE。經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形兩直角邊的比是3：4，斜邊長(zhǎng)是20，求此直角三角形的面積。思路點(diǎn)撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長(zhǎng)度，求面積，可以先通

17、過比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)勾股定理列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積。解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x，4x，根據(jù)題意得： （3x）2+（4x）2202 化簡(jiǎn)得x216； 直角三角形的面積×3x×4x6x296總結(jié)升華：直角三角形邊的有關(guān)計(jì)算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程（組）求解。舉一反三【變式1】等邊三角形的邊長(zhǎng)為2，求它的面積?！敬鸢浮咳鐖D，等邊ABC，作ADBC于D則：BDBC（等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合）ABACBC2（等邊三角形各邊都相等）BD1在直角三角形ABD中，AB2AD2+BD2，即：AD2AB2BD2413ADSABCBC&

18、#183;AD注：等邊三角形面積公式：若等邊三角形邊長(zhǎng)為a，則其面積為a?！咀兪?】直角三角形周長(zhǎng)為12cm，斜邊長(zhǎng)為5cm，求直角三角形的面積?！敬鸢浮吭O(shè)此直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別是x，y，根據(jù)題意得：由（1）得：x+y7，（x+y）249，x2+2xy+y249 (3)(3)(2)，得：xy12直角三角形的面積是xy×126（cm2）【變式3】若直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是n+1，n+2，n+3，求n。思路點(diǎn)撥：首先要確定斜邊（最長(zhǎng)的邊）長(zhǎng)n+3，然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜邊長(zhǎng)為n+3，由勾股定理可得：（n+1）2+（n+2）2（n+3）2化簡(jiǎn)得：n24n

19、77;2，但當(dāng)n2時(shí)，n+11<0，n2總結(jié)升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊。【變式4】以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)，能組成直角三角形的是（ ）A、8，15，17 B、4，5，6 C、5，8，10 D、8，39，40解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進(jìn)行判斷，對(duì)數(shù)據(jù)較大的可以用c2a2+b2的變形：b2c2a2（ca）（c+a）來判斷。例如：對(duì)于選擇D，82（40+39）×（4039），以8，39，40為邊長(zhǎng)不能組成直角三角形。同理可以判斷其它選項(xiàng)?！敬鸢浮浚篈【變式5】四邊形ABCD中

20、，B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四邊形ABCD的面積。解：連結(jié)ACB=90°，AB=3，BC=4AC2=AB2+BC2=25（勾股定理）AC=5AC2+CD2=169，AD2=169AC2+CD2=AD2ACD=90°（勾股定理逆定理）S四邊形ABCD=SABC+SACD=AB·BC+AC·CD=36類型二：勾股定理的應(yīng)用2、如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且QPN30°，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP160m。假設(shè)拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100m以內(nèi)會(huì)受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是

21、否會(huì)受到噪聲影響？請(qǐng)說明理由，如果受影響，已知拖拉機(jī)的速度為18km/h，那么學(xué)校受影響的時(shí)間為多少秒？ 思路點(diǎn)撥：（1）要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校A，實(shí)質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m, 小于100m則受影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計(jì)算其長(zhǎng)度。（2）要求出學(xué)校受影響的時(shí)間，實(shí)質(zhì)是要求拖拉機(jī)對(duì)學(xué)校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校。 解析：作ABMN，垂足為B。 在 RtABP中，ABP90°，APB30°， AP160， ABAP80。 （在直角三角形中，30°所對(duì)的直角邊等于斜邊

22、的一半） 點(diǎn) A到直線MN的距離小于100m,這所中學(xué)會(huì)受到噪聲的影響。 如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛到點(diǎn)C處學(xué)校開始受到影響，那么AC100(m)，由勾股定理得： BC21002-8023600, BC60。 同理，拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)D處學(xué)校開始脫離影響，那么，AD100(m)，BD60(m),CD120(m)。 拖拉機(jī)行駛的速度為 : 18km/h5m/s t120m÷5m/s24s。 答：拖拉機(jī)在公路 MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校會(huì)受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時(shí)間為24秒。 總結(jié)升華:勾股定理是求線段的長(zhǎng)度的很重要的方法,若圖形缺少直角條件,則可以通過作輔助垂線的方法,

23、構(gòu)造直角三角形以便利用勾股定理。 舉一反三【變式1】如圖學(xué)校有一塊長(zhǎng)方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“捷徑”，在花園內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了_步路（假設(shè)2步為1m），卻踩傷了花草。解析：他們?cè)瓉碜叩穆窞?+47(m)設(shè)走“捷徑”的路長(zhǎng)為xm，則故少走的路長(zhǎng)為752(m)又因?yàn)?步為1m，所以他們僅僅少走了4步路?！敬鸢浮?【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個(gè)小三角形都是邊長(zhǎng)為1的正三角形，這樣的三角形稱為單位正三角形。（1）直接寫出單位正三角形的高與面積。（2）圖中的平行四邊形ABCD含有多少個(gè)單位正三角形？平行四邊形ABCD的面積是多少？（3）求出圖中線段AC的長(zhǎng)（可作輔助線）?！敬鸢浮浚?）單位正三角形的高為，面積是。（2）如圖可直接得出平行四邊形ABCD含有24個(gè)單位正三角形，因此其面積。（3）過A作AKBC于點(diǎn)K（如圖所示），則在RtACK中， ，故類型三：數(shù)學(xué)思想方法（一）轉(zhuǎn)化的思想方法我們?cè)谇笕切蔚倪吇蚪?，或進(jìn)行推理論證時(shí)，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形