全國數(shù)學(xué)微積分泰勒公式

1、泰勒公式及其應(yīng)用摘 要 文章簡(jiǎn)要介紹了泰勒公式及其幾個(gè)常見函數(shù)的展開式,針對(duì)泰勒公式的應(yīng)用討論了九個(gè)問題，即應(yīng)用泰勒公式求極限，證明不等式，判斷級(jí)數(shù)的斂散性，證明根的唯一存在性,判斷函數(shù)的極值,求初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式,進(jìn)行近似計(jì)算,求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值,求行列式的值.關(guān)鍵詞 泰勒公式；極限；不等式；斂散性；根的唯一存在性；極值;展開式;近似計(jì)算;行列式. 引言泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)非常重要的內(nèi)容,它將一些復(fù)雜函數(shù)近似地表示為簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式函數(shù),這種化繁為簡(jiǎn)的功能,使它成為分析和研究其他數(shù)學(xué)問題的有力杠桿.作者通過閱讀大量的參考文獻(xiàn),從中搜集了大量的習(xí)題,通過認(rèn)真演算,其中少數(shù)難度較大的題

2、目之證明來自相應(yīng)的參考文獻(xiàn),并對(duì)這些應(yīng)用方法做了系統(tǒng)的歸納和總結(jié).由于本文的主要內(nèi)容是介紹應(yīng)用,所以,本文會(huì)以大量的例題進(jìn)行講解說明. 預(yù)備知識(shí)定義2.1 若函數(shù)在存在階導(dǎo)數(shù),則有 （1）這里為佩亞諾型余項(xiàng),稱(1)f在點(diǎn)的泰勒公式.當(dāng)=0時(shí),（1）式變成,稱此式為(帶有佩亞諾余項(xiàng)的)麥克勞林公式.定義2.2 若函數(shù) 在某鄰域內(nèi)為存在直至 階的連續(xù)導(dǎo)數(shù),則 , （2）這里為拉格朗日余項(xiàng),其中在與之間,稱（2）為在的泰勒公式.當(dāng)=0時(shí),（2）式變成稱此式為(帶有拉格朗日余項(xiàng)的)麥克勞林公式.常見函數(shù)的展開式：.定理2.1(介值定理) 設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間 上連續(xù),且 ,若為介于 與之間的任

3、何實(shí)數(shù),則至少存在一點(diǎn),使得.3 泰勒公式的應(yīng)用3.1 利用泰勒公式求極限為了簡(jiǎn)化極限運(yùn)算,有時(shí)可用某項(xiàng)的泰勒展開式來代替該項(xiàng),使得原來函數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為類似多項(xiàng)式有理式的極限,就能簡(jiǎn)捷地求出.例3.1 求極限.分析：此為型極限,若用羅比達(dá)法求解，則很麻煩,這時(shí)可將和分別用泰勒展開式代替,則可簡(jiǎn)化此比式.解 由,得,于是.3.2 利用泰勒公式證明不等式當(dāng)所要證明的不等式是含有多項(xiàng)式和初等函數(shù)的混合物,不妨作一個(gè)輔助函數(shù)并用泰勒公式代替,往往使證明方便簡(jiǎn)捷.例3.2 當(dāng)時(shí),證明.證明 取,則帶入泰勒公式,其中=3,得，其中.故當(dāng)時(shí),.3.3 利用泰勒公式判斷級(jí)數(shù)的斂散性當(dāng)級(jí)數(shù)的通項(xiàng)表達(dá)式是由不同類

4、型函數(shù)式構(gòu)成的繁難形式時(shí),往往利用泰勒公式將級(jí)數(shù)通項(xiàng)簡(jiǎn)化成統(tǒng)一形式,以便利用判斂準(zhǔn)則.例3.3 討論級(jí)數(shù)的斂散性.分析：直接根據(jù)通項(xiàng)去判斷該級(jí)數(shù)是正向級(jí)數(shù)還是非正向級(jí)數(shù)比較困難,因而也就無法恰當(dāng)選擇判斂方法,注意到,若將其泰勒展開為的冪的形式,開二次方后恰與相呼應(yīng),會(huì)使判斂容易進(jìn)行.解 因?yàn)?所以,所以故該級(jí)數(shù)是正向級(jí)數(shù).又因?yàn)?所以.因?yàn)槭諗?所以由正向級(jí)數(shù)比較判別法知原級(jí)數(shù)收斂.3.4 利用泰勒公式證明根的唯一存在性例3.4 設(shè)f(x)在上二階可導(dǎo),且,對(duì), 證明： 在內(nèi)存在唯一實(shí)根.分析：這里f(x)是抽象函數(shù),直接討論的根有困難,由題設(shè)f(x)在上二階可導(dǎo)且,可考慮將f(x)在a點(diǎn)展開

5、一階泰勒公式,然后設(shè)法應(yīng)用戒指定理證明.證明 因?yàn)?所以單調(diào)減少,又,因此x>a時(shí),故f(x)在上嚴(yán)格單調(diào)減少.在a點(diǎn)展開一階泰勒公式有由題設(shè),于是有,從而必存在,使得,又因?yàn)?在上應(yīng)用連續(xù)函數(shù)的介值定理,存在,使,由f(x)的嚴(yán)格單調(diào)性知唯一,因此方程在內(nèi)存在唯一實(shí)根.3.5 利用泰勒公式判斷函數(shù)的極值例3.5 (極值的第二充分條件)設(shè)在的某鄰域內(nèi)一階可導(dǎo),在處二階可導(dǎo),且,.(i)若,則在取得極大值.(ii) 若,則在取得極小值.證明 由條件，可得f在處的二階泰勒公式.由于,因此.(*)又因,故存在正數(shù),當(dāng)時(shí),與同號(hào).所以,當(dāng)時(shí),(*)式取負(fù)值,從而對(duì)任意有,即在取得極大值.同樣對(duì),

6、可得在取得極小值.3.6 利用泰勒公式求初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式利用基本初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式,通過加減乘等運(yùn)算進(jìn)而可以求得一些較復(fù)雜的初等函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式.例3.6 求的冪級(jí)數(shù)展開式.解 利用泰勒公式3.7 利用泰勒公式進(jìn)行近似計(jì)算利用泰勒公式可以得到函數(shù)的近似計(jì)算式和一些數(shù)值的近似計(jì)算,利用麥克勞林展開得到函數(shù)的近似計(jì)算式為,其誤差是余項(xiàng).例3.7 計(jì)算Ln1.2的值,使誤差不超過0.0001解 先寫出f(x)=Ln(1+x)帶拉格朗日型余項(xiàng)的麥克勞林展開式：,其中（在0與x之間）.令,要使則取即可.因此當(dāng)要求的算式不能得出它的準(zhǔn)確值時(shí),即只能求出其近似值,這時(shí)泰勒公式是解決這種問題的最好

7、方法.例3.8 求的近似值,精確到.解 因?yàn)橹械谋环e函數(shù)是不可積的（即不能用初級(jí)函數(shù)表達(dá)）,現(xiàn)用泰勒公式的方法求的近似值.在的展開式中以代替 x得逐項(xiàng)積分,得上式右端為一個(gè)收斂的交錯(cuò)級(jí)數(shù),由其余項(xiàng)的估計(jì)式知3.8 利用泰勒公式求高階導(dǎo)數(shù)在某些點(diǎn)的數(shù)值如果f(x)泰勒公式已知,其通項(xiàng)中的加項(xiàng)的系數(shù)正是,從而可反過來求高階導(dǎo)數(shù)數(shù)值,而不必再依次求導(dǎo).例3.9 求函數(shù)在x=1處的高階導(dǎo)數(shù).解 設(shè)x=u+1,則,在u=0的泰勒公式為,從而,而g(u)中的泰勒展開式中含的項(xiàng)應(yīng)為,從g(u)的展開式知的項(xiàng)為,因此,.3.9 利用泰勒公式求行列式的值若一個(gè)行列式可看做x的函數(shù)（一般是x的n次多項(xiàng)式）,記作f

8、(x),按泰勒公式在某處展開,用這一方法可求得一些行列式的值.例 3.10 求n階行列式 D= （1）解 記,按泰勒公式在z處展開：, （2）易知 （3）由（3）得,.根據(jù)行列式求導(dǎo)的規(guī)則,有于是在處的各階導(dǎo)數(shù)為, 把以上各導(dǎo)數(shù)代入（2）式中,有若,有,若,有.4 總結(jié)本文主要介紹了泰勒公式以及它的九個(gè)應(yīng)用,使我們對(duì)泰勒公式有了更深一層的理解,怎樣應(yīng)用泰勒公式解題有了更深一層的認(rèn)識(shí).,只要在解題訓(xùn)練中注意分析,研究題設(shè)條件及其形式特點(diǎn),并把握上述處理規(guī)則,就能比較好地掌握利用泰勒公式解題的技巧.參考文獻(xiàn)1陳傳章 金福林：數(shù)學(xué)分析（下）北京：高等教育出版社,1986.2張自蘭 崔福蔭：高等數(shù)學(xué)證

9、題方法陜西：陜西科學(xué)出版社,1985.3王向東：數(shù)學(xué)分析的概念和方法上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社,1989.4同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室主編.高等數(shù)學(xué)【M】.北京：人民教育出版社,1999.5劉玉璉 傅沛仁：數(shù)學(xué)分析講義【M】.北京：人民教育出版社,2000.6華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系,數(shù)學(xué)分析（第二版）【M】高等教育出版社,1911.7張立民Visual Foxpro5.x中文版應(yīng)用技術(shù)手冊(cè)【M】大連：大連理工大學(xué)出版社,19978中文版Visual Foxpro3.0編程指南【M】西安：西安交通大學(xué)出版社,19979Visual Basic程序設(shè)計(jì)【M】中央廣播電視大學(xué)出版社,2001Some Equiva

10、lent Definitions and Applications of Convex FunctionWang Cuina（Grade06,Class4, Major in Mathematics and Applied Mathematics, Department of Mathematics,Shaanxi University of Technology, Hanzhong 723000, Shaanxi)Tutor:Li JinlongAbstractThis paper briefly introduces the Taylor formula and the expansion

11、 of several common functions, for the Taylor formula discussed nine issues that limit application of Taylor's formula of seeking to prove that inequality, determine convergence and divergence of series, that the root The only existence, determine the function of the extreme value, find the primary function of the power series expansion, to approximate calculation, find the higher derivative value at some p