初中數(shù)學(xué)四邊形提高練習(xí)輔助線

1、四邊形 常見輔助線 提高【題型一】若一個(gè)四邊形的一組對(duì)角為直角，且其中一個(gè)直角的兩邊相等，則可以作兩條垂線，可以構(gòu)造出一個(gè)正方形 其實(shí)，這個(gè)圖也可以看做是把AND旋轉(zhuǎn)以后得到的正方形，應(yīng)用舉例1如圖，四邊形ABCD中，AB=BC，ABC=CDA=90°，BEAD于點(diǎn)E，且四邊形ABCD的面積為8，則BE=（）A2B3CD發(fā)散思維：也可以連接BD，旋轉(zhuǎn)BDC會(huì)得到一個(gè)什么形？2.如圖，在四邊形ABCD中，A=90°， ABC與ADC互補(bǔ).（1）求C的度數(shù)；（2）若BCCD且AB=AD，請(qǐng)?jiān)趫D5上畫出一條線段，把四邊形ABCD分成兩部分，使得這兩部分能夠重新拼成一個(gè)正方形，并說

2、明理由；（3）若CD=6，BC=8，S四邊形ABCD=49，求AB的值.3在ABC中，ACB為銳角，動(dòng)點(diǎn)D（異于點(diǎn)B）在射線BC上，連接AD，以AD為邊在AD的右側(cè)作正方形ADEF，連接CF.(1)若AB=AC，BAC=90°那么 如圖一，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上時(shí)，線段CF與BD之間的位置、大小關(guān)系是 （直接寫結(jié)論） 如圖二，當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長線上時(shí)，中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)說明理由。（2）若ABAC，BAC90°。點(diǎn)D在線段BC上，那么當(dāng)ACB等于多少度時(shí)，線段CF與BD之間的位置關(guān)系仍然成立。請(qǐng)畫出相應(yīng)圖形，并說明理由。 圖（一） 圖（二）【題型二】四邊形一邊上的動(dòng)點(diǎn)到

3、兩對(duì)角線距離之和1已知正方形ABCD的邊長為a，兩條對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，P是射線AB上任意一點(diǎn)，過P點(diǎn)分別作直線AC、BD的垂線PE、PF，垂足為E、F（1）如圖1，當(dāng)P點(diǎn)在線段AB上時(shí)，求PE+PF的值（2）如圖2，當(dāng)P點(diǎn)在線段AB的延長線上時(shí)，求PE-PF的值2如圖，矩形ABCD的兩邊AB=3，BC=4，P是AD上任一點(diǎn)，PEAC于點(diǎn)E，PFBD于點(diǎn)F。求PE+PF的值。3如圖，ABC中，AB=AC，AD、AE分別是BAC及其外角CAF 的平分線，CEAE（1）求證：AB=DE（2）若，AD=8，P為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)x為點(diǎn)P到直線AC的距離，y為點(diǎn)P到直線AB的距離，求y與x的

4、函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍【題型三】正方形內(nèi)部有垂直線段，則一定有全等或可以構(gòu)造全等；1（2010浙江紹興） (1) 如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上,AE,BF交于點(diǎn)O,AOF90°.求證：BECF.(2) 如圖2,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,H,F,G分別在邊AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于點(diǎn)O,FOH90°, EF4.求GH的長. 圖1 圖22如圖1，在正方形中，分別為邊上的點(diǎn)，連接交點(diǎn)為如圖2，連接，試判斷四邊形的形狀，并證明你的結(jié)論； 圖1 圖2矩形內(nèi)部有垂直線段，則一定有相似或可以構(gòu)造相似；3小麗參加數(shù)學(xué)興趣小組活動(dòng)，提供

5、了下面3個(gè)有聯(lián)系的問題，請(qǐng)你幫助解決：（1）如圖1，正方形中，作交于，交于，求證：；（2）如圖2，正方形中，點(diǎn)分別在上，點(diǎn)分別在上，且，求的值；（3）如圖3，矩形中，點(diǎn)分別在上，且，求的值 圖1 圖2 圖34如圖，矩形ABCD，M為CD中點(diǎn)，點(diǎn)E在線段MC上運(yùn)動(dòng)，GH垂直平分AE，垂足為O，分別交于AD、BC于點(diǎn)G、H，AB=3，BC=4（1）求AE：GH；（2）設(shè)，四邊形AHEG的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；當(dāng)取最大值時(shí)，判斷四邊形AHEG的形狀，并說明理由 【題型四】連接四邊中點(diǎn)所得到的四邊形1順次連結(jié)任意四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是( )A平行四邊形 B矩形 C菱形 D正方形2順次連

6、結(jié)對(duì)角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是( )A平行四邊形 B矩形 C菱形 D正方形3順次連結(jié)對(duì)角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是( )A平行四邊形 B矩形 C菱形 D正方形4順次連結(jié)對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形一定是( )A平行四邊形 B矩形 C菱形 D正方形【題型五】有角互余，則暗示應(yīng)該構(gòu)造直角三角形：讓這組互余角成為一個(gè)三角形的內(nèi)角1如圖，在梯形ABCD中，DCAB，AB=90°。若AB=10，AD=4，DC=5，則梯形ABCD的面積為 。2已知在梯形ABCD中，AD/BC，B與C互余，AD=5，BC=13，c=60°,則該梯形的

7、面積為 3上底長為3，下底長為15，若此兩個(gè)底角，則兩底中點(diǎn)間的距離為 【題型六】線段旋轉(zhuǎn)90°，必有全等三角形1在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A，O是坐標(biāo)原點(diǎn)若連接OA，將OA繞點(diǎn)O逆時(shí)針°得到OB，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是 2如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B的坐標(biāo)是（1，0），若點(diǎn)A的坐標(biāo)為（a，b），將BA繞點(diǎn)B順時(shí)針°得到BA，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是 圖1 圖23 如圖2，直角梯形ABCD中，ADBC，ABBC，AD = 2，將腰CD以D為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至DE，連接AE、CE，ADE的面積為3，則BC的長為 【題型七】直角頂點(diǎn)在正方形中心，必有全等；直角頂點(diǎn)在矩形中

8、心，必有相似1.如圖，兩個(gè)正方形的邊長均為1，其中一個(gè)的頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心，則兩個(gè)正方形重合部分的面積為_ 2.一次數(shù)學(xué)興趣活動(dòng)，小明提出這樣三個(gè)問題，請(qǐng)你解決：（1）把正方形ABCD與等腰RtPAQ如圖1所示重疊在一起，其中PAQ=90°，點(diǎn)Q 在邊BC上，連接PD，求證：ADPABQ（2）如圖2，O為正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，將一直角三角板FPQ的直角頂點(diǎn)F與點(diǎn)O重合，轉(zhuǎn)動(dòng)三角板使兩直角邊始終與BC、AB相交于點(diǎn)M、N，求證：OM=ON（3）如圖3，將（2）的“正方形”改為“矩形”，其它條件不變，如果AB=4，AD=6，F(xiàn)M=x，F(xiàn)N=y，試求y與x之間的關(guān)系式 圖1 圖2 圖

9、3【能力提升】1如圖3，在直角梯形ABCD中，ADBC，ABC=90°，BDDC，BD=DC，CE平分BCD，交AB于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)H，ENDC交BD于點(diǎn)N，下列結(jié)論：BH=DH；CH=EH；.其中正確的是（ ） A B只有 C只有 D只有 圖3 圖42如圖4，將兩張長為8，寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個(gè)菱形，容易知道當(dāng)兩張紙條垂直時(shí)，菱形的周長有最小值8，那么菱形周長的最大值是 3. （2011湖北武漢市）如圖5，在菱形ABCD中，AB=BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且AE=DF連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相交于點(diǎn)H下列結(jié)論：（ ）  AEDDF

10、B；  S四邊形 BCDG=  CG2；若AF=2DF，則BG=6GF其中正確的結(jié)論A只有  B只有 C只有  D 圖5 圖64.已知：如圖6，在正方形外取一點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)若， 下列結(jié)論：；點(diǎn)到直線的距離為；其中正確結(jié)論的序號(hào)是（ ）A B C D 5. （2011四川重慶，24，10分）如圖，梯形ABCD中，ADBC，DCB45°，CD 2，BDCD 過點(diǎn)C作CEAB于E，交對(duì)角線BD于F點(diǎn)G為BC中點(diǎn)，連結(jié)EG、AF(1)求EG的長；(2)求證：CF AB AF6如圖，在中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過點(diǎn)的直線從與重合的

11、位置開始，繞點(diǎn)作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，交邊于點(diǎn)過點(diǎn)作交直線于點(diǎn)，設(shè)直線的旋轉(zhuǎn)角為 （1）當(dāng) 度時(shí)，四邊形是等腰梯形，此時(shí)的長為 ；當(dāng) 度時(shí)，四邊形是直角梯形，此時(shí)的長為 ；（2）當(dāng)時(shí)，判斷四邊形是否為菱形，并說明理由7如圖，在梯形ABCD中，ADBC,E是BC的中點(diǎn)，AD=5，BC=12，CD=4，C=，點(diǎn)P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，設(shè)PB長為x.(1)當(dāng)x的值為 時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形.(2)當(dāng)x的值為 時(shí)，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形. (3)點(diǎn)P在BC邊上運(yùn)動(dòng)的過程中，以點(diǎn)P、A、D、E為頂點(diǎn)的四邊形能否構(gòu)成菱形？試說明理由.8. （2011湖北咸寧，22，10分）

12、（1）如圖，在正方形ABCD中，AEF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，CD邊上，高AG與正方形的邊長相等，求EAF的度數(shù)（2）如圖，在RtABD中，BAD=90°，AB=AD，點(diǎn)M，N是BD邊上的任意兩點(diǎn)，且MAN=45°，將ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至ADH位置，連接NH，試判斷MN，ND，DH之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由（3）在圖中，連接BD分別交AE，AF于點(diǎn)M，N，若EG=4，GF=6，BM=3，求AG，MN的長 9（2010 江蘇連云港）（本題滿分10分）如果一條直線把一個(gè)平面圖形的面積分成相等的兩部分，我們把這條直線稱為這個(gè)平面圖形的一條面積等分線如，平行四邊

13、形的一條對(duì)線所在的直線就是平行四邊形的一條面積等分線（1）三角形的中線、高線、角平分線分別所在的直線一定是三角形的面積等分線的有_；（2）如圖1，梯形ABCD中，ABDC，如果延長DC到E，使CEAB，連接AE，那么有S梯形ABCDSADE請(qǐng)你給出這個(gè)結(jié)論成立的理由，并過點(diǎn)A作出梯形ABCD的面積等分線（不寫作法，保留作圖痕跡）；（3）如圖2，四邊形ABCD中，AB與CD不平行，SADCSABC，過點(diǎn)A能否作出四邊形ABCD的面積等分線？若能，請(qǐng)畫出面積等分線，并給出證明；若不能，說明理由 圖1 圖2 10（2011營口）已知正方形ABCD，點(diǎn)P是對(duì)角線AC所在直線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在DC邊所在直

14、線上，且隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)，PE=PD總成立（1）如圖（1），當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)角線AC上時(shí)，請(qǐng)你通過測(cè)量、觀察，猜想PE與PB有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論不必證明）；（2）如圖（2），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CA的延長線上時(shí)，（1）中猜想的結(jié)論是否成立？如果成立，請(qǐng)給出證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由；（3）如圖（3），當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到CA的反向延長線上時(shí)，請(qǐng)你利用圖（3）畫出滿足條件的圖形，并判斷此時(shí)PE與PB有怎樣的關(guān)系？（直接寫出結(jié)論不必證明） 圖（1） 圖（2） 圖（3）11（2009山東德州）已知正方形ABCD中，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，過E點(diǎn)作EFBD交BC于F，連接DF，G為DF中點(diǎn)，連接EG，CG（1）求證：EG=CG；（2）將圖中BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45º，如圖所示，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由；（3）將圖中BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明） 圖 圖 圖【廈門中考】1(9分)已知四邊形ABCD，ADBC，連接BD(1)小明說：“若添加條件BD2BC2CD2，則四邊形ABCD是矩形”你認(rèn)為小明的說法是否正確？若正確，請(qǐng)說明理由；若不正確，請(qǐng)舉出一個(gè)反例說明(2)若BD平分ABC