同濟(jì)版高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分

1、高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分第五章定積分教學(xué)目的：1、理解定積分的概念2、掌握定積分的性質(zhì)及定積分中值定理，掌握定積分的換元積分法與分部積分法3、理解變上限定積分定義的函數(shù)，及其求導(dǎo)數(shù)定理，掌握牛頓一萊布尼茨公式4、了解廣義積分的概念并會計(jì)算廣義積分教學(xué)重點(diǎn)：1、定積分的性質(zhì)及定積分中值定理2、 定積分的換元積分法與分部積分法3、牛頓-萊布尼茨公式教學(xué)難點(diǎn)：1、定積分的概念2、積分中值定理3、定積分的換元積分法分部積分法。4、變上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。§5 1定積分概念與性質(zhì)一、定積分問題舉例1曲邊梯形的面積曲邊梯形 設(shè)函數(shù)y f(x)在區(qū)間a b上非負(fù)、連續(xù)由直線x a、x b、y 0及曲線y

2、 f (x)所圍天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室成的圖形稱為曲邊梯形其中曲線弧稱為曲邊求曲邊梯形的面積的近似值將曲邊梯形分割成一些小的曲邊梯形每個(gè)小曲邊梯形都用一個(gè)等寬的小矩形代替每個(gè)小曲邊梯形的面積都近似地等于小矩形的面積則所有小矩形面積的和就是曲邊梯形面積的近似值具體方法是在區(qū)間a b中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)a X0 X1 X2Xn 1 Xn b把a(bǔ) b分成n個(gè)小區(qū)間X0 Xi X1 X2 X2 X3 Xn 1 Xn 它們的長度依次為XiXiX0X2X2XiXnXnXn1經(jīng)過每一個(gè)分點(diǎn)作平行于y軸的直線段把曲邊梯形分成n個(gè)窄曲邊梯形在每個(gè)小區(qū)間Xi i Xi上任取一點(diǎn)i以X

3、i i Xi 為底、f ( i)為高的窄矩形近似替代第i個(gè)窄曲邊梯形(i 1 2n)把這樣得到的n個(gè)窄矩陣形面積之和作為所求曲邊梯形面積A的近似值即nA f ( 1)Xi f ( 2) X2f ( n) Xnf( i) Xii 1求曲邊梯形的面積的精確值顯然分點(diǎn)越多、每個(gè)小曲邊梯形越窄所求得的曲邊梯形面積A的近似值就越接近曲邊梯形面積A的精確值因此要求曲邊梯形面積 A的精確值只需無限地增加分點(diǎn)使每個(gè)小曲邊梯形的寬度趨于零記max Xi X2Xn 于是上述增加分點(diǎn)使每個(gè)小曲邊梯形的寬度趨于零相當(dāng)于令0所以曲邊梯形的面積為nA lim f( i) Xi°i i2變速直線運(yùn)動(dòng)的路程天津工業(yè)

4、大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室4高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分5高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)已知速度V V ( t)是時(shí)間間隔算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程ST 1 T 2上t的連續(xù)函數(shù)且v (t) 0計(jì)求近似路程我們把時(shí)間間隔T 1 T 2分成n個(gè)小的時(shí)間間隔 看成是均速的其速度近似為物體在時(shí)間間隔ti內(nèi)某點(diǎn)ti在每個(gè)小的時(shí)間間隔ti內(nèi) 物體運(yùn)動(dòng)i的速度v( i)物體在時(shí)間間隔ti內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離近似為S v( i) ti把物體在每一小的時(shí)間間隔ti內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離加起來作為物體在時(shí)間間隔T 1 T 2內(nèi)所經(jīng)過的路程S的近似值具體做法是在時(shí)間間隔】T i T 2內(nèi)任意插入若干個(gè)分

5、點(diǎn)T 1 to把T i T 2分成n個(gè)小段t o t 1t i t 2tn1 t n各小段時(shí)間的長依次為tn相應(yīng)地 在各段時(shí)間內(nèi)物體經(jīng)過的路程依次為S 1 S2在時(shí)間間隔ti 1 t i :上任取一個(gè)時(shí)刻i (ti 1t i:上各個(gè)時(shí)刻的速度 得到部分路程 Si的近似值ti )以i時(shí)刻的速度V ( i)來代替ti 1SiV ( i) t i (i于是這n段部分路程的近似值之和就是所求變速直線運(yùn)動(dòng)路程S的近似值即求精確值記 max t 1 t 2V( i) ti1tn當(dāng) 0時(shí)取上述和式的極限即得變速直線運(yùn)動(dòng)的路程天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室6高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分S l

6、im v( i) ti0i i設(shè)函數(shù)y f (x)在區(qū)間a b上非負(fù)、連續(xù)求直線x a、x b、y 0及曲線y f (x)所圍成的曲邊梯形的面積(1) 用分點(diǎn)a xo xi X2xn i xn b把區(qū)間a b分成n個(gè)小區(qū)間Xo Xi xix2 xX3Xn1Xn 記XiXiXi1( i 1 2 n)(2) 任取i Xi 1 Xi以Xi 1刈為底的小曲邊梯形的面積可近似為f( J X (i 1 2n)所求曲邊梯形面積 A的近似值為nA f( i)i 17高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分(3)記 max X1 X2Xn 所以曲邊梯形面積的精確值為#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)

7、教案第五章定積分nA limof( i) Xi0 i 1設(shè)物體作直線運(yùn)動(dòng)已知速度v v (t)是時(shí)間間隔T 1 T 2 上 t的連續(xù)函數(shù)且v(t) 0計(jì)算在這段時(shí)間內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S(1) 用分點(diǎn)T1t0t1t2tn 1tnT2把時(shí)間間隔T 1T 2分成n個(gè)小時(shí)間段t°t1t1t2tn1tn記 ti ti ti 1 (i 1 2n)(2) 任取i ti 1 ti在時(shí)間段ti 1 ti內(nèi)物體所經(jīng)過的路程可近似為v ( i)ti(i 1 2n)所求路程S的近似值為天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室nS v( i) tii 1(3) 記 max tit2tn所求路程的精

8、確值為nS li叫 v( i) ti0 i 1二、定積分定義拋開上述問題的具體意義抓住它們在數(shù)量關(guān)系上共同的本質(zhì)與特性加以概括就抽象出下述定積分的定義定義 設(shè)函數(shù)f(x)在a b上有界 在a b中任意插入若干個(gè)分點(diǎn)a xo xi x2把區(qū)間a b分成n個(gè)小區(qū)間Xo xi xi X2各小段區(qū)間的長依次為xi xi xoX2 X2 xi在每個(gè)小區(qū)間xi i x訂上任取一個(gè)點(diǎn) i(xi i i積xn i xn bXn i xnxn Xn Xn iXi)作函數(shù)值f ( i)與小區(qū)間長度Xi的乘f ( i)Xi (i i 2 n)并作出和天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室nS f( i

9、) Xii 1記 max Xi X2xn如果不論對a b怎樣分法也不論在小區(qū)間Xi 1刈上點(diǎn)i怎樣取法 只要當(dāng) 0時(shí) 和S總趨于確定的極限I這時(shí)我們稱這個(gè)極限I為函數(shù)f (x)在區(qū)間 a b上的定積分 記作：f(x)dxbn即f(x)dx lim f( i) xia0i i其中f (x)叫做被積函數(shù)f (x)dx叫做被積表達(dá)式x叫做積分變量a叫做積分下限b叫做積分上限 a b叫做積分區(qū)間定義 設(shè)函數(shù)f(x)在ab上有界用分點(diǎn)axoxix2xnixnb把a(bǔ) b分成n個(gè)小區(qū)間X0 X1X1 X2Xn 1 Xn 記 Xi Xi Xi 1(i 1 2n)任i Xi 1 Xi (i 1 2n)作和nSf

10、(i 1i) Xi記max X1X2Xn 如果當(dāng)0時(shí)上述和式的極限存在且極限值與區(qū)間a bb的分法和i的取法無關(guān)則稱這個(gè)極限為函數(shù) f( X)在區(qū)間a b上的定積分記作 f(x)dxanaf(x)dxlim0f( i) xi 1b根據(jù)定積分的定義曲邊梯形的面積為A a f (x)dxaT2變速直線運(yùn)動(dòng)的路程為S Tv(t)dtT1天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室說明(1)定積分的值只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)而與積分變量的記法無關(guān)即f(u)duf (x)dxn(2)和 f( i) x通常稱為f (x)的積分和i 1(3)如果函數(shù)f (x)在a b上的定積分存在我們就說f (x

11、)在區(qū)間a b上可積函數(shù)f (x)在a b上滿足什么條件時(shí)f (x)在a b上可積呢？定理1設(shè)f (x)在區(qū)間a b上連續(xù)則f (x)在a b上可積定理2 設(shè)f (x)在區(qū)間a b上有界且只有有限個(gè)間斷點(diǎn)則f (x)在a b 上可積定積分的幾何意義12高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分在區(qū)間a b上當(dāng)f(x)b0時(shí)積分af(x)dx在幾何上表示由曲線(x)、兩條直線x a、#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分當(dāng)f (x) 0時(shí)由曲線y f (x)、兩條直線x a、x b與x定義分在幾何上表示上述曲邊梯形面積的負(fù)值#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分f(x)dxnlim0i

12、 1f( i) xinlim0i 1 f( i) xba f(x)dx#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分當(dāng)f (x)既取得正值又取得負(fù)值時(shí)函數(shù)f( X)的圖形某些部分在 x軸的上方 而其它部分在#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分x軸的下方如果我們對面積賦以正負(fù)號在x軸上方的圖形面積賦以正號在x軸下方的圖形面#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分積賦以負(fù)號則在一般情形下定積分b f (x)dx的幾何意義為它是介于x軸、函數(shù)f(x)的圖形a及兩條直線X a、x b之間的各部分面積的代數(shù)和天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室13高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分用定積分

13、的定義計(jì)算定積分11。利用定義計(jì)算定積分 0x2dx把區(qū)間:0 1分成n等份分點(diǎn)為和小區(qū)間長度為1)(in)作積分和f( i)Xi1n3ii211)(2n 1) i(1丄)n因?yàn)樗?；x2dxlim0 f( i) x0i 11 1 1nim 6(1 n)(2 和14高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分利定積分的幾何意義求積分:例2用定積分的幾何意義求10(1 x)dx#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分為底的曲邊梯形其底邊長及高均10°x)dx以區(qū)間0解：函數(shù)y 1 x在區(qū)間0 1 上的定積分是以y 1 x為曲邊的面積 因?yàn)橐詙 1 x為曲邊 以區(qū)間0

14、1為底的曲邊梯形是一直角三角形 為1所以#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分三、定積分的性質(zhì)兩點(diǎn)規(guī)定r, b(1 )當(dāng) a b 時(shí) af (x)dx 0a(2)當(dāng) a b 時(shí) :f (x)dx ： f (x)dx性質(zhì)1函數(shù)的和（差）的定積分等于它們的定積分的和（差）即15高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分bbbaf(x) g(x)dx af(x)dx ag(x)dx#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分證明：f(x) g(x)dxn叫i1f(i) g(i)x#高等數(shù)學(xué)教案

15、第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分nnli叫f( i) x li叫 g( i) x0 i 10 i 1f(x)dxbag(x)dx#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分性質(zhì)2被積函數(shù)的常數(shù)因子可以提到積分號外面即bba kf (x)dx k a f(x)dx這是因?yàn)閎akf(x)dxnlim kf( i) x°i 1klim f( i) xi°i 1bk a f (x)dx性質(zhì)如果將積分區(qū)間分成兩部分 和即則在整個(gè)區(qū)間上的定積分等于這兩部分區(qū)間上定積分之#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室

16、#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分f(x)dxaf(x)dxf(x)dx這個(gè)性質(zhì)表明定積分對于積分區(qū)間具有可加性值得注意的是不論a b c的相對位置如何總有等式bcba f(x)dx af(x)dx c f(x)dx成立例如當(dāng)a < b < c時(shí)由于f(x)dxba f(x)dxcb f (x)dx16高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分于是有f(x)dxca f(x)dxcbf(x)dxaf(x)dxf(x)dx#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分性質(zhì)4如果在區(qū)間a b上f(x)1則b1dxabdx b aa性質(zhì)5如果在區(qū)間a b:上 f (x) 0貝Uba

17、 f(x)dx 0 (a b)推論1如果在區(qū)間a b:上 f (x) g (x)則f(x)dxbag(x)dx(a b)這是因?yàn)間 (x)f (x)0從而bbbag(x)dx af(x)dx 玄3&) f(x)dx 0天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分17高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分所以f(x)dxbag(x)dx#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分bb推論 2 |af(x)dx| a|f(x)|dx (a b)這是因?yàn)閨f (x)| f (x) |f (x)|所以bbba|f(x)|dx a f (x)dx 玄1)小bb即| a

18、 f(x)dx| a|f(x)|dx|性質(zhì)6設(shè)M及m分別是函數(shù)f (x)在區(qū)間a b上的最大值及最小值則bm(b a)f (x)dx M (b a) (a b)a證明 因?yàn)閙 f (x) M 所以bbbamdx a f(x)dx aMdx從而bm(b a) a f (x)dx M (b a)性質(zhì)7(定積分中值定理)如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a b上連續(xù)則在積分區(qū)間a b上至少存在一個(gè)點(diǎn)使下式成立ba f(x)dx f( )(b a)這個(gè)公式叫做積分中值公式證明由性質(zhì)6天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室bm(b a) f(x)dx M (b a)a各項(xiàng)除以b a得1 b m f

19、 (x)dx M b a a再由連續(xù)函數(shù)的介值定理在a b上至少存在一點(diǎn)1 bf()池 a f (x)dxb a a于是兩端乘以b a得中值公式f (x)dx f ( )(b a)積分中值公式的幾何解釋應(yīng)注意 不論a < b還是a> b積分中值公式都成立天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室19高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室§5 2微積分基本公式一、變速直線運(yùn)動(dòng)中位置函數(shù)與速度函數(shù)之間的聯(lián)系設(shè)物體從某定點(diǎn)開始作直線運(yùn)動(dòng)在t時(shí)刻所經(jīng)過的路程為S(t) 速度為v v(t)S ( t)(v(t) 0)則在時(shí)間間隔Ti

20、T2內(nèi)物體所經(jīng)過的路程S可表示為T2S(T2)S(Ti)及 T v(t)dt即T2v(t)dt S(T2) S(T1)T1上式表明速度函數(shù)v (t)在區(qū)間TiT2上的定積分等于 v (t)的原函數(shù)S(t)在區(qū)間TiT2上的增量這個(gè)特殊問題中得出的關(guān)系是否具有普遍意義呢？二、積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上連續(xù) 并且設(shè)x為a b上的一點(diǎn) 我們把函數(shù)f(x)在部分區(qū)間a x 上的定積分xaf(x)dx稱為積分上限的函數(shù)它是區(qū)間a b上的函數(shù)記為xx(x) a f(x)dx 或(x)a f(t)dt定理1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a b上連續(xù) 則函數(shù)x(x) af(x)dx在】a b 上

21、具有導(dǎo)數(shù)并且它的導(dǎo)數(shù)為天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室21高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分(X)xdx a f (t)dt f (x) (a x<b)22高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分簡要證明若(a b)取 x使 x x(a b)(XX) (X)X Xa f(t)dtXa f(t)dt#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分Xaf(艸Xaf(t)dtX Xxf(t)dt f( ) x應(yīng)用積分中值定理有 f (#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分其中在x與xx之間 x 0時(shí)#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分(X)

22、limlim f()x 0 X X 0lim f()Xf(x)x> 0則同理可證(x )f (a)若 x b 取x 0則同理可證 (x)f ( b)定理2如果函數(shù)f (x)在區(qū)間:a b上連續(xù)則函數(shù)#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分另一方面初步地揭示了積分學(xué)上的一個(gè)原函數(shù)則X(X)a f(x)dx就是f (x)在a b上的一個(gè)原函數(shù)定理的重要意義一方面肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的 中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系三、牛頓萊布尼茨公式定理3如果函數(shù)F (x)是連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間a bbaf(x)dx F(b) F(a)天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室

23、23高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分24高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分此公式稱為牛頓萊布尼茨公式也稱為微積分基本公式這是因?yàn)镕(x)和(x)Xa f (t)dt都是f (x)的原函數(shù)所以存在常數(shù)CF（ x）(x)（C為某一常數(shù)）由 F(a)(a)C 及(a)0 得 C F(a) F (x)(x) F(a)由 F(b)（b） F（a）得（b） F（ b） F（ a）即證明也是所以baf(x)dx F(b)F(a)已知函數(shù)F（x）是連續(xù)函數(shù)f（x）的一個(gè)原函數(shù)又根據(jù)定理2積分上限函數(shù)x(x) af(t)dtf（ x）的一個(gè)原函數(shù)于是有一常數(shù)CF( x) ( x) C ( aa 時(shí)有 F (a) (a) C(b)

24、 F(b) F(a)x b)而（a） 0所以C F(a)當(dāng) x b 時(shí) F (b)(b) F(a)baf(x)dxF(b)F(a)為了方便起見可把F( b)F（a）記成F（x）】abaf(x)dxF(x)a F(b) F(a)進(jìn)一步揭示了定積分與被積函數(shù)的原函數(shù)或不定積分之間的聯(lián)系天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室25高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分1 o例1.計(jì)算0x2dx解由于3x3是x2的一個(gè)原函數(shù)所以30x2dx 冬30 113 103 10L3333例2計(jì)算3 dx1 1 x2解由于arctan x是宀的一個(gè)原函數(shù)所以dx1 1 x2arcta nx 1arctan、. 3

25、 arctan( 1)11例3.計(jì)算2dx2x“ 11 1解 dx In |x| 2 In 1 In 2 In 2 2x例4.計(jì)算正弦曲線y sin x在0上與x軸所圍成的平面圖形的面積解這圖形是曲邊梯形的一個(gè)特例它的面積A 0 sin xdx cosx0（ 1） （ 1） 2例5。汽車以每小時(shí)36km速度行駛到某處需要減速停車設(shè)汽車以等加速度 a 5m/s2剎車問從開始剎車到停車汽車走了多少距離？解 從開始剎車到停車所需的時(shí)間當(dāng)t 0時(shí)汽車速度天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室36 1000 vo 36km/hm/s 10m/s3600剎車后t時(shí)刻汽車的速度為v(t) v0

26、 at 10 5t當(dāng)汽車停止時(shí)速度v(t) 0從v( t)10 5t 0得 t 2( s)于是從開始剎車到停車汽車所走過的距離為s :v(t)dt：(10 5t)dt 10t 5*t20 10 (m)即在剎車后汽車需走過10m才能停住27高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分例6。設(shè)f(x)在0,)內(nèi)連續(xù)且f (x)> 0證明函數(shù)f(x)X0tf(t)dtf(t)dt#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分在(0)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)證明dX0Xtf(t)dt Xf(X)dX 0Xf(t)dtf(x)故F(x)Xf(x)0 f(t)dt f(x) 0tf(t)dtXf

27、 (X) 0 (X t)f(t)dt(0Xf(t)dt)2按假設(shè)當(dāng)0 t X時(shí)f (t )> 0 (X t) f (t)0 所以XX0f(t)dt 00(x t)f dt 0從而F (x) >0(x> 0)這就證明了 F ( x)在(0)內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分例7.求limx 01ecosx2dt解 這是一個(gè)零比零型未定式由羅必達(dá)法則12COS X 2e t dt “ e t dt lim cosx 2 lim X 0 x2 x 0x2limx 0sin xe co"x2x12e提示設(shè) （x）1

28、 et dt 則cosx t2(cosx) 1 e dt28高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分dxrxet2dtdx(cosx)dU(u)dleu2(sinx) s.x e cos2x天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分5 3定積分的換元法和分部積分法一、換元積分法定理假設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間a b上連續(xù)函數(shù)x(t)滿足條件(1)( ) a ( ) b(2) (t)在(或 )上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且其值域不越出a b29高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分則有f(x)dxf (t) (t)dt#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分30高等數(shù)學(xué)

29、教案第五章定積分這個(gè)公式叫做定積分的換元公式天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分證明由假設(shè)知f(x)在區(qū)間a b上是連續(xù)因而是可積的(t)在區(qū)間31高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分)上也是連續(xù)的因而是可積的假設(shè)F (x)是f (x)的一個(gè)原函數(shù) 則baf(x)dx F (b) F(a)另一方面因?yàn)?F : (t) F (t)(t) (t)的一個(gè)原函數(shù)從而(t)f :(t) (t)所以 F (t):是 f f (t)dt F :()F ( )F (b) F (a)因此 bf(x)dx f (t) (t)dta例 1 計(jì)算a2 x2dx (a>0)0 2 x

30、2dxt "costacostdt_ _2 _a2 02cos2 tdt "2 02 (1 cos2t)dt云t -sin2t0 - a22 l 20 4提示 、a2 x2 v a2 a2sin2t a cost dx a cos t例 2 計(jì)算 02 cos5xsinxdx解令t cos x則2 cos5 xs in xdx2 cos5 xd cosxo0天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分令 cosx t5dt10t5dt 訥0 舌32高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分-時(shí)to提示當(dāng)x#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#

31、高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分cos5xs in xdx02 cos5xdcosxfcos6 刈 0icos6i 6cos6°#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分例3計(jì)算0 '、sinx sin5 xdx#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分33高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分解 0 ,sin3x sin5 xdx30 sin2 x|cosx|dx#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分_3sin2 xcosxdx3sin2 xcosxdx2#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分3sin 2xd sinx2#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分2

32、 5 2護(hù)2x0 -in2x. 3提示 、,sin3x sin5x sin3x(1 sin2 x) sin2 x|cosx|cos x在0, 上 | cos x| cos x 在,上 I cos x I例0 sin2 xdsin x計(jì)算：著1dx#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分34高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分解。4；x2嚴(yán)令2x1t13 2tdt 寸,2 3)dt天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分2導(dǎo) 3t： 1(27 9)(3 3) 22提示t 0 xf(sinx)dx ix 2 dx tdt 當(dāng) x 0 時(shí) t 1 當(dāng) x 4 時(shí) t 3f (x)dx 2

33、f (x)dx例5證明 若f (x)在a a上連續(xù)且為偶函數(shù)則35高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分36高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分a0a證明因?yàn)?af(x)dx a f(x)dx 0 f(x)dxf(x)dx 令Joaf(at)dt 0 f( t)dtf( x)dx#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分所以f(x)dx 0 f( x)dx 0 f (x)dx0 0f(x)f(x)dxaaa2f(x)dx 2 0 f (x)dx#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分討論若f( x)在a a上連續(xù)且為奇函數(shù)、 a冋 a f (x)dx ?#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五

34、章定積分提示 若f(x)為奇函數(shù)則f ( x) f (x)0從而f (x)dxf( x) f(x)dx 0#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分例6若f (x)在0 1 上連續(xù)證明(1) 02 f (sinx)dx 02 f (cosx)dx#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分2 0 f (sinx)dx#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分37高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分所以證明 (1 )令xJ f (sin x)dx02 fsi nq(2)令x t則0 xf(sin x)d

35、x0叫t)dtt)dt0 ( t)fsin(0 f(sint)dt0 f (sin x)dx0 xf (sin x)dx例7設(shè)函數(shù)f(x)解設(shè)x 2 t則4,f(x 2)dx02 f (cosx)dxt)fs in(t)dtt)dt 0( t) f (si nt)dt0 tf (sint)dt0 xf(sin x)dx2 0 f(sinx)dxx2xe11 cosx2,f (t)dt4計(jì)算 1 f(x 2)dx01 1 cost2 t2dt 0te t dt1tan2 1 2e 1 0 tan2t-°t2-2天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室38高等數(shù)學(xué)教案第五章定

36、積分提示 設(shè)x 2 t則dx dt當(dāng)x 1時(shí)t 1當(dāng)x 4時(shí)t 2、分部積分法設(shè)函數(shù)u (x)、v(x)在區(qū)間a b上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) u(x)、v (x)由(uv)式兩端在區(qū)間a b 上積分得buvdxauv】abbbu vdx 或 udv uva aabvdua39高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分這就是定積分的分部積分公式分部積分過程bbbuvdx udv uva aab. bvdu uvau vdxaa1例 1 計(jì)算 2 arcs in xdxo丄1 丄解 02arcs in xdx xarcsi nx】2 Fxdarcs inx丄 _02 j x dx2 60 ,1 x2

37、-02_ d(1 x2)1220 d x2 k丿 1廠1 x2f 3 112 0 12 2例2計(jì)算0exdx解令t則天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室1 ?x1 te xdx 2 ne?tdtooi t2otdett i i t2昭° 2。2e 2et0 2例3設(shè)In2sinnxdx證明(1 )當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)In(2 )當(dāng)n為大于1的正奇數(shù)時(shí)In40高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分證明 Insinnxdx話sinn 1 xd cosxcos xsinn 1 x 0jcosxdsi nn1x#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分(n 1

38、) 02 cos2 xs inn 2 xdx (n 1) j(si nn 2x sin nx)dx (n 1) 02 sinn 2xdx (n 1) 02sinnxdx(n 1)I n 2 (n 1)I n由此得Un2n天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室12m 12m 3 2m 53 1lc1加2m2m 2 2m 44 201d2m2m 2 2m 442i1"2m 12m1 2m 1 2m 353 1而Iojdx I1空 si nxdx 10 20因此I2m 12m 3 2m 53 1I2m2m2m 2 2m 44 22I2m2m 2 2m 442!2m 12m1

39、2m 1 2m 353例3設(shè)In 02sinnxdx (n為正整數(shù)) 證明I2m2m 1 2m 32m 2m 22m 5 31 _2m 4 4 2 22m 2m 2 2m 4 4 22m 1 2m 1 2m 3 5 3證明 In02sinnxdx02sinn 1 xd cosxcosxsinn 1x(2 (n 1)jcos2xsinn 2xdx(n 1) 02(sinn 2x sinnx)dx (n 1) 02sinn 2xdx (n 1) 02sinnxdx(n 1)I n 2(n 1)I n天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室由此得In罟人2l2ml2m 12m 1 2m

40、3 2m 5 3 1 l2m 2m 2 2m 4 4 2 02m 2m 2 2m 4 4 2 |2m 1 2m 1 2m 3 5 3 1特別地 l0 jdx $ l102sinxdx 1因此 .2m 1 2m 3 2m 5 3 1_2m 2m 2m 2 2m 4 4 2 22m 2m 2 2m 4 4 22m 1 2m 1 2m 3 5 3天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室43高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室§5 4反常積分、無窮限的反常積分定義1設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間a )上連續(xù) 取b> a 如果極限limbbaf

41、(x)dx存在 則稱此極限為函數(shù)f (x)在無窮區(qū)間a上的反常積分記作af(x)dx 即a f(x)dxblimbaf(x)dx45高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分這時(shí)也稱反常積分 _ f (x)dx收斂如果上述極限不存在函數(shù)f ( x)在無窮區(qū)間a )上的反常積分a f(x)dx就沒有意義#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分此時(shí)稱反常積分f(x)dx發(fā)散類似地設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(如果極限#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分bz z .lim f (x)dx ( a b)a a存在 則稱此極限為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間( b 上的反常積分記作f

42、 (x)dx 即b f(x)dx lim b f (x)dxaa這時(shí)也稱反常積分b f(x)dx收斂如果上述極限不存在則稱反常積分b f(x)dx 發(fā)散天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間()上連續(xù)如果反常積分f (x)dx 和f (x)dx都收斂則稱上述兩個(gè)反常積分的和為函數(shù)f(x)在無窮區(qū)間()上的反常積分記作f(x)dx 即f(x)dx0f (x)dx o f (x)dx46高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分0blim f (x)dx lim n f (x)dxa ab 0這時(shí)也稱反常積分f (x)dx收斂如果

43、上式右端有一個(gè)反常積分發(fā)散則稱反常積分 f (x)dx發(fā)散定義1連續(xù)函數(shù)f (x)在區(qū)間a)上的反常積分定義為#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分f(x)dx lim bf(x)dxab a在反常積分的定義式中如果極限存在則稱此反常積分收斂否則稱此反常積分發(fā)散)上的反常積分定義為類似地 連續(xù)函數(shù)f (X)在區(qū)間(b上和在區(qū)間(bbf(x)dx lim a f (x)dxf (x)dx lima0f (x)dx limabb0 f (x)dx反常積分的計(jì)算如果F (x)是f (x)的原函數(shù) 則#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分° f (x)dx lim

44、ab.a f (x)dx Jim F(x)?天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室lim F(b) F(a)limF(x)F(a)bx可采用如下簡記形式a f(x)dxF(x)alimxF(x)F(a)類似地b f (x)dxF(x)bF(b)limxF(x)f(x)dxF(x)limxF(x)lim F(x)x例1計(jì)算反常積分己2dx解dx arctan x1 x2 lim arctanx lim arctanxxx例2計(jì)算反常積分0 te ptdt（p是常數(shù)且p> 0）解 0 te ptdt te ptdtoitde pt0-te pt - e ptdt0 p p抿 pt 扶 pto嚴(yán)pt天津工業(yè)大學(xué)理學(xué)院基礎(chǔ)數(shù)學(xué)系高等數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)教研室提示問te Pt tlim舊tlim為0例3討論反常積分丄dx （ a> 0）的斂散性a xPP<1時(shí)aP1時(shí)a 訐dxa 2dx訐dx 七X1Pax> 吒x1 Pa因此當(dāng)P> 1時(shí)此反常積分收斂In xaa1 pP 1其值為1 P詁 當(dāng)P 1時(shí)此反常積分發(fā)散48高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分#高等數(shù)學(xué)教案第五章定積分二、無界函數(shù)的反常積分定義2 設(shè)函數(shù)f （x）在區(qū)間（a b上連續(xù)而在點(diǎn)a的右鄰域內(nèi)無