復(fù)數(shù)的運(yùn)算說課稿

1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算說課稿 林萍萍 2012-10-21一、說教材（一）教材的地位與作用：1、依據(jù)新大綱及教材分析，復(fù)數(shù)四則運(yùn)算是本章知識的重點(diǎn)。2、新教材降低了對復(fù)數(shù)的要求，只要求學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的代數(shù)形式及幾何意義，加減乘除運(yùn)算及加減的幾何意義。因此，復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是重點(diǎn)，在教學(xué)中要注意與實(shí)數(shù)運(yùn)算法則和性質(zhì)的比較，多采用類比的學(xué)習(xí)方法，在復(fù)數(shù)的概念和復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算的教學(xué)中，應(yīng)避免煩瑣的計(jì)算，多利用復(fù)數(shù)的概念解決問題。 3、將實(shí)數(shù)的運(yùn)算通性、通法擴(kuò)充到復(fù)數(shù)，是對數(shù)學(xué)知識的一種創(chuàng)新，有利培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新精神。（二）學(xué)情分析：1、學(xué)生以了解復(fù)數(shù)的概念與定義以及復(fù)數(shù)在數(shù)域內(nèi)的地位。2

2、、學(xué)生知識經(jīng)驗(yàn)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)較為豐富，以具有類比知識點(diǎn)的學(xué)習(xí)方法。3、學(xué)生思維活潑，積極性高，已初步形成對數(shù)學(xué)問題的合作探究能力。4、學(xué)生層次參差不齊，個體差異比較明顯。（三）教學(xué)目標(biāo)：1、知識目標(biāo)：掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減、乘、除、乘方運(yùn)算法則。2、能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)算的能力。3、情感、價值觀目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，勇于創(chuàng)新的精神。（四）教學(xué)重點(diǎn)：復(fù)數(shù)的概念，復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算是重點(diǎn)（五）教學(xué)難點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘、除法法則。教學(xué)方法：（六）啟發(fā)式教學(xué)法關(guān)鍵：掌握復(fù)數(shù)加法、減法的定義和復(fù)數(shù)相等定義的運(yùn)用。二、說教法： 1、本節(jié)課通過復(fù)習(xí)整式的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的運(yùn)算，通過類比思想體會整式的運(yùn)算與復(fù)數(shù)的

3、運(yùn)算的共性，使學(xué)生體會其中的思想方法，培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的能力。 2、例題的學(xué)習(xí)，使學(xué)生在學(xué)會復(fù)數(shù)運(yùn)算的基礎(chǔ)上歸納計(jì)算方法，提高運(yùn)算能力，歸納、概括能力。三、說學(xué)法： 1、復(fù)習(xí)已學(xué)知識，為本節(jié)課學(xué)習(xí)作鋪墊。通過對數(shù)系學(xué)習(xí)的回憶，引出課題，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)動機(jī)。 2、讓學(xué)生板演運(yùn)算法則，有利于培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力和主動實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)目標(biāo)。 3、通過例題學(xué)會復(fù)數(shù)的運(yùn)算，歸納運(yùn)算簡便方法。培養(yǎng)學(xué)生歸納問題、轉(zhuǎn)化問題的努力。四、說課過程：（一）、復(fù)習(xí)提問：1、1.虛數(shù)單位:(1)它的平方等于-1，即; (2)實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時，原有加、乘運(yùn)算律仍然成立2、與1的關(guān)系:

4、就是1的一個平方根，即方程x2=1的一個根，方程x2=1的另一個根是3、復(fù)數(shù)的概念：形如a+bi(a，bR)叫做復(fù)數(shù)，a，b分別叫做它的實(shí)部和虛部。4、復(fù)數(shù)的分類：復(fù)數(shù)a+bi(a，bR)，當(dāng)b=0時，就是實(shí)數(shù);當(dāng)b0時，叫做虛數(shù);當(dāng)a=0，b0時，叫做純虛數(shù);5、復(fù)數(shù)Z1=a1+b1i與Z2=a2+b2i 相等的充要條件是a1=a2，b1=b2。6、復(fù)數(shù)的分類：虛數(shù)不能比較大小，只有等與不等。即使是 也沒有大小。7、復(fù)數(shù)的模：若向量表示復(fù)數(shù)z，則稱的模r為復(fù)數(shù)z的模， ；積或商的?？衫媚５男再|(zhì)（1），（2）8、復(fù)平面、實(shí)軸、虛軸：點(diǎn)Z的橫坐標(biāo)是a，縱坐標(biāo)是b，復(fù)數(shù)z=a+bi(a、bR)可

5、用點(diǎn)Z(a，b)表示，這個建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，也叫高斯平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù) 對于虛軸上的點(diǎn)要除原點(diǎn)外，因?yàn)樵c(diǎn)對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對為(0，0)， 它所確定的復(fù)數(shù)是z=0+0i=0表示是實(shí)數(shù).故除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)復(fù)數(shù)集C和復(fù)平面內(nèi)所有的點(diǎn)所成的集合是一一對應(yīng)關(guān)系，即復(fù)數(shù)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)（二）類比代數(shù)式，引入復(fù)數(shù)運(yùn)算：一、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算類似根據(jù)代數(shù)式的加減法，則復(fù)數(shù)z1與z2的和：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i. 復(fù)數(shù)z1與z2的差：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d

6、)i. 二、復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律和結(jié)合律1、復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律: z1+z2=z2+z1.證明：設(shè)z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1，b1，a2，b2R).z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i.z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i.又a1+a2=a2+a1，b1+b2=b2+b1.z1+z2=z2+z1.即復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足交換律.2、 復(fù)數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)證明：設(shè)z1=a1+b1i.z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a

7、3，b1，b2，b3R).(z1+z2)+z3=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+a2)+(b1+b2)i+(a3+b3)i=(a1+a2)+a3+(b1+b2)+b3i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i.z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)+(a2+a3)+(b2+b3)i=a1+(a2+a3)+b1+(b2+b3)i=(a1+a2+a3)+(b1+b2+b3)i(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)，(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3).(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).即復(fù)

8、數(shù)的加法運(yùn)算滿足結(jié)合律三、復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加減運(yùn)算的幾何意義復(fù)數(shù)的加(減)法 (a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i. 與多項(xiàng)式加(減)法是類似的.就是把復(fù)數(shù)的實(shí)部與實(shí)部，虛部與虛部分別相加(減). 復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)平面向量2. 復(fù)數(shù)平面向量3.復(fù)數(shù)加法的幾何意義：設(shè)復(fù)數(shù)z1=a+bi，z2=c+di，在復(fù)平面上所對應(yīng)的向量為、，即、的坐標(biāo)形式為=(a，b)，=(c，d)以、為鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2，則對角線OZ對應(yīng)的向量是，= +=(a，b)+(c，d)=(a+c，b+d)(a+c)+(b+d)i4. 復(fù)數(shù)減法的幾何意義：復(fù)數(shù)減法是加法的逆運(yùn)算，設(shè)z=(ac)+(bd)i，所以zz1

9、=z2，z2+z1=z，由復(fù)數(shù)加法幾何意義，以為一條對角線，為一條邊畫平行四邊形，那么這個平行四邊形的另一邊OZ2所表示的向量就與復(fù)數(shù)zz1的差(ac)+(bd)i對應(yīng)由于，所以，兩個復(fù)數(shù)的差zz1與連接這兩個向量終點(diǎn)并指向被減數(shù)的向量對應(yīng).講解范例：例1計(jì)算：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)解：(5-6i)+(-2-i)-(3+4i)(5-2-3)+(-6-1-4) i=11 i例2計(jì)算：(12i)+(2+3i)+(34i)+(4+5i)+(2002+2003i)+(20032004i)解法一：原式=(12+34+2002+2003)+(2+34+5+20032004i)=(2003

10、1001)+(10012004)i=10021003i.解法二：(12i)+(2+3i)=1+i， (34i)+(4+5i)=1+i，(20012002i)+(2002+2003)i=1+i.相加得(共有1001個式子)：原式=1001(1+i)+(20032004i)=(20031001)+(10012004)i=10021003i例3已知復(fù)數(shù)z1=2+i，z2=1+2i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B，求對應(yīng)的復(fù)數(shù)z，z在平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限？解：z=z2z1=(1+2i)(2+i)=1+i，z的實(shí)部a=10，虛部b=10，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限內(nèi).點(diǎn)評：任何向量所對應(yīng)的復(fù)

11、數(shù)，總是這個向量的終點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)減去始點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)所得的差.即所表示的復(fù)數(shù)是zBzA.，而所表示的復(fù)數(shù)是zAzB，故切不可把被減數(shù)與減數(shù)搞錯盡管向量的位置可以不同，只要它們的終點(diǎn)與始點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)的差相同，那么向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是惟一的，因此我們將復(fù)平面上的向量稱之自由向量，即它只與其方向和長度有關(guān)，而與位置無關(guān)5、復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算：復(fù)數(shù)的乘法：z1z2= (a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i. 復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律和分配律。實(shí)數(shù)集R中正整數(shù)指數(shù)的運(yùn)算律,在復(fù)數(shù)集C中仍然成立.即對z1,z2,z3C及m,nN*有: zmzn=zm+n, (zm)n=zmn,

12、(z1z2)n=z1nz2n.6、共軛復(fù)數(shù)：若兩個復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而虛部是互為相反數(shù)時，這兩個復(fù)數(shù)叫互為共軛復(fù)數(shù)；特別地，虛部不為0的兩個共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)；，兩共軛復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點(diǎn)或向量關(guān)于實(shí)軸對稱。，7、復(fù)數(shù)的除法：(a+bi)(c+di)= ，分母實(shí)數(shù)化是常規(guī)方法復(fù)數(shù)的運(yùn)算，典型例題精析：例4（1）復(fù)數(shù)等于( ) A.1i B.1+i C.1+ i D.1i解析: 復(fù)數(shù)=，選C（2）若復(fù)數(shù)同時滿足2，（為虛數(shù)單位），則 解：已知；（3）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足關(guān)系，求z；解：設(shè)z=a+bi（a,b為實(shí)數(shù)），由已知可得由復(fù)數(shù)相等可得：，解得，所以設(shè)z=a+bi-x+yi（a,b為實(shí)數(shù)）復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化

13、。（4）若，解方程解：設(shè)x=a+bi (a,bR)代入條件得:,由復(fù)數(shù)相等的定義可得： ,a=4，b=3，x=4+3i。例4：(1)復(fù)數(shù)z滿足，則z對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)表示的圖形為（A）A直線 B圓 C橢圓 D拋物線解：令z=x+yi（x，yR），則x2+(y+1)2x2+(y1)2=1，y=1/4。故選A。8. 復(fù)數(shù)的代數(shù)式運(yùn)算技巧：（1）i的周期性：i4=1，所以，i4n+1=i, i4n+2=-1, i4n+3=-i, i4n=1（2） （3）“1”的立方根的性質(zhì)： 擴(kuò)充知識：9、特別地， zBzA.，為兩點(diǎn)間的距離。z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是線段的垂直平分線；， z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是一個圓；， z

14、對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是一個橢圓；， z對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是雙曲線。10、顯然有公式：11、實(shí)系數(shù)一元二次方程的根問題：（1）當(dāng)時，方程有兩個實(shí)根 。（2）當(dāng)時，方程有兩個共軛虛根，其中 。此時有 且。注意兩種題型： 虛系數(shù)一元二次方程有實(shí)根問題：不能用判別式法，一般用兩個復(fù)數(shù)相等求解。但仍然適用韋達(dá)定理。已知是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個根，求的方法：（1）當(dāng)時，(2)當(dāng)時， 已知是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個根，求的方法：（1）當(dāng)時，即，則 即，則 （2）當(dāng)時，例6（1）計(jì)算： 答案：（2）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足：，求|z|的最大值與最小值；解：|z|的最大值為，最小值為；（3）若，解方程解：設(shè)x=a+bi (a,bR)代入條件得:,由復(fù)數(shù)相等的定義可得： ,a=4，b=3，x=4+3i。(4)設(shè)，則復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的圖形面積為_。解：|u|=|1+i|=|z|，|u|2，故面積S=?！舅季S點(diǎn)撥】復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化是處理復(fù)數(shù)問題的常用方法。例4：已知z=1+i，a，b為實(shí)數(shù)，(1)若=z2+34,求|; (2)若，求a，b的值。