大學(xué)一年級高數(shù)期末考試題及答案

1、第一學(xué)期高等數(shù)學(xué)期末考試試卷答案一計(jì)算題（本題滿分35分，共有5道小題，每道小題7分）， 1求極限 解： 2設(shè)時，與是等價無窮小，與等價無窮小，求常數(shù)與 解： 由于當(dāng)時，與等價無窮小，所以而 所以，因此， 3如果不定積分中不含有對數(shù)函數(shù)，求常數(shù)與應(yīng)滿足的條件 解： 將化為部分分式，有 ，因此不定積分中不含有對數(shù)函數(shù)的充分必要條件是上式中的待定系數(shù)即所以，有比較上式兩端的系數(shù)，有所以，得 5計(jì)算定積分 解： 所以， 5設(shè)曲線的極坐標(biāo)方程為，求曲線的全長 解： 曲線一周的定義域?yàn)?，即因此曲線的全長為 二（本題滿分45分，共有5道小題，每道小題9分）， 6求出函數(shù)的所有間斷點(diǎn)，并指出這些間斷點(diǎn)的類型

2、 解： 因此與是函數(shù)的間斷點(diǎn) ，因此是函數(shù)的第一類可去型間斷點(diǎn) ，因此是函數(shù)的第一類可去型間斷點(diǎn) 7設(shè)是函數(shù)在區(qū)間上使用Lagrange（拉格朗日）中值定理中的“中值”，求極限 解： 在區(qū)間上應(yīng)用Lagrange中值定理，知存在，使得所以，因此， 令，則有 所以， 8設(shè)，求 解： 在方程中，令，得 再在方程兩端對求導(dǎo)，得，因此， 9研究方程在區(qū)間內(nèi)實(shí)根的個數(shù) 解： 設(shè)函數(shù)， 令，得函數(shù)的駐點(diǎn)由于，所以 ， 因此，得函數(shù)的性態(tài) 若，即時，函數(shù)在、內(nèi)各有一個零點(diǎn)，即方程在內(nèi)有3個實(shí)根 若，即時，函數(shù)在、內(nèi)各有一個零點(diǎn)，即方程在內(nèi)有2個實(shí)根 若，即時，函數(shù)在有一個零點(diǎn)，即方程在內(nèi)有1個實(shí)根 10設(shè)函

3、數(shù)可導(dǎo)，且滿足，試求函數(shù)的極值 解： 在方程中令，得，即在方程組中消去，得積分，注意，得即 由得函數(shù)的駐點(diǎn)而所以， ，所以，是函數(shù)極小值；是函數(shù)極大值三應(yīng)用題與證明題（本題滿分20分，共有2道小題，每道小題10分）， 11求曲線的一條切線，使得該曲線與切線及直線和所圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積為最小 解： 設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，可知曲線在處的切線方程為，或因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為 所以，得駐點(diǎn)，舍去由于 ，因而函數(shù)在處達(dá)到極小值，而且也是最小值因此所求切線方程為 12設(shè)函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，且，證明：至少存在一點(diǎn)，使得 解： 因?yàn)樵陂]區(qū)間上連續(xù)，所以由積分中值定理，知存在，使得由于，所以，再由，得作函數(shù)，則函數(shù)