?？紗栴}4 導數(shù)的簡單應用

1、?？紗栴}4導數(shù)的簡單應用真題感悟1(2013·福建卷)設函數(shù)f(x)的定義域為R，x0(x00)是f(x)的極大值點，以下結論一定正確的是()AxR，f(x)f(x0)Bx0是f(x)的極小值點Cx0是f(x)的極小值點Dx0是f(x)的極小值點解析A錯，因為極大值未必是最大值；B錯，因為函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關于y軸對稱，x0應是f(x)的極大值點；C錯，函數(shù)yf(x)與函數(shù)yf(x)的圖象關于x軸對稱，x0應為f(x)的極小值點；D正確，函數(shù)yf(x)與yf(x)的圖象關于原點對稱，x0應為yf(x)的極小值點答案D2(2013·浙江卷)已知e為自然對數(shù)的

2、底數(shù)，設函數(shù)f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，則()A當k1時，f(x)在x1處取到極小值B當k1時，f(x)在x1處取到極大值C當k2時，f(x)在x1處取到極小值D當k2時，f(x)在x1處取到極大值解析當k1時，f(x)ex·x1，f(1)0，f(1)不是極值，故A，B錯；當k2時，f(x)(x1)(xexex2)，顯然f(1)0，且x在1的左側附近f(x)<0，x在1的右側附近f(x)>0，f(x)在x1處取到極小值故選C.答案C3(2013·廣東卷)若曲線ykxln x在點(1，k)處的切線平行于x軸，則k_.解析yk，y|x1k10，k1.答

3、案14(2013·江西卷)設函數(shù)f(x)在(0，)內可導，且f(ex)xex，則f(1)_.解析設ext，則xln t(t>0)，f(t)ln tt，f(t)1，f(1)2.答案25(2013·新課標全國卷)若函數(shù)f(x)(1x2)(x2axb)的圖象關于直線x2對稱，則f(x)的最大值是_解析由題意知即解得a8，b15，所以f(x)(1x2)(x28x15)，則f(x)4(x2)(x24x1)令f(x)0，得x2或x2或x2，當x<2時，f(x)>0；當2<x<2時，f(x)<0；當2<x<2時，f(x)>0；當x&g

4、t;2時，f(x)<0，所以當x2時，f(x)極大值16；當x2時，f(x)極大值16，所以函數(shù)f(x)的最大值為16.答案16考題分析題型選擇題、填空題、解答題難度低檔對導數(shù)幾何意義的考查中檔考查函數(shù)的極值與最值高檔考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性、極值、最值(說明：部分省市要求的低)1導數(shù)的幾何意義(1)函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)f(x0)就是曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線的斜率，即kf(x0)(2)曲線yf(x)在點(x0，f(x0)處的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)2基本初等函數(shù)的導數(shù)公式和運算法則(1)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式原函數(shù)導函數(shù)f(x)cf(x

5、)0f(x)xn(nR)f(x)nxn1續(xù)表f(x)sin xf(x)cos xf(x)cos xf(x)sin xf(x)ax(a0且a1)f(x)axln af(x)exf(x)exf(x)logax(a0且a1)f(x)f(x)ln xf(x)(2)導數(shù)的四則運算u(x)±v(x)u(x)±v(x)；u(x)v(x)u(x)v(x)u(x)v(x)；(v(x)0)3函數(shù)的單調性與導數(shù)如果已知函數(shù)在某個區(qū)間上單調遞增(減)，則這個函數(shù)的導數(shù)在這個區(qū)間上大(小)于零恒成立在區(qū)間上離散點處導數(shù)等于零，不影響函數(shù)的單調性，如函數(shù)yxsin x .4函數(shù)的導數(shù)與極值對可導函數(shù)而

6、言，某點導數(shù)等于零是函數(shù)在該點取得極值的必要條件例如f(x)x3，雖有f(0)0，但x0不是極值點，因為f(x)0恒成立，f(x)x3在(，)上是單調遞增函數(shù)，無極值5閉區(qū)間上函數(shù)的最值在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)，一定有最大值和最小值，其最大值是區(qū)間的端點處的函數(shù)值和在這個區(qū)間內函數(shù)的所有極大值中的最大者，最小值是區(qū)間端點處的函數(shù)值和在這個區(qū)間內函數(shù)的所有極小值中的最小值6函數(shù)單調性的應用(1)若可導函數(shù)f(x)在(a，b)上單調遞增，則f(x)0在區(qū)間(a，b)上恒成立；(2)若可導函數(shù)f(x)在(a，b)上單調遞減，則f(x)0在區(qū)間(a，b)上恒成立；(3)可導函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上為

7、增函數(shù)是f(x)0的必要不充分條件.熱點一導數(shù)幾何意義與定積分【例1】 (1)已知函數(shù)yf(x)及其導函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則曲線yf(x)在點P(2,0)處的切線方程是_(2)設a0，若曲線y與直線xa，y0所圍成封閉圖形的面積為a2，則a_.解析(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義及圖象可知，曲線yf(x)在點P處的切線的斜率kf(2)1，又切線過點P(2,0)，所以切線方程為xy20.(2)由定積分的幾何意義，曲線y與直線xa，y0所圍成封閉圖形的面積Sdxx|a，aa2，解之得a.答案(1)xy20(2)規(guī)律方法 函數(shù)切線的相關問題的解決，抓住兩個關鍵點：其一，切點是交點；其二，在切點處的

8、導數(shù)是切線的斜率因此，解決此類問題，一般要設出切點，建立關系方程(組)其三，求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異【訓練1】 (1)(2013·長沙第二次診斷)若曲線f(x) ，g(x)xa在點P(1,1)處的切線分別為l1，l2，且l1l2，則a的值為()A2 B2 C. D (2)已知曲線S：yx3x24x及點P(0,0)，則過點P的曲線S的切線方程為_解析(1)由題意可知，f(x)，g(x)axa1，l1，l2過點P(1,1)，kl2f(1)，kl2g(1)a.又l1l2，kl1·kl2a1.a2.(2)設過點P的切線與曲線S切于點Q(x0，y0

9、)，則過點P的曲線S的切線斜率y|xx02x2x04，又kPQ，2x2x04，點Q在曲線S上，y0xx4x0，將代入得2x2x04，化簡，得xx0，x00或x0，若x00，則k4，過點P的切線方程為y4x；若x0，則k，過點P的切線方程為yx.過點P的曲線S的切線方程為y4x或yx.答案(1)A(2)y4x或yx熱點二利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性【例2】 已知函數(shù)f(x)ln xax1，aR.(1)當a1時，求函數(shù)的單調區(qū)間；(2)當0a<時，討論f(x)的單調性解(1)當a1時，f(x)ln xx1，x(0，)，所以f(x)，x(0，)由f(x)0，得x1或x2(舍去)，所以當x(0,1)

10、時，f(x)<0，函數(shù)f(x)單調遞減；當x(1，)時，f(x)>0，函數(shù)f(x)單調遞增故當a1時，函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間為(1，)，單調遞減區(qū)間為(0,1)(2)因為f(x)ln xax1，所以f(x)a，x(0，)令g(x)ax2x1a，x(0，)，當a0時，g(x)x1，x(0，)，當x(0,1)時，g(x)>0，此時f(x)<0，函數(shù)f(x)單調遞減；當x(1，)時，g(x)<0，此時f(x)>0，函數(shù)f(x)單調遞增當0<a<時，由f(x)0，即ax2x1a0，解得x1或1.此時1>1>0，所以當x(0,1)時，g(x

11、)>0，此時f(x)<0，函數(shù)f(x)單調遞減；x時，g(x)<0，此時f(x)>0，函數(shù)f(x)單調遞增；x時，g(x)>0，此時f(x)<0，函數(shù)f(x)單調遞減綜上所述，當a0時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調遞減，在(1，)上單調遞增；當0<a<時，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減規(guī)律方法 討論函數(shù)的單調性其實就是討論不等式的解集的情況大多數(shù)情況下，這類問題可以歸結為一個含有參數(shù)的一元二次不等式的解集的討論，在能夠通過因式分解求出不等式對應方程的根時依據(jù)根的大小進行分類討論，在不能通過因式分解求出根的情況時根

12、據(jù)不等式對應方程的判別式進行分類討論討論函數(shù)的單調性是在函數(shù)的定義域內進行的，千萬不要忽視了定義域的限制【訓練2】 (2013·德州二模)設函數(shù)f(x)x ln x.(1)求函數(shù)f(x)在點M(e，f(e)處的切線方程；(2)設F(x)ax2(a2)xf(x)(a>0)，討論函數(shù)F(x)的單調性解(1)f(x)ln x1(x>0)，則函數(shù)f(x)在點M(e，f(e)處的切線的斜率為f(e)2，又f(e)e，所以切線方程為ye2(xe)，即y2xe.(2)F(x)ax2(a2)xln x1(x>0)，F(xiàn)(x)2ax(a2)(x>0，a>0)，令F(x)0，

13、則x或，當0<a<2，即>時，令F(x)>0，解得0<x<或x>.令F(x)<0，解得<x<.所以F(x)在，上單調遞增，在上單調遞減當a2，即時，F(xiàn)(x)0恒成立，所以F(x)在(0，)上單調遞增當a>2，即<時，同理可得F(x)在，上單調遞增，在上單調遞減熱點三利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值【例3】 已知函數(shù)f(x)x2ln x.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間1，e上的最大值、最小值；(2)求證：在區(qū)間(1，)上，函數(shù)f(x)的圖象在函數(shù)g(x)x3的圖象的下方(1)解當x1，e時，f(x)x>0，所以f(x)在區(qū)間1

14、，e上為增函數(shù)所以當x1時，f(x)取得最小值；當xe時，f(x)取得最大值e21.(2)證明設h(x)g(x)f(x)x3x2ln x，x(1，)，則h(x)2x2x.當x(1，)時，h(x)>0，h(x)在區(qū)間(1，)上為增函數(shù)，所以h(x)>h(1)>0.所以對于x(1，)，g(x)>f(x)成立，即f(x)的圖象在g(x)的圖象的下方規(guī)律方法 (1)函數(shù)在閉區(qū)間上一定存在最值；在開區(qū)間上不一定存在最值，若存在，一定是極值(2)構造新函數(shù)，轉化成研究其單調性，是解決這類題目的常用方法【訓練3】 (2013·福建卷)已知函數(shù)f(x)xaln x(aR)(1

15、)當a2時，求曲線yf(x)在點A(1，f(1)處的切線方程；(2)求函數(shù)f(x)的極值解函數(shù)f(x)的定義域為(0，)，f(x)1.(1)當a2時，f(x)x2ln x，f(x)1(x>0)，因而f(1)1，f(1)1，所以曲線yf(x)在點A(1，f(1)處的切線方程為y1(x1)，即xy20.(2)由f(x)1，x>0知：當a0時，f(x)>0恒成立，所以函數(shù)f(x)為(0，)上的增函數(shù)，函數(shù)f(x)無極值；當a>0時，由f(x)0，解得xa.又當x(0，a)時，f(x)<0；當x(a，)時，f(x)>0，從而函數(shù)f(x)在xa處取得極小值，且極小值為

16、f(a)aaln a，無極大值綜上，當a0時，函數(shù)f(x)無極值；當a>0時，函數(shù)f(x)在xa處取得極小值aaln a，無極大值.失分案例(二)分類討論的思想應用錯誤分類討論思想是一種“化繁為簡、化整為零，分別對待，各個擊破，再化零為整”的思維策略考生對分類討論的思想很難從整體上把握，往往使得解答半途而廢，即使解答了也是漏洞百出分類討論的思想應用錯誤的主要原因是：1.思維過于簡單，只是按一種形式解答；2.分類標準不明確，有重復；3.分類對象模糊不清；4.討論不全面，出現(xiàn)遺漏(建議用時：50分鐘)1函數(shù)f(x)x2ln x的單調遞減區(qū)間為()A(1,1 B(0,1C1，) D(0，)解析

17、由題意知，函數(shù)的定義域為(0，)，又由f(x)x0，解得0<x1，所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為(0,1答案B2(2013·江西卷)若S1x2dx，S2dx，S3exdx，則S1，S2，S3的大小關系為()AS1<S2<S3 BS2<S1<S3CS2<S3<S1 DS3<S2<S1解析S1；S2ln xln 2<ln e1；S3exe2e2.722.74.59，所以S2<S1<S3.答案B3已知函數(shù)yf(x)(xR)的圖象如圖所示，則不等式xf(x)<0的解集為()A.B.C.D.解析xf(x)<0或當x時

18、，f(x)單調遞減，此時f(x)<0.當x(，0)時，f(x)單調遞增，此時f(x)>0.故選B.答案B4已知函數(shù)f(x)x3ax2x2(a>0)的極大值點和極小值點都在區(qū)間(1,1)內，則實數(shù)a的取值范圍是()A(0,2 B(0,2) C，2) D(，2)解析由題意可知f(x)0的兩個不同解都在區(qū)間(1，1)內因為f(x)3x22ax1，所以根據(jù)導函數(shù)圖象可得又a>0，解得<a<2，故選D.答案D5(2013·濰坊模擬)已知函數(shù)yf(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x<0時，不等式f(x)xf(x)<0成立，若a30.3f(30.3)，

19、blog3f(log3)，clog3f，則a，b，c間的大小關系是()Aa>b>c Bc>b>aCc>a>b Da>c>b解析設g(x)xf(x)，則g(x)f(x)xf(x)<0(x<0)，當x<0時，g(x)xf(x)為減函數(shù)又g(x)為偶函數(shù)，當x>0時，g(x)為增函數(shù)1<30.3<2,0<log3<1，log32，g(2)>g(30.3)>g(log3)，即c>a>b.答案C6設P為曲線C：f(x)x2x1上的點，曲線C在點P處的切線斜率的取值范圍是1,3，則點P的

20、縱坐標的取值范圍是_解析設P(x0，y0)，則f(x)2x1.12x013，即0x02.y0f(x0)xx012，x00,2，y03，故點P的縱坐標的取值范圍是.答案7已知函數(shù)f(x)aln xx在區(qū)間2,3上單調遞增，則實數(shù)a的取值范圍是_解析f(x)aln xx.f(x)1.又f(x)在2,3上單調遞增，10在x2,3上恒成立，a(x)max2，a2，)答案2，)8(2013·鹽城調研)若a>0，b>0，且函數(shù)f(x)4x3ax22bx2在x1處有極值，則ab的最大值為_解析依題意知f(x)12x22ax2b，f(1)0，即122a2b0，ab6.又a>0，b&

21、gt;0，ab29，當且僅當ab3時取等號，ab的最大值為9.答案99已知f(x)exax1.(1)求f(x)的單調增區(qū)間；(2)若f(x)在定義域R內單調遞增，求a的取值范圍解(1)f(x)exax1(xR)，f(x)exa.令f(x)0，得exa.當a0時，f(x)>0在R上恒成立；當a>0時，有xln a綜上，當a0時，f(x)的單調增區(qū)間為(，)；當a>0時，f(x)的單調增區(qū)間為(ln a，)(2)由(1)知f(x)exa.f(x)在R上單調遞增，f(x)exa0恒成立，即aex在R上恒成立xR時，ex>0，a0，即a的取值范圍是(，010(2013·西安五校二次聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ax2(2a1)x2ln x，aR.(1)若曲線yf(x)在x1和x3處的切線互相平行，求a的值；(2)求f(x)的單調區(qū)間解f(x)ax(2a1)(x>0)(1)由題意得f(1)f(3)，解