事物的平衡性

1、14題目：討論資金積累、國(guó)民收入與人口增張的關(guān)系。（1） 若國(guó)民平均收入X與按人口平均積累資金Y成正比，說(shuō)明僅當(dāng)總資金積累的相對(duì)增長(zhǎng)率大于人口的相對(duì)增長(zhǎng)率時(shí)，國(guó)民收入才是增長(zhǎng)的。（2） 作出和的示意圖，說(shuō)明二曲線是平衡點(diǎn)，討論它的穩(wěn)定性。（3） 分析人口激增會(huì)引起什么后果。 模型分析：（1） 若資金積累增長(zhǎng)率和人口增長(zhǎng)率由國(guó)民平均確定，一般情況下，和都是升函數(shù)，二曲線交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是平衡點(diǎn)，因?yàn)閤=時(shí)，k=r,=0（2） 該平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性取決于平衡點(diǎn)附近和的增長(zhǎng)速度，若，則平衡點(diǎn)不穩(wěn)定，即國(guó)民平均收入將不斷增長(zhǎng)，反之，則穩(wěn)定，即國(guó)民收入將停滯。 （3） 在不穩(wěn)定平衡點(diǎn)的情況下，國(guó)民平均收入不斷

2、增長(zhǎng)，假定人口增長(zhǎng)率突然增加，造成在M點(diǎn)再次與相交，則是穩(wěn)定平衡點(diǎn)。；第11題：一個(gè)島嶼上棲居食肉爬行動(dòng)物和哺乳動(dòng)物，又長(zhǎng)著茂盛的植物。爬行動(dòng)物以哺乳動(dòng)物為食，哺乳動(dòng)物又依賴植物生長(zhǎng)。在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下建立三者之間的關(guān)系模型，求平衡點(diǎn)。假設(shè) 哺乳動(dòng)物和食肉爬行動(dòng)物用X1(t)和X2(T)分別表示時(shí)間兩者的數(shù)量。若島嶼上沒(méi)有食肉爬行動(dòng)物，哺乳動(dòng)物的凈相增長(zhǎng)率為一正常數(shù)k1（島嶼上的植物絕對(duì)可以供應(yīng)哺乳動(dòng)物），若沒(méi)有哺乳動(dòng)物，食肉爬行動(dòng)物的凈相增長(zhǎng)率為一負(fù)數(shù)，記為-k2(k2>0).根據(jù)統(tǒng)計(jì)規(guī)律，兩類動(dòng)物相遇的機(jī)會(huì)正比于x1和x2乘積。建模 考慮了每一種群的數(shù)量增長(zhǎng)與本種群的數(shù)量有關(guān)，同時(shí)還受到

3、另一種群的影響建立模型如下： X1=k1x1-bx1x2=x(k1-bx2) X2=-k2x2+cx1x2=x2(-k2+cx1)并設(shè) k1=1 k2=0.5 b=0.1 c=0.02 x1(0)=25 x2=2MATLAB: function y=(t,x)k(1),k(2)=0.5 ,b=0.1 c=0.02y=diff(k(1)-b*x(1)*x(1),(-k(2)+c*x(1)*x(2)ts=0:0.1:10;x0=20,4t,x=ode45('v',ts,x0);f1=figue;plot(grid);gtext('x1(t)') ,gtext(

4、9;x2(t)');title(平衡關(guān)系)；Gause;f2=figre; plot(x(:,1),x(:,2);grid;slabel('x1'),ylabel('x2');title('相位圖')12題目：物種遷移問(wèn)題一、 問(wèn)題：大陸上物種數(shù)目可以看作常數(shù)，各物種獨(dú)立地從大陸向附近一島嶼遷移，島上物種數(shù)量地增加與尚未遷移的物種數(shù)目有關(guān)，而隨著遷移物種的增加又導(dǎo)致島上物種的減少。在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下建立物種數(shù)的模型，并討論穩(wěn)定狀況。二、模型假設(shè)：1)假定大陸上物種的數(shù)目為常數(shù);2)島上物種數(shù)的增加率與尚未遷移的物種數(shù)成正比，比例系數(shù)為(>

5、;0);3)島上物種數(shù)的減少與已遷移的物種數(shù)成正比，比例系數(shù)為(>0);三、模型建立：記島上物種數(shù)為，大陸上物種數(shù)為,則由假設(shè)知數(shù)學(xué)模型為：四、模型求解：此模型是求解為何值時(shí)，物種可以達(dá)到穩(wěn)定的狀態(tài)。由微分方程穩(wěn)定性理論知：先令=0，得到平衡點(diǎn)，再檢驗(yàn)在點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值是否小于0，若是，則平衡點(diǎn)為穩(wěn)定點(diǎn)。此模型的= .用Mathematica求解如下：Solvea*(N-x)-b*x0,xDa*(N-x)-b*x,x所得結(jié)果為:-a-b由上面的求解可以看到，x0=平衡點(diǎn)為，而且f(x)在平衡點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值小于0，所以x0為穩(wěn)定點(diǎn)。如果食餌捕食者模型系統(tǒng)中，捕食者掠食的對(duì)象只是成年的食餌，而未成年的

6、食餌因體積太小而免遭捕獲，在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下建立這三者之間的關(guān)系的模型，并求出平衡點(diǎn)。模型假設(shè)：設(shè)x1(t)為成年食餌的數(shù)量;x3(t)為未成年的食餌的數(shù)量；x2(t)為捕食者的數(shù)量，由未成年變成成年食餌的存活率為r；未成年的食餌的存活率為r1;捕食者的獨(dú)自生存的死亡率為r2;模型建立：不考慮各個(gè)種群的自身的阻滯增長(zhǎng)作用則可以建立以下的模型：X1(t)=r*x3(t)-a1*x1(t)*x2(t);x3(t)=r1*x1(t);x2(t)=x2(t)*(-r2+a2*x1(t);Matlab語(yǔ)言程序：function xdot=shier(t,x)r=1;r1=0.6;r2=0.5;a1=0.1;

7、a2=0.02;xdot=(r-a1*x(2).x(1);(r1*x(1)-r*x(3);(-(r2-a2*x(1).*x(2);ts=0:0.1:15;x0=25,15,2;t,x=ode45('shier',ts,x0);t,x,plot(t,x),grid,gtext('x1(t)'),gtext('x2(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid,10題目：?jiǎn)栴}的提出：如果食餌捕食者模型系統(tǒng)中，捕食者掠食的對(duì)象只是成年的食餌，而未成年的食餌因體積太小而免遭捕獲，在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下建立這三者之間的關(guān)系的模型，并求出平衡

8、點(diǎn)。模型求解：設(shè)x1(t)為成年食餌的數(shù)量;x3(t)為未成年的食餌的數(shù)量；x2(t)為捕食者的數(shù)量，由未成年變成成年食餌的存活率為r；未成年的食餌的存活率為r1;捕食者的獨(dú)自生存的死亡率為r2;不考慮各個(gè)種群的自身的阻滯增長(zhǎng)作用則可以建立以下的模型：X1(t)=r*x3(t)-a1*x1(t)*x2(t);x3(t)=r1*x1(t);x2(t)=x2(t)*(-r2+a2*x1(t);Matlab語(yǔ)言程序：function xdot=shier(t,x)r=1;r1=0.6;r2=0.5;a1=0.1;a2=0.02;xdot=(r-a1*x(2).x(1);(r1*x(1)-r*x(3)

9、;(-(r2-a2*x(1).*x(2);ts=0:0.1:15;x0=25,15,2;t,x=ode45('shier',ts,x0);t,x,plot(t,x),grid,gtext('x1(t)'),gtext('x2(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid,捕食者模型 食餌（食用魚(yú)）和捕食者（鯊魚(yú)）在時(shí)刻的數(shù)量分別記作，因?yàn)榇蠛Ｖ匈Y源豐富，假設(shè)當(dāng)食餌獨(dú)立生存時(shí)以指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)，（相對(duì)）增長(zhǎng)率為，即而捕食者的存在使魚(yú)餌的增長(zhǎng)率減小，設(shè)減小的程度與捕食者數(shù)量成正比，于是滿足方程 比例系數(shù)反映捕食者掠取食餌的能力。

10、捕食者離開(kāi)食餌無(wú)法生存，設(shè)它獨(dú)自存在時(shí)死亡率為，即，而食餌的存在為捕食者提供了食物，相當(dāng)于使捕食者的死亡率降低，且促使其增長(zhǎng)。設(shè)這種作用與食餌數(shù)量成正比，于是滿足 比例系數(shù)反映食餌對(duì)捕食者的供養(yǎng)能力。自身阻滯作用 模型分析與求解 方程、沒(méi)有解析解，我們分兩步對(duì)這個(gè)模型所描述的現(xiàn)象進(jìn)行分析。首先，利用數(shù)學(xué)軟件求微分方程數(shù)值解，通過(guò)對(duì)數(shù)值結(jié)果和圖形的觀察，猜測(cè)它的解析解的構(gòu)造；然后，從理論上研究其平衡點(diǎn)及相軌線的形狀，驗(yàn)證前面的猜測(cè)。1 數(shù)值解 記食餌和捕食者的初始數(shù)量分別為 ， 為求微分方程，及初始條件的數(shù)值解，及相軌線，設(shè)，用軟件編制程序如下： ； ； ；，可得，及相軌線如圖1、2可以猜到，是

11、周期函數(shù)，與此相應(yīng)地，相軌線是封閉曲線，從數(shù)值解近似地定出周期為10.7，的最大、最小值分別為28.4和20，并且用數(shù)值積分容易算出，在一個(gè)周期的平均值為。2 平衡點(diǎn)及相軌線首先求得方程，的兩個(gè)平衡點(diǎn)為 計(jì)算它們的發(fā)現(xiàn)，對(duì)于，不穩(wěn)定；對(duì)于，處于臨界狀態(tài)，不能用判斷線性方程平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的準(zhǔn)則研究非線性方程，的平衡點(diǎn)的情況。下面用分析相軌線的方法解決這個(gè)問(wèn)題。 從方程，消去后得到 這是可分離變量方程，寫(xiě)作 兩邊積分得到方程的解，即方程，的相軌線為 其中常數(shù)由初始條件確定。 為了從理論上證明相軌線的封閉曲線，記 ， 可以用軟件作出它們的圖形如下，將它們的極值點(diǎn)記為，極大值記為，則不難知道滿足 ， ，

12、 與相比可知，恰好是平衡點(diǎn)。3在一周期內(nèi)的平均值在數(shù)值解中我們看到，一周期的平均值為，這個(gè)數(shù)值與平衡點(diǎn)，剛好相等。實(shí)際上，可以用解析的方法求它們?cè)谝粋€(gè)周期的平均值。 將方程改寫(xiě)成 式兩邊在一個(gè)周期內(nèi)積分，注意到，容易算出平均值為 類似可得 將，與比較可知 ， 即，的平均值正是相軌線中心點(diǎn)的坐標(biāo)。同樣可得到、式的結(jié)果如下表平穩(wěn)點(diǎn)穩(wěn)定條件不穩(wěn)定評(píng)價(jià) 上述結(jié)果表明，捕食者的數(shù)量與食餌增長(zhǎng)率成正比，與它掠取食餌的能力成反比；食餌的數(shù)量與捕食者死亡率成正比，與它供養(yǎng)捕食者的能力成反比，這就是說(shuō)：在弱肉強(qiáng)食情況下降低食餌的繁殖率，可使捕食者減少，降低捕食者的掠取能力卻會(huì)使之增加；捕食者是死亡率上升導(dǎo)致食餌

13、增加，食餌供養(yǎng)捕食者的能力增強(qiáng)會(huì)使食餌減少。 生態(tài)學(xué)家認(rèn)為，自然界里長(zhǎng)期存在的呈周期變化的色回歸年臺(tái)平衡系統(tǒng)應(yīng)該是結(jié)果穩(wěn)定的，即系統(tǒng)受到不可避免的干擾而偏離原來(lái)的周期軌道后，其內(nèi)部制約作用會(huì)使系統(tǒng)自動(dòng)恢復(fù)原狀，如恢復(fù)原有的周期和振幅。描述的周期變化狀態(tài)卻不是結(jié)構(gòu)穩(wěn)定的，因?yàn)殡x開(kāi)某一閉軌線，幾進(jìn)入令一條閉軌線，不可能恢復(fù)原狀。 第10題 ：捕食平衡模型的數(shù)學(xué)解原題目:如果食餌捕食者模型系統(tǒng)中，捕食者掠食的對(duì)象只是成年的食餌，而未成年的食餌因體積太小而免遭捕獲，在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下建立這三者之間的關(guān)系的模型，并求出平衡點(diǎn)。模型假設(shè)：設(shè)x1(t)為成年食餌的數(shù)量;x3(t)為未成年的食餌的數(shù)量；x2(t)

14、為捕食者的數(shù)量，由未成年變成成年食餌的存活率為r；未成年的食餌的存活率為r1;捕食者的獨(dú)自生存的死亡率為r2;模型建立：不考慮各個(gè)種群的自身的阻滯增長(zhǎng)作用則可以建立以下的模型：X1(t)=r*x3(t)-a1*x1(t)*x2(t);x3(t)=r1*x1(t);x2(t)=x2(t)*(-r2+a2*x1(t);Matlab語(yǔ)言程序：function xdot=shier(t,x)r=1;r1=0.6;r2=0.5;a1=0.1;a2=0.02;xdot=(r-a1*x(2).x(1);(r1*x(1)-r*x(3);(-(r2-a2*x(1).*x(2);ts=0:0.1:15;x0=25

15、,15,2;t,x=ode45('shier',ts,x0);t,x,plot(t,x),grid,gtext('x1(t)'),gtext('x2(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid,第10題 捕食平衡模型的數(shù)學(xué)解另解一、題目闡述：如果食餌捕食者模型系統(tǒng)中，捕食者掠食的對(duì)象只是成年的食餌，而未成年的食餌因體積太小而免遭捕獲，在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下建立這三者之間的關(guān)系的模型，并求出平衡點(diǎn)。二、模型假設(shè)：食餌和捕食者在時(shí)刻的數(shù)量分別記作,因?yàn)榇蠛Ｖ匈Y源豐富，假設(shè)食餌獨(dú)立生存時(shí)以指數(shù)規(guī)律增長(zhǎng)，增長(zhǎng)率為，即而捕食者的生存使食餌

16、的增長(zhǎng)率減小，設(shè)減小的程度與捕食者數(shù)量成正比，于是滿足方程（1）比例系數(shù)反映捕食者掠取食餌的能力。捕食者離開(kāi)食餌無(wú)法生存，設(shè)它獨(dú)立存在時(shí)死亡率為,即而食餌的存在為捕食者提供了食物，相當(dāng)于使捕食者的死亡率降低，且促使其增長(zhǎng)，設(shè)這種作用與食餌數(shù)量成正比，于是 （2）比例系數(shù)反映食餌對(duì)捕食者的供養(yǎng)能力。方程（1），（2）是在自然環(huán)境中食餌和捕食者之間依存和制約的關(guān)系，這里沒(méi)有考慮這種自身的 阻滯增長(zhǎng)作用，是Voterra提出的最簡(jiǎn)單的模型。三、模型建立：方程（1），（2）沒(méi)有解析解，我們分兩步對(duì)這個(gè)模型所描述的現(xiàn)象進(jìn)行分析。首先，利用數(shù)學(xué)軟件求微分方程的數(shù)值解，通過(guò)對(duì)結(jié)果和圖形的觀察，猜測(cè)它的解析解

17、的構(gòu)造。記食餌和捕食者的初始數(shù)量分別為 為求微分方程（1），（2）及設(shè)初始條件（3）的數(shù)值解（并作圖）及相軌線設(shè)，四、模型求解：（Matlab語(yǔ)言程序）用MATLAB軟件編程如下： Fuction xdot=shier(t,x) R=1;d=0.5;a=0.1;b=0.02; ts=0:0.1:15; x0=25,2; t,x=ode45(shier,ts,x0);t,x, Plot(t,x),grid,gtext(x(t),gtext(y(t), pause, plot(x(:,1),x(:,2),grid,可以猜測(cè)，是周期函數(shù)，與次相應(yīng)地，相軌線是封閉曲線，從數(shù)值解近似地定出周期為10.7

18、，的最大值，最小值分別為99.3和 2.0，在一個(gè)周期的平均值為。如果食餌捕食者模型系統(tǒng)中，捕食者掠食的對(duì)象只是成年的食餌，而未成年的食餌因體積太小而免遭捕獲，在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下建立這三者之間的關(guān)系的模型，并求出平衡點(diǎn)。模型假設(shè)：設(shè)x1(t)為成年食餌的數(shù)量;x3(t)為未成年的食餌的數(shù)量；x2(t)為捕食者的數(shù)量，由未成年變成成年食餌的存活率為r；未成年的食餌的存活率為r1;捕食者的獨(dú)自生存的死亡率為r2;模型建立：不考慮各個(gè)種群的自身的阻滯增長(zhǎng)作用則可以建立以下的模型：X1(t)=r*x3(t)-a1*x1(t)*x2(t);x3(t)=r1*x1(t);x2(t)=x2(t)*(-r2+a2

19、*x1(t);Matlab語(yǔ)言程序：function xdot=shier(t,x)r=1;r1=0.6;r2=0.5;a1=0.1;a2=0.02;xdot=(r-a1*x(2).x(1);(r1*x(1)-r*x(3);(-(r2-a2*x(1).*x(2);ts=0:0.1:15;x0=25,15,2;t,x=ode45('shier',ts,x0);t,x,plot(t,x),grid,gtext('x1(t)'),gtext('x2(t)'),pause,plot(x(:,1),x(:,2),grid,一 題目敘述如果食餌捕食者模型系統(tǒng)中，捕食者掠食的對(duì)象只是成年的食餌，而未成年的食餌因體積太小而免遭捕獲，在適當(dāng)?shù)募僭O(shè)下建立這三者之間的關(guān)系的模型，并求出