中科院固體物理大綱及真題解析

1、中科院固體物理考研真題解析及考研輔導(2006soffeeswx2006前 言本資料主要用于中科院的固體物理考研參考。中科院的很多研究所的碩士入學考試都有固體物理(均為可選,例如半導體所、高能物理所、物理所、金屬所、上海應用物理研究所、上海技術物理研究所和上海硅酸鹽研究所等,這表明固體物理這門課程對我們以后在研究生階段的學習和研究是非常重要的,因此我們在這門課程的復習過程中要認真對待,對教材的相關內容要理解透徹。本資料不作理論研究用,僅用于考研復習參考資料,主要是參照中科院的新大綱來編寫的。大綱中給出的參考資料有兩本,分別為教材一固體物理基礎(閻守勝編和教材二固體物理學(黃昆編,另外,根據(jù)很多

2、同學的推薦本人再向大家推薦一本教材,就是方俊鑫和陸棟主編的固體物理學(上冊,在本資料里把它稱為教材三。這三本教材中最重要的還是教材二,其中主要是前六章,希望大家都能仔細復習。本資料按照新大綱要求分為七章,每章都分為三部分(除第三章外:考試指導、基本知識點和試題分析?？荚囍笇莵碜杂诒救丝佳袕土暤慕涷?純屬個人意見,希望能對大家有幫助。基本知識點大多都是考試重點,不是重點內容的將會說明。試題分析是很重要的部分,我們要通過例題來加強對知識的理解和掌握,通過分析解題來進一步抓住考點。另外,本資料例題均選自于往年考試真題,因為真題最具有參考性,解題過程中最重要的是知識點分析,其答案僅供參考。由于本人知

3、識有限,本資料在編寫過程中定有一些不妥或錯誤之處,誠懇大家在以后的交流中批評、指正。中科院研究生院碩士研究生入學考試固體物理考試大綱本固體物理考試大綱適用于中國科學院凝聚態(tài)物理及相關專業(yè)的碩士研究生入學考試。固體物理是研究固體的結構、組成粒子的相互作用以及運動規(guī)律的學科,是物理研究的一個重要組成部分,是許多學科專業(yè)的基礎課程,其主要內容包括晶體結構、晶格振動、能帶理論和金屬電子論等內容。要求考生深入理解其基本概念,有清楚的物理圖象,能夠熟練掌握基本的物理方法,并具有綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力。(一考試內容一、 晶體結構1、單晶、準晶和非晶的結構上的差別2、晶體中原子的排列特點、晶

4、面、晶列、對稱性和點陣的基本類型3、簡單的晶體結構4、倒易點陣和布里淵區(qū)5、X射線衍射條件、基元的幾何結構因子及原子形狀因子二、 固體的結合1、固體結合的基本形式2、分子晶體與離子晶體,范德瓦爾斯結合,馬德隆常數(shù)三、 晶體中的缺陷和擴散1、晶體缺陷:線缺陷、面缺陷、點缺陷2、擴散及微觀機理3、位錯的物理特性4、離子晶體中的點缺陷和離子性導電四、 晶格振動與晶體的熱學性質1、一維鏈的振動:單原子鏈、雙原子鏈、聲學支、光學支、色散關系2、格波、簡正坐標、聲子、聲子振動態(tài)密度、長波近似3、固體熱容:愛因斯坦模型、德拜模型4、非簡諧效應:熱膨脹、熱傳導5、中子的非彈性散射測聲子能譜五、 能帶理論1、布

5、洛赫定理2、近自由電子模型3、緊束縛近似4、費密面、能態(tài)密度和能帶的特點六、 晶體中電子在電場和磁場中的運動1、恒定電場作用下電子的運動2、用能帶論解釋金屬、半導體和絕緣體,以及空穴的概念3、恒定磁場中電子的運動4、回旋共振、德哈斯-范阿爾芬效應七、 金屬電子論1、金屬自由電子的模型和基態(tài)性質2、金屬自由電子的熱性質3、電子在外加電磁場中的運動、漂移速度方程、霍耳效應(二考試要求一、晶體結構1.理解單晶、準晶和非晶材料原子排列在結構上的差別2.掌握原胞、基矢的概念,清楚晶面和晶向的表示,了解對稱性和點陣的基本類型3.了解簡單的晶體結構4.掌握倒易點陣和布里淵區(qū)的概念,能夠熟練地求出倒格子矢量和

6、布里淵區(qū)5.了解X射線衍射條件、基元的幾何結構因子及原子形狀因子二、 固體的結合1.了解固體結合的幾種基本形式2.理解離子性結合、共價結合、金屬性結合、范德瓦爾斯結合等概念三、 晶體中的缺陷和擴散1.掌握線缺陷、面缺陷、點缺陷的概念和基本的缺陷類型2.了解擴散及微觀機理3.了解位錯的物理特性4.大致了解離子晶體中的點缺陷和離子性導電四、 晶格振動與晶體的熱學性質a熟練掌握并理解其物理過程,要求能靈活應用:一維鏈的振動(單原子鏈、雙原子鏈、聲學支、光學支、色散關系b清楚掌握格波、簡正坐標、聲子、聲子振動態(tài)密度、長波近似等概念c熟練掌握并理解其物理過程,要求能靈活應用:固體熱容:愛因斯坦模型、德拜

7、模型d了解非簡諧效應:熱膨脹、熱傳導e了解中子的非彈性散射測聲子能譜五、 能帶理論a深刻理解布洛赫定理b熟練掌握并理解其物理過程,要求能靈活應用:近自由電子模型c熟練掌握并理解其物理過程,要求能靈活應用:緊束縛近似d深刻理解費密面、能態(tài)密度和能帶的特點六、 晶體中電子在電場和磁場中的運動a熟練掌握并理解其物理過程:恒定電場作用下電子的運動b能夠用能帶論解釋金屬、半導體和絕緣體,掌握空穴的概念c熟練掌握并理解其物理過程:恒定磁場中電子的運動d能夠解釋回旋共振、德哈斯-范阿爾芬效應七、 金屬電子論a熟練掌握金屬自由電子的模型和基態(tài)性質b了解金屬自由電子的熱性質c熟練掌握并理解其物理過程:電子在外加

8、電磁場中的運動、漂移速度方程、霍耳效應(三主要參考書目1、閻守勝編著,固體物理學基礎北京大學出版社,2003年8月2、黃昆原著,韓汝琦改編,固體物理學高等教育出版社,1988年10月第一章晶體結構考試指導根據(jù)往年試題來看,本章主要是概念題,出題的難度不是太大,屬于一般的基礎題目,所以應該充分重視,該得的一定不能丟。近幾年這個情況沒變,一般都是在第一個大題。本章屬于基礎知識章節(jié),復習的重點還是前4個基本知識點對各個概念的理解一定要透徹?；局R點1.晶體,準晶和非晶1三者的區(qū)別:晶體:排列長程有序,即原子排列有周期性。非晶:排列長程無序,短程有序。準晶:非長程有序,但具有5次對稱性,即有長程的取

9、向序。2一些簡單的晶體結構要清楚掌握一些易考的晶體結構如:NaCl晶體和CsCl晶體以及一些具有面心立方結構的金屬晶體。2.關于晶格的一些基本概念1 原胞定義:一個晶格最小的周期性重復單元。有些書上將其嚴格定義為固體物理學原胞,與結晶學原胞(晶胞和布拉菲原胞相區(qū)別。結晶學原胞簡稱晶胞,也是固體物理學中的慣用晶胞,在教材一中結晶學原胞又叫單胞或慣用單胞(參見教材一P34。布拉菲原胞就是那14種布拉菲格子,所以在簡單格子中,結晶學原胞和布拉菲原胞是相同的,而在復式晶格中兩者不同(例如在NaCl晶體和CsCl晶體中。此方面內容可以結合教材三P18來復習。在下面的例二中,我們具體以NaCl晶體來分析了

10、它們的區(qū)別。2 基矢是指原胞的邊矢量。這里要提醒大家的是:要把體心立方晶格和面心立方晶格的基矢表達式記牢。3 晶面系(也叫晶面族,晶向和密勒指數(shù)晶面系是一組平行等距.的晶面,要注意的是:一個晶面系除了有平行等距的特點以外,還有一個特點就是它包含了晶體中的所有.格點。晶向為晶面的法線方向,而表征晶面取向的互質整數(shù).稱為晶面系的密勒指數(shù)。后面我們還會討論它和晶面間距的關系。4 晶格分為簡單晶格和復式晶格。簡單晶格中每個原胞中含有一個原子,具有體心立方結構的堿金屬和具有面心立方結構的Au、Ag、Cu晶體都是簡單晶格。復式晶格中每個原胞中含有兩個或兩個以上的原子,比較常見的有NaCl 晶格、CsCl結

11、構和具有金剛石結構的晶格(例如晶體Si3.晶體的對稱性1點群和7個晶系點對稱操作:分為轉軸、鏡面和中心反演。8種可能存在的獨立的對稱元素:1,2,3,4,6,1(中心反演i,2(鏡面,4。要會證明為什么不存在5次軸或7次軸(教材一P28和教材二P30。這些點對稱操作組成的對稱操作群稱為點群。這些點群一共有32種,按照點群對稱性有7種布拉菲格子,稱為7個晶系,即每個晶系具有一定的點群操作。2 空間群和14個布拉菲格子空間群由平移對稱操作和點對稱操作組成,總數(shù)為230個,而其中包含73個簡單空間群(也叫點空間群。按空間群分為14個布拉菲格子,每個布拉菲格子都有一定的空間群。所以同一晶系中可以不同的

12、布拉菲格子,例如在立方晶系中,簡單立方、體心立方和面心立方有著相同的點群操作和不同的空間群操作。4.倒易點陣和布里淵區(qū)1倒格子倒格子是?？贾R點。首先,倒格子基矢與正格子基矢的運算規(guī)則一定要記牢,另外還要會一些簡單的矢量運算。倒格子基矢j b v 與正格子基矢i a v 的重要關系式:2(20 (i j ij i j a b i j =v v 與正格子的關系:有著相同的點群對稱元素(參閱教材一P43;正格子原胞體積和倒格子原胞體積的乘積為38 。2 倒格矢(可參閱教材二P18和教材三P30倒格矢與正格子中的晶面系相正交,其簡單證明最好也掌握;12n G hb kb lb =+u v v v v

13、 33(hkl 倒格矢的長度與正格子中的晶面系的面間距成反比: 12n G hb kb lb =+u v v v v (hkl 2|hkl n d G =u v ,所以對于立方晶系(包括簡單立方、體心立方和面心立方的晶體有(設晶格常數(shù)為 a 222|hkl n a d G a = u v 3 布里淵區(qū)定義:在倒格子空間,以一格點為原點,則由此格點與其它格點的連線的垂直平分面所圍成的區(qū)域稱為布里淵區(qū)。另外,其中包含原點在內的最小封閉區(qū)域為第一布里淵區(qū)。簡單立方有6個最近鄰,第一布里淵區(qū)為立方體;面心立方有8個最近鄰和6個次近鄰,第一布里淵區(qū)為14面體(也叫截角八面體;體心立方有12個最近鄰,第一

14、布里淵區(qū)為正12面體。5. X 射線衍射,幾何結構因子及原子散射因子以前此知識點也考小題,但從現(xiàn)在這個重新制訂的大綱中可以看出,本知識點不是重點,要求簡單了解。(具體內容可參閱教材三的相關章節(jié)1 布拉格定理:2sin hkl d =式中為晶面族的面間距,hkl d (hkl 為布拉格角,為入射波長。2 幾何結構因子及原子散射因子原子散射因子:原子內所有電子的相干散射振幅與位于原子中心的一個電子的相干散射振幅之比。幾何結構因子:原胞內所有原子的散射波在所考慮的方向上的振幅與一個電子的散射波的振幅之比。幾何結構因子的公式:2(1j j j nni hu kv lw hkl j j F f e +=

15、式中n 表示原胞中所包含的有效原子數(shù),j f 表示原胞中第j 個原子的散射因子,j j j u v w (,為原胞中第j 個原子的坐標。試題分析例一:(97一、很多元素晶體有面心立方結構,試1. 繪出其晶胞形狀,指出它所具有的對稱元素。2. 說明它的倒易點陣類型及第一布里淵區(qū)形狀。3. 面心立方的Cu 單晶(晶格常數(shù)a=3.61A的x 射線衍射圖(x 射線波長 =1.54中,為什么不出現(xiàn)(100,(110,(422和(511衍射線?4. 它們的晶格振動色散曲線有什么特點?參考解答:1. 各個晶胞形狀要牢牢記住,主要包括簡單立方、面心立方和體心立方。立方體所有的對稱元素在教材二第21頁有詳細描述

16、。2. 面心立方和體心立方互為倒易點陣,面心立方的第一布里淵區(qū)是14面體(也叫截角八面體,體心立方的第一布里淵區(qū)是正十二面體。3. 大綱中的考試要求中有“了解X 射線衍射條件、基元的幾何結構因子及原子形狀因子”,此章節(jié)知識可以參考教材一中的第一章內容。對于面心立方,晶面族(hkl的衍射強度I 為22221cos (cos (cos ( sin (sin (sin (hkl hkl 2I F f n h k n h l n k l f n h k n h l n k l =+由此公式可以看出,只有對于衍射面指數(shù)為全奇或全偶的衍射面,衍射強度才不為零,所以不出現(xiàn)(100和(110衍射線。另外,根據(jù)

17、布拉格公式2sin d =可知,2d ,而立方晶系的面間距為hkl d = 所以 5110.69d =,4220.74d =,均小于0.772=,因此也不會出現(xiàn)(422和(511衍射線。 4. 對于原胞含有n 個原子的復式晶格,對一定的波矢q 有3個聲學波和(3n-3個光學波。而對于面心立方的元素晶體,原胞只含有一個原子,所以有3支聲學波,沒有光學波,3支聲學波有2支橫波和1支縱波,而在(100和(111波矢方向兩支橫聲支是簡并的。例二:(98一、簡要回答以下問題1、試繪圖表示NaCl 晶體的結晶學原胞、布拉菲原胞、基元和固體物理學原胞。2、已知三維晶體原胞的體積為,試推導給出倒格子原胞的體積

18、*。3、假設CsCl 晶體的Cs 及Cl 原子的散射因子分別是f cs 和f Cl ,試求其結構因子F(hkl。4、試以立方晶體為例列出黃昆方程,并做出定性解釋。參考解答:1、本題還是考查基本概念,本題內容主要參考基本知識點的2.1和教材三P18。這里的固體物理學原胞就是我們通常所說的“原胞”,即在教材二中定義的原胞.。這里還要注意在NaCl晶體中固體物理學原胞含有兩個原子,即一個Na原子和一個Cl原子?；蔷w中重復排列的具體單元。因此,對于NaCl晶體有: 結晶學原胞布拉菲原胞物理學原胞基元2、設晶格的基矢為,則根據(jù)倒格子基矢的定義可以得到123,a a a123,b b b3*1232

19、331123(2b b b a a a a a a=1a a a a a a a a a a a a a=應用矢量關系式A(B C=(A CB-(A BC所以得33*23123132(2(2(2a a a a a a3=3、CsCl晶體的結構如下圖所示,其基元為一個Cl原子和一個Cs原子,它們在晶胞中的坐標分別是(0,0,0和(1/2,1/2,1/2,所以由幾何結構因子公式 2(1j j jnni hu kv lwjjF f e+=hkl(其中j j ju v w(,為原子坐標,可求得CsCl晶體的幾何結構因子(ni h k lhkl Cl CsF f f e+=+4、黃昆方程不是重點,一般很

20、少考到。其具體內容可參考教材二的P104頁。黃昆方程為:.11122122W b W b EP b W b E =+=+其中,P 是宏觀極化強度,E 是宏觀電場強度。定性解釋:第一個方程是決定離子相對振動的動力學方程,第二個方程表示除去正、負離子相對位移產生極化,還要考慮宏觀電場存在時的附加極化。例三:(99一、試對晶體進行分類:1、從晶體幾何對稱性出發(fā)分類2、從晶體結合出發(fā)分類參考解答:本題主要考查第一章和第二章關于晶體類型的概念掌握。1、從晶體對稱性出發(fā),晶體可以分為7個晶系,分別為三斜、單斜、正交、三角、四方、六角和立方晶系。2、從結合類型出發(fā),晶體分為離子晶體、原子晶體、金屬晶體和分子

21、晶體,結合方式分別為離子鍵結合、共價鍵結合、金屬鍵結合和范德瓦爾斯結合。例四:(01一、簡要回答以下問題:1、某種元素晶體具有6角密堆結構,試指出該晶體的布拉菲格子類型和其倒格子的類型。2、某元素晶體的結構為體心立方,試指出其格點面密度最大的晶面第的密勒指數(shù),并求出該晶面系相鄰晶面的面間距。(設其晶胞參數(shù)為a3、具有面心立方結構的某元素晶體,它的多晶樣品x 射線衍射譜中,散射角最小的三個衍射峰相應的面指數(shù)是什么?參考解答:1、具有6角密堆結構,且是元素晶體,即為簡單六方格子,其倒格子還是簡單六方格子。2、體心立方晶體結構如右圖所示:面密度是指單位面積上的等效原子數(shù), 很容易看出(110晶面系的

22、格點面密度最大,可以求出此面密度為2a = 且此晶面系相鄰晶面的面間距求得為 2a 。 3、該題可以結合97(一的第3小題來解。首先,由布拉格公式2sin d =可知,本題中對于波長一定的x 射線,面間距d 越大,散射角越小。而面間距 d 立方的衍射峰相應的面指數(shù)只能是全奇或全偶,所以相應的面間距從大到小依次為d(111、d(200和d(220, 即散射角最小的三個衍射峰相應的面指數(shù)依次是(111、(200和(220。例五:(05二、簡要回答以下問題:1、寫出晶體可能有的獨立的對稱元素;2、按對稱類型分類,布拉菲格子的點群類型有幾種?空間群類型有幾種?晶體結構的點群類型有幾種?空間群類型有幾種

23、?3、某晶體的倒格子結構是體心立方,則該晶體的正格子是什么結構?4、晶體中包含有N 個原胞,每個原胞中有n 個原子,該晶體晶格振動的格波簡正模式總數(shù)是多少?其中聲學波和光學波各有多少?參考解答:1、晶體中8種獨立的對稱元素一定要牢記,它們是1次軸,2次軸,3次軸,4次軸,6次軸,1次反軸(中心反演,2次反軸(鏡面和4次反軸。2、首先我們要牢記幾個數(shù)字:晶體中有7.個晶系14.種布拉菲格子,32.個點群230.個空間群(其中有73.個點空間群.。本題不是常規(guī)問法,不過我們要知道,按照點群對稱性一共有7種布拉菲格子,按空間群分類一共有14種布拉菲格子。所以本題答案應該是7,14,32,230. 具

24、體內容請參見教材一P27到P34。3、體心立方和面心立方互為倒易點陣。4、格波模式總數(shù)為3Nn個,聲學波3N個,光學波N(3n-3個。參見教材二P101。例六:(05三、對面心立方布拉菲格子1、求格點密度最大的三個晶面系的面指數(shù)。2、畫出各種格點平面上格點的排布。3、設晶胞參數(shù)為a,分別求出這三個晶面系相鄰晶面的面間距。參考解答:1、根據(jù)面心立方結構圖我們只需要計算三個晶面系的面密度即(100、(110和(111晶面系。下面是這些晶面系的晶面平面點陣的二維圖示 (100 (110 (111面密度分別為 1002110211124aa=所以有1111001102、見上小題。3、這里我們要特別注意

25、,從嚴格意義上說對于面心立方晶格不存在(100和(110晶面系,因為所謂的晶面系就是要包含晶體的所有格點,顯然(100和(110晶面系都不能滿足,而分別和它們方向相同.的(200和(220晶面系才滿足這個條件。要明白(100和(110晶面系所包含的晶面數(shù)分別是(200和(220晶面系的一半。所以這里實際要求的面間距是(111、(200和(220晶面系的面間距。根據(jù)公式d= 求出依次為 111200220, , 32a d a d d =4a所以由此我們也可以看出,111200220d d d 而晶面系的面間距越大,格點面密度就越大,所以有 111200220,這也與小題1的結果相符。 例七:(

26、05四、證明:如果一個布拉菲格子有一個對稱平面,則存在平行該平面的點陣平面系。參考解答:本題考查正格子與倒格子的關系以及正格子晶面系和倒格矢的關系。 同一晶格的正格子和倒格子有著相同的點群對稱性,例如面心立方和體心立方都具有立方晶系的點群對稱元素.(它們之間不同的只是空間對稱性。所以,如果正格子有一個對稱平面,則其倒格子也有該對稱面(對稱面即鏡面屬于點群對稱元素,于是連接鏡面內外的兩個倒格點則得到垂直于該平面的倒格矢,而一個倒格矢必對應一個垂直于該倒格矢的正格子中的晶面系,所以得證。第二章 固體的結合考試指導此章雖不是重點章節(jié),但內容簡單易懂,所以要求我們要熟練掌握一些基本概念和公式。大綱要求

27、理解離子性結合、共價結合、金屬性結合、范德瓦爾斯結合等概念,值得一提的是,根據(jù)往年來看,最可能出題的知識點就是離子性結合和范德瓦爾斯結合。因此,復習本章時,關鍵是要記住離子性結合和范德瓦爾斯結合相關的幾個公式。根據(jù)往年試題來看,本章主要是概念題和簡單的計算題,有可能出一道大題或一個小題。所以此部分和第一部分一樣,要把真題搞透,公式記牢?？梢哉f,如果此章出題,則題目不會多,但是很可能是“送分”的題目,所以一定要把握住?；局R點1. 固體結合的基本形式固體結合的基本形式主要有離子性結合、共價鍵結合、金屬性結合和范德瓦爾斯結合,它們對應的晶體類型分別是離子晶體、原子晶體、金屬晶體和分子晶體。2.

28、分子晶體與離子晶體(本章重點 1 分子晶體靠范德瓦爾斯作用結合,兩個原子的范德瓦爾斯結合能為勒納瓊斯勢126(4u r r r =式中第一項為重疊排斥作用,第二項為范德瓦爾斯作用能。 含有N 個原子的晶體的總勢能為1261262U N A A r r =注意在式中r 表示最近鄰原子之間的間距,、是只與晶體結構有關的晶格求和常數(shù)。 12A 6A 2 離子晶體在離子晶體中,原胞一般是含有兩個原子(嚴格說是一對正負離子,靠離子鍵結合,一個原胞的能量即一對正負離子的結合能123123220(4n n n n n n q u r r += 其中,為馬德隆常數(shù),是一個只與晶體結構有關的正數(shù)。如果晶體中包含

29、N 個原胞(即含有2N 個原子,則晶體的總內能為2064n n q b A B U N N r r r r =+=+式中為馬德隆常數(shù),r 為離子間距,b 為常數(shù),2A=B=6b 4q 。試題分析(04一、4. 寫出離子晶體結合能的一般表達式,求出平衡態(tài)時的離子間距。 參考解答:設晶體含有N 個原子(注意:教材二中是假設NaCl 晶體含有N 個原胞,即含有2N 個原子,則形成N/2個離子對,考慮到每對離子的作用,晶體結合能的一般表達式為206242n N q b N A B U r r r r =+=+n (2-1 平衡態(tài)時有0dUdr= 即2102n dU N A nB dr rr +=所以設

30、平衡態(tài)時的離子間距為,則有0r 21000n A nBr r += 求得110n nB r A =(2-2另外,將(2-2式代入(2-1式即得出平衡態(tài)時離子晶體的結合能。(02二、對惰性元素晶體,原子間的相互作用常采用勒納瓊斯勢126(4u r r r =其中和為等待定常數(shù),r 為兩原子間距 1. 試說明式中兩項的物理意義以及物理來源;2. 證明平衡時的最近鄰原子間距與0r 之比為一與晶體結構有關的常數(shù)。 參考解答:此知識點在教材一、二上都有詳細描述。1. 第一項為重疊排斥作用,起源于泡利原理。第二項為范德瓦爾斯作用能,它是由原子中電荷漲落產生的瞬時電偶極矩所引起的。2. 設晶體含有N 個原子

31、,則根據(jù)每對原子的相互作用勢可以給出晶體的結合能為126(22i i i i i NU u r N r r = 設最近鄰原子間距為r ,則i i r r = ,所以有=令12612611iiii A A =, ,則得1261262U N A A r r =平衡時,0r r dUdr=即612612713006120A A r r = 所以得161262r A A =(97二、已知原子間相互作用勢為(mu r rrn=+,其中,m, n 均為大于0的常數(shù),試證明此系統(tǒng)可以處于穩(wěn)定平衡態(tài)的條件是nm. 參考解答:本題主要考查系統(tǒng)可以處于穩(wěn)定平衡態(tài)的條件:0r r dUdr= (平衡態(tài)220r r

32、d Udr = (穩(wěn)定所以有1011000 n mm n r r du m n n r drr r m +=因此2220(n r r d u n n m dr r +=0n m 第三章晶體中的缺陷和擴散考試指導本章不是重點章節(jié),往年很少考到,但現(xiàn)在中科院新修訂的固體物理考試大綱里把它單獨編為一部分,所以也應該引起重視。最好要掌握一些基本概念,按照大綱的要求,復習一下教材上的相關章節(jié)?；局R點1.缺陷的概念和基本類型晶體中的缺陷主要有點缺陷、線缺陷和面缺陷。1點缺陷其物理意義是指:在晶體中的某些格點上,周期性受到了破壞。晶格中,在熱起伏過程中,晶體的某些原子由于劇烈振動而脫離了格點跑到表面上,

33、在內部留下了空格點,即空位;或者這些原子進入晶格中的間隙位置,形成填隙原子;還有一種情況就是,外來的雜質原子進入晶體后,既可以在間隙位置上形成填隙式的雜質,也可以占據(jù)空位而形成替位式原子。這些空位、填隙原子和雜質原子等引起的缺陷叫點缺陷。2線缺陷當晶格周期性的破壞是發(fā)生在晶體內部一條線的周圍近鄰,就稱為線缺陷。位錯就是線缺陷,位錯有兩種:(1刃位錯:位錯線垂直于滑移方向。(2螺位錯:位錯線平行于滑移方向。3面缺陷面缺陷將晶體取向不同或結構有異的兩部分分開。更一般地,面缺陷是體系自由能相等,但序參量值不同的兩部分之間的界面。2.擴散及微觀機理1 擴散現(xiàn)象:從微觀來看,實際上便是原子的布朗運動。2

34、 擴散機制空位擴散機制:在格點上試圖向外擴散的原子,雖然不斷嘗試,但僅當有一空位出現(xiàn)在它的近鄰時,它才實際有可能跳進這一空位從而造成新的空位,這就形成的空位的擴散機制。這種機制是原子擴散的主要機制。 其它擴散機制:晶體中的擴散除空位機制外,還有填隙原子機制和雜質原子擴散機制等,即原子通過形成填隙原子和雜質原子等進行擴散。 示意圖: ( 原子空穴主要機制原子替位式原子原子間隙原子間隙原子單獨擴散第四章 晶格振動與晶體的熱學性質考試指導本章為重點章節(jié),尤其在前三個知識點里最容易出題目,基本上是每年必考?？荚囶}目主要是計算題,也有一些概念題。因此我們要充分重視本章節(jié),反復復習本章節(jié)內容,對一些基本概

35、念要有透徹的理解。只有清楚了物理概念,才能保證對公式的熟練掌握和運用。一些常用的重要公式會在下面的部分中列出,大部分公式都是需要理解會用的,希望大家有能力的話最好能掌握一些重要公式的推導過程,這樣才能保證對本章內容的深刻理解和掌握?；局R點1. 一維原子鏈的的振動 1 單原子鏈 首先看格波解的形式(i t qx x Ae = 在式中(x 為原子鏈中位于x 處的原子的隨時間變化的位移坐標(即形成格波,其中為波的圓頻率,q 為稱為波數(shù)。這是在簡諧近似下求得的格波解,其物理含義類似于單擺的簡諧振動。 其色散關系為 sin (q 2qa=為波數(shù) 玻恩卡曼邊界條件:(1i Naq x Na x e +

36、(=(= 即2, (q h h Na=整數(shù)式中N 為單原子鏈中原胞的數(shù)目,所以由邊界條件可知,q 在a到a之間只能取N 個不同的數(shù)值。聲子:指格波的量子,其能量為(q h 。聲子不是真實的粒子,稱為“準粒子”,可以結合光子來理解。 2 雙原子鏈(重點 色散關系:122222411sin (m M mM aq mM m M +=+其推導過程要求掌握。 相鄰兩原子的振幅比:222cos m B A aq = 玻恩卡曼邊界條件:, (q h h Na=整數(shù)由N 個原胞組成的一維雙原子鏈,q 可以取N 個不同值,每個q 對應兩個解,共有2N 個不同的格波。 光學支和聲學支:色散關系中,+對應的格波稱為

37、光學波,光學波聲子能量比較大;對應的格波稱為聲學波,聲學波聲子能量要比光學波聲子小得多。 長波極限(指的情形:0q 長聲學波中,時,頻率0q 正比于,此時長聲學波可以近似看作是連續(xù)介質時的彈性波,即滿足q vq =。另外,對于長聲學波,時0q 0,所以有1B A ,這表明此時原胞中兩種原子的運動完全一致。長光學波中,時0q B m A M +,所以長光學波的實際上是描述了兩種原子各自形成的格子的相對振動,在振動過程中保持質心不變。離子晶體的長光學波有特別意義,因為此時產生了一定的電偶極矩,可以和電磁波作用,從而會引起對遠紅外光的強烈吸收,要記住這個效應。 2. 三維晶格的振動 1 色散關系了解

38、一下推導過程,重要的是結論:在三維晶格中,對一定的波矢q v有3支聲學波和(3n-3支光學波,其中n 為原胞中原子的數(shù)目。晶體中不同的的總數(shù)為N ,所以不同的格波的總數(shù)為3nN 。q v2 波矢在空間的分布:q v q v周期性邊界條件為:(要求理解并記住112233(l l l l l l (R N a R R N a R R N a R +=+=+=uu v uv uu v uu v uu v uv uu v uu v uv u u 分布密度:3/(2V 3. 晶體比熱的量子理論 1 量子比熱量子理論下晶格振動能量量子化:1(2n E n =+h晶體中有N 個原子時,其量子熱容為:2/3/

39、21(1i B i B k TNi V B k T i B e C k k T e =h h h 若存在頻率分布函數(shù)且可積,則可以寫成:2/2(1B B k TVB k T B eC T k g d k T e=h h h 此公式在一維、二維和三維情況下都成立。 2 愛因斯坦模型原理:假設晶體中各原子振動相互獨立,且所有原子都有同一頻率0,直接得出晶體比熱為00/20/2(/3(1B B k TB VBk T k T e C Nk e =h h h優(yōu)點:理論上可以反映出晶體比熱在低溫時下降的基本趨勢。缺點:在低溫時,該模型理論值與實驗不相符。 3 德拜模型原理:考慮了頻率分布,把晶格當做彈性介

40、質,忽略晶格中縱波和橫波的區(qū)別,其色散關系為 cq =,其中c 為常數(shù)。另外,還假定存在一個最大頻率m 。德拜模型下三維晶體的熱容為:(222309(1B mB k T v k T mB Re C T d k T e =h h h 所以在低溫極限下,三維晶格的德拜熱容與成正比,這就是非常重要的德拜定律。3T3T德拜模型下一維原子鏈的熱容在低溫極限下為:(22(1B v mRk Te C T d e=h此時,比熱與T 成正比。 4.晶格振動模式密度1 物理意義:表征頻率分布的函數(shù)。 2 一般表達式: 3(8|(q V dSg q =|一維單原子鏈:(2(2L L g d dq g d dq =二

41、維單晶情況下:2(2(42SS g d qdq g d q dq= 若是在德拜近似下,且考慮到一定的q 對應兩支格波,則有 2(Sg c=三維情況下:22(2Vq dqg d =若是在德拜近似下,且考慮到一定的q 對應三支格波,則有2233(2V g c=試題分析例一: (05五、1 對一體積為V 的晶體,求周期性邊界條件允許的格波波矢q 在q 空間的分布密度,以及在第一布里淵區(qū)q 的取值總數(shù)。2 上小題1中,若為電子波,結果如何?3 用德拜近似求一維單原子鏈的熱容C v (t的表達式,并證明在低溫極限下,它與溫度T 成正比。4 晶格中不同簡正模的格波之間達到熱平衡的物理原因。 參考解答:1

42、對于晶體的周期性邊界條件(即玻恩卡曼邊界條件要理解性記憶。本題解法在教材二P99有具體描述,在這里我們要把一些細節(jié)推導解釋的更清楚一些。首先,q 空間以倒格矢為基矢,即q 可以寫成123,b b b (4-1112233q xb x b x b =+v u v u u v u v (l 三維情況下,同期性邊界條件為112233(l l l l l R N a R R N a R R N a R +=+=+=uu v uv uu vuu v uu v uv uu v uu v uv u u (4-2 其中,123,a a a uv uu v u u v為晶格基矢,為沿三基矢方向的原胞數(shù),總原胞數(shù)

43、123,N N N 123N N N N = 。由邊界條件可得(exp ( (1,2,3l i i l R i q N a R i =uu v v uv uu v,=v uvvuu v vuu v (4-3其中,為整數(shù)。將(41式代入(4-3式即得 123,h h h2N x h N x h N x h 2=所以有 31212312, , h h hx x x N N =3N 即31212123h h h q b b N N N =+v u v u u v u 3b v上式即代表了邊界條件所允許的q 空間均勻分布的所有格點。設倒格子原胞體積為,正格子原胞體積為*,則有3(2= 。所以邊界條件所

44、允許的q 空間中每個格點所占據(jù)的體積為312123(b b b N N N N=uv u v u u v 所以,邊界條件允許的格波波矢q 在q 空間的分布密度(33312123122(N N V b b b N N N =uv u v u u v另外,因為第一布里淵區(qū)的體積等于倒格子原胞的體積,所以第一布里淵區(qū)q 的取值總數(shù)為:N =2 上小題中若為電子波,則是讓從玻恩卡曼邊界條件出發(fā),求出三維kv 空間中電子波矢的分布密度。這屬于第五章能帶論的相關內容(具體請參閱教材一P55和教材二P156。其求解過程與上小題類似,其中,邊界條件為k v112233(r N a r r N a r r N

45、a r (+=+=+=v uv v v uu v v v uu v v關鍵是再利用布洛赫定理可得(exp (, 1,i i i i r N a r i k N a r i 2,3+=u v v u v下面步驟與和上小題相似,可求得k 空間中許可態(tài)中的態(tài)密度為(32V,第一布里淵區(qū)中k 的取值總數(shù)為N ,即晶體中的原胞數(shù)。3 一維單原子鏈的晶格振動模式密度函數(shù)為 (L dq g d =其中,L Na =為單原子鏈的長度,a 為原子間距,N 為原子數(shù)目。又在德拜模型中, (c cq =為常數(shù)。所以,此時 (Lg c=。根據(jù)德拜理論有00( mmm m L Lg d d c cN c cL aN =

46、 晶體量子熱容公式為(2202222222(1111B m B B m B m B m B k T B v B k Tk TB B k Tk TBk TBme k TC T k d e e k T Lk d ceLk T ed c eRk T e d e=h h h h h h h h hh上式中 B R k T =為氣體常數(shù),式中 B k T =h .在低溫極限下,m B k T h ,所以有(22(1B vmRk Te C T d e=h其中,(221e d e為一積分常數(shù),所以在低溫極限下晶體熱容與溫度成正比。4 這里考查非簡諧效應這個知識點,是非簡諧相互作用引起了熱膨脹,也是非簡諧相互

47、作用才導致不同簡正模的格波之間的耦合以致達到熱平衡。 例二: (04二、1 試給出德拜模型下晶格振動色散關系的表達式,說明德拜模型在解釋晶格比熱溫度關系上有哪些成功和不足并說明原因。 參考解答:1 首先,要清楚德拜模型的主要特點:把布拉菲晶格看作是各向同性的連續(xù)介質,即把格波看作是彈性波,并且還假定縱的和橫的彈性波的波速相等。另外我們要知道,對于長聲學波,晶格可以視為連續(xù)介質,長聲學波具有彈性波的性質。所以,德拜模型下晶格振動色散關系為: (c cq =為常數(shù)。德拜模型在解釋低溫下的晶格比熱溫度關系上是非常成功的,尤其是德拜熱容的低溫極限是嚴格正確的,而在較高溫度時,德拜熱容與實驗數(shù)據(jù)偏離較大

48、。這是因為溫度降低時,高頻振動模對比熱的貢獻變小,因而在低溫時,主要是低頻振動模(即長波對比熱起貢獻,這種情形與德拜模型非常相近。 例三:(03三、有N 個原子組成的體積為V 的晶體,在德拜近似下,設其聲速為v ,試求出:1 晶格振動態(tài)密度函數(shù)g(,并繪出g(和q 的關系曲線; 2 德拜頻率和德拜溫度,并簡述其意義。 參考解答:1 三維晶體中,在德拜近似下,考慮到一個q 有一個縱波和兩個獨立的橫波,則有(23342Vq dq g d =所以有(23342Vd g q d q =而德拜模型中vq =,即 q v =(2222313 2V V g v v v 32= (圖略 2 德拜頻率是在德拜模

49、型中假定存在的晶格振動的最高頻率m ,由條件( 3mg d =N 可以求出1326m N v V =德拜溫度是德拜模型中引進的一個溫度標準D m Bk =h ,它代表了經典統(tǒng)計和量子統(tǒng)計適用的溫度分界線,低于德拜溫度時應該使用量子統(tǒng)計。 例四: (02三、1.有一維雙原子鏈,兩種原子的質量分別為M 和m ,且Mm ,相鄰原子間的平衡間距為a ,作用力常數(shù)為?？紤]原子沿鏈的一維振動: 1 求格波簡正模的頻率與波矢之間的關系(q; 2 證明波矢和q q am +(其中m 為整數(shù)描述的格波是全同的。2.常用熱中子與晶格振動的非彈性相互作用來研究晶格振動的色散關系(q ,請簡要敘述其基本原理。并明確說

50、明實驗中測量哪些量,以及如何由此得出色散關系(q 。 參考解答:1.本題考查一維雙原子鏈的基本知識。1 此推導過程一定要掌握,對過程的理解要透徹,自己最好親自推導幾遍,結果也要記牢(具體見教材二P93。 2 由上式可知(q m q a +=對于標號為2n 的原子其對應于波矢q 的格波解為22(i t naq n q Ae=而對于波矢q m a +有2(2222(i t na q m a n i t naq i nm i t naq q m Ae aAee Ae +=所以,對于標號為2n 的原子波矢q 和q am +描述的格波是全同的。而對于標號為(2n+1的原子,首先不變,再看其相因子exp (21(exp(21exp(21exp(21 exp(21 i n a q