函數(shù)的插值法5v

1、北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院北京科技大學(xué)數(shù)理學(xué)院 衛(wèi)宏儒衛(wèi)宏儒計(jì)算方法計(jì)算方法第第7 7章章 插值法插值法 插值法是函數(shù)逼近的重要方法之一，有著廣泛插值法是函數(shù)逼近的重要方法之一，有著廣泛的應(yīng)用的應(yīng)用 。在生產(chǎn)和實(shí)驗(yàn)中，函數(shù)。在生產(chǎn)和實(shí)驗(yàn)中，函數(shù)f(x)f(x)或者其表達(dá)或者其表達(dá)式不便于計(jì)算復(fù)雜或者無(wú)表達(dá)式而只有函數(shù)在給定式不便于計(jì)算復(fù)雜或者無(wú)表達(dá)式而只有函數(shù)在給定點(diǎn)的函數(shù)值點(diǎn)的函數(shù)值( (或其導(dǎo)數(shù)值或其導(dǎo)數(shù)值) ) ，此時(shí)我們希望建立一，此時(shí)我們希望建立一個(gè)簡(jiǎn)單的而便于計(jì)算的函數(shù)個(gè)簡(jiǎn)單的而便于計(jì)算的函數(shù) ( (x x) )，或?yàn)楦鞣N離散，或?yàn)楦鞣N離散數(shù)據(jù)建立連續(xù)模型，使其近似的代替數(shù)據(jù)建立連續(xù)模型

2、，使其近似的代替f(x)f(x)，具體，具體有有很很多種插值法，其中以拉格朗日多種插值法，其中以拉格朗日( (LagrangeLagrange) )插值和插值和牛 頓牛 頓 ( ( N e w t o nN e w t o n ) ) 插 值 為 代 表 的 多插 值 為 代 表 的 多項(xiàng)式插值最有特點(diǎn)，常用的插值還有項(xiàng)式插值最有特點(diǎn)，常用的插值還有HermitHermit插值，插值，分段插值和樣條插值。分段插值和樣條插值。 求近似函數(shù)的方法求近似函數(shù)的方法: :由實(shí)驗(yàn)或測(cè)量的方法得到所求函數(shù)由實(shí)驗(yàn)或測(cè)量的方法得到所求函數(shù) y=f(x) y=f(x) 在互異點(diǎn)在互異點(diǎn)x x0 0 , x ,

3、x1 1, . , x, . , xn n 處的值處的值 y y0 0 , y, y1 1 , , , , y yn n , ,構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)構(gòu)造一個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù) p(x) p(x) 作為函數(shù)作為函數(shù) y=f(x) y=f(x) 的近似表達(dá)式的近似表達(dá)式y(tǒng)= f(x) y= f(x) p(x) p(x)使使 p(xp(x0 0)=y)=y0 0 , p(x , p(x1 1)=y)=y1 1 , , , p(x, p(xn n)=y)=yn n , , (a)(a)這類問(wèn)題稱為這類問(wèn)題稱為插值問(wèn)題插值問(wèn)題。 f(x) f(x) 稱為稱為被插值函數(shù)被插值函數(shù)，p(x) p(x) 稱為稱為插值函數(shù)插

4、值函數(shù)， x x0 0 , x , x1 1, . , x, . , xn n 稱為稱為插值節(jié)點(diǎn)插值節(jié)點(diǎn)。(a)(a)式稱為式稱為插值條件插值條件。常用的插值函數(shù)是多項(xiàng)式。常用的插值函數(shù)是多項(xiàng)式。基本概念基本概念 估計(jì)估計(jì)f(x)f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,ba,b中某點(diǎn)中某點(diǎn) 的值的值時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng) 屬于包含結(jié)點(diǎn)屬于包含結(jié)點(diǎn) 的最小閉區(qū)間時(shí)，相應(yīng)的插值稱為內(nèi)插，否則的最小閉區(qū)間時(shí)，相應(yīng)的插值稱為內(nèi)插，否則稱為外插。稱為外插。 在某一逼近函數(shù)類中選取的一組線性無(wú)關(guān)的在某一逼近函數(shù)類中選取的一組線性無(wú)關(guān)的函數(shù)函數(shù) ，此時(shí)對(duì)應(yīng)的插值函數(shù)，此時(shí)對(duì)應(yīng)的插值函數(shù) 為：為： 由插值條件確定由插值條件確定函數(shù)組函

5、數(shù)組 稱為插值基函數(shù)。稱為插值基函數(shù)。 xxx012,nxxxx,0,1,2,iin px 0011( )nnp xcxcxcx(0,1,2, )ic in ,0,1, 2,ixin 最簡(jiǎn)單的插值函數(shù)是代數(shù)多項(xiàng)式最簡(jiǎn)單的插值函數(shù)是代數(shù)多項(xiàng)式 Pn(x)=a0+a1x+anxn, . (1)這時(shí)插值問(wèn)題變?yōu)檫@時(shí)插值問(wèn)題變?yōu)?求求n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式Pn(x),使?jié)M足插值條件使?jié)M足插值條件 pn(xi)=yi, i= 0,1,2,，n, (2) 只要求出只要求出Pn(x)的系數(shù)的系數(shù)a0 ,a1, an即可即可, ,為此由插值條件為此由插值條件(2)(2)知知P Pn n(x)(x)的系數(shù)滿足下列的

6、系數(shù)滿足下列n+1n+1個(gè)代數(shù)方程構(gòu)成的線性方程組個(gè)代數(shù)方程構(gòu)成的線性方程組 a0+a1x0+anx0n=y0 a0+a1x1+anx1n=y1 .a0+a1xn+anxnn=yn (3) 而而ai(i=0,1,2,n)的系數(shù)行列式是的系數(shù)行列式是Vandermonde行列式行列式 = (4)由于由于xi互異，所以互異，所以(4)右端不為零，從而方程組右端不為零，從而方程組(3)的解的解 a0 ,a1 ,an 存在且唯一。解出存在且唯一。解出ai(i=0,1,2,n), Pn(x)就可構(gòu)就可構(gòu)造出來(lái)了。但遺憾的是造出來(lái)了。但遺憾的是方程組方程組(3)是病態(tài)方程組是病態(tài)方程組,當(dāng)階數(shù)當(dāng)階數(shù)n越越

7、高時(shí)，病態(tài)越重高時(shí)，病態(tài)越重。為此我們從另一途徑來(lái)尋求獲得。為此我們從另一途徑來(lái)尋求獲得Pn(x) 的方法的方法-Lagrange插值和插值和Newton插值。插值。xxxxxxxxxxxxnn2nnn1211n0200n10.1.1.1),.,V(niijjixx110)(Lagrange插值插值 一、一、Lagrange插值多項(xiàng)式插值多項(xiàng)式 先從最簡(jiǎn)單的線性插值先從最簡(jiǎn)單的線性插值(n=1)(n=1)開始。這開始。這時(shí)插值問(wèn)題時(shí)插值問(wèn)題(2)(2)就是求一次多項(xiàng)式就是求一次多項(xiàng)式L1(x)=a0+a1x 使它滿足條件使它滿足條件L1(x0)=y0 , L1(x1)=y1 ,令令L1(x)=

8、l0(x)y0+l1(x)y1 ,由于由于l0(x0)=1, l0(x1)=0,l1(x0)=0, l1(x1)=1. 這樣這樣l0(x)含有因子含有因子x-x1, 令令 l0(x)=(x-x1), 再利用再利用 l0(x0)=1確定其中的系數(shù)，結(jié)果得到確定其中的系數(shù)，結(jié)果得到x-x1 l0(x)=- ,x0-x1類似的可得到類似的可得到 x-x0 l1(x)=- , x1-x0這樣這樣 。 (5) l0(x), l1(x)稱為以稱為以x0 , x1 為節(jié)點(diǎn)的為節(jié)點(diǎn)的插值基函數(shù)插值基函數(shù)。101001011)(yxxxxyxxxxxL 線性插值僅僅用兩個(gè)節(jié)點(diǎn)以上的信息，精確線性插值僅僅用兩個(gè)節(jié)

9、點(diǎn)以上的信息，精確度較差。為了提高精確度，我們進(jìn)一步考察以下度較差。為了提高精確度，我們進(jìn)一步考察以下三點(diǎn)的插值問(wèn)題三點(diǎn)的插值問(wèn)題： 作二次多項(xiàng)式作二次多項(xiàng)式 L2(x)=a0 + a1x + a2x2使其滿足條件使其滿足條件L2(x0)=y0 , L2(x1)=y1 , L2(x2)=y2令令 L2(x)=l0(x)y0 + l1(x)y1 + l2(x)y2 。由。由l0(x0)=1 , l0(x1)=0 , l0(x2)=0 ,l1(x0)=0 , l1(x1)=1 , l1(x2)=0 ,l2(x0)=0 , l2(x1)=0 , l2(x2)=1 .這樣這樣 l0(x)含有含有 x-

10、x1 , x-x2 兩個(gè)因子，令兩個(gè)因子，令 l0(x)=(x-x1)(x-x2) ,利用利用 l0(x0)=1 確定其中的系數(shù)確定其中的系數(shù)，得，得 (x-x1)(x-x2)l0(x)= - , (x0-x1)(x0-x2) 類似的可以得出類似的可以得出 l1(x) , l2(x) : (x-x0)(x-x2) (x-x0)(x-x1) l1(x)=- , l2(x)=- . (x1-x0)(x1-x2) (x2-x0)(x2-x1)于是于是 (x-x1)(x-x2)(x-x0)(x-x2) (x-x0)(x-x1) L2(x)=-y0 + -y1 + -y2 .(6) (x0-x1)(x0

11、-x2) (x1-x0)(x1-x2) (x2-x0)(x2-x1)l0(x) , l1(x) , l2(x) 稱為以稱為以 x0 , x1 , x2為節(jié)點(diǎn)的為節(jié)點(diǎn)的插值基函數(shù)插值基函數(shù)。 仿照線性插值和二次插值的辦法，仿照線性插值和二次插值的辦法， 進(jìn)一步討論一般形進(jìn)一步討論一般形式的式的 n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 Ln(x)=a0 +a1x +a2x2 + + anxn ,使其滿足使其滿足 Pn(x0)=y0 , Pn(x1)=y1 , . , Pn(xn)=yn (7)我們?nèi)詮臉?gòu)造我們?nèi)詮臉?gòu)造插值插值基函數(shù)基函數(shù)著手，先對(duì)某個(gè)固定的下著手，先對(duì)某個(gè)固定的下標(biāo)標(biāo) i，作，作 n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)

12、式 li(x) ,使其滿足條件使其滿足條件 (8)容易求得容易求得 (x-x0)(x-x1).(x-xi-1)(x-xi+1).(x-xn) li(x)=-= (xi-x0)(xi-x1).(xi-xi-1)(xi-xi+1).(xi-xn) 0,()1,ijijijl x0njjijijxxxx001110011100( )( )( )()().()().()( )()().()().()()innjjjnjjnnjjjjjjjjjnnnijijjiijxxxxxxxxxxlylLxxxxxyLxx xxxxxxxxxyxx 將代入中得 .(9)公式（公式（9）就是）就是Lagrange插值

13、多項(xiàng)式，插值多項(xiàng)式，li(x)稱為稱為以以x0 , x1,. , xn為節(jié)點(diǎn)的為節(jié)點(diǎn)的Lagrange插值基函數(shù)插值基函數(shù)。 二二 、 Lagrange插值的截?cái)嗾`差插值的截?cái)嗾`差定理定理: 設(shè)設(shè)Ln(x)是過(guò)點(diǎn)是過(guò)點(diǎn)x0 ，x1 ，x2 ，xn的的 n 次插次插值多項(xiàng)式，值多項(xiàng)式， ，f(n+1)(x)在在a，b上存上存在，其中在，其中a，b是包含點(diǎn)是包含點(diǎn)x0 ，x1 ，x2 ，,xn的任的任一區(qū)間，則對(duì)任意給定的一區(qū)間，則對(duì)任意給定的x a，b，總存在一點(diǎn)總存在一點(diǎn)（a，b）（依賴于）（依賴于x）使）使 (10)其中其中 ，f(n+1)( ) 是是f(x)的的n+1階微商在階微商在 的值

14、。的值。 ,)(baCxfn(1)1( )( )( )( )( )(1)!nnnnRxf xLxxnf101( )()().()nnxxxxxxx證明證明: 記記Rn(x) = f(x) - Ln(x) 顯然顯然 Rn(xi ) =0 ,i=0,1,n, 故可設(shè)故可設(shè)Rn(x)=K(x) n+1(x)現(xiàn)在現(xiàn)在a,b上任意固定一點(diǎn)上任意固定一點(diǎn)x,引進(jìn)輔助函數(shù)引進(jìn)輔助函數(shù) g(t)=f(t)- Ln(t)-K(x) n+1(t), (*)則則g(t)在在a,b上具有上具有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，在(a,b)內(nèi)存內(nèi)存在在n+1階導(dǎo)數(shù)，在階導(dǎo)數(shù)，在 t= x0, x1, xn, x諸點(diǎn)處皆等諸點(diǎn)

15、處皆等于零于零,即即g(t)在在a,b中有中有n+2個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn),由由Rolle定理定理知知g(t)在在a,b中有中有n+1個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn),如此反復(fù)，最后如此反復(fù)，最后可推知可推知g(n+1)(t)在在a,b中有中有1個(gè)零點(diǎn)個(gè)零點(diǎn), ，即有，即有 g(n+1)( )=0, a b.因 為因 為 n + 1( t ) 是是 n + 1 次 多 項(xiàng) 式 ，次 多 項(xiàng) 式 ， n+1(n+1)(t)=(n+1)!,又因?yàn)橛忠驗(yàn)長(zhǎng)n(t)是是次數(shù)次數(shù)為為n的多項(xiàng)式的多項(xiàng)式,因此因此Ln (n+1)(t) = 0 。這樣，由。這樣，由(*)式便有式便有 由此由此得得 K(x)=f(n+1)( )/(n+1

16、)! .代入代入Rn(x)=K(x) n+1(x),定理得證定理得證. ( 1)( 1)( 1)( 1)( )( )( )( )( ) 0nnnnngfLK x上式稱為帶余項(xiàng)的上式稱為帶余項(xiàng)的Lagrange插值公式插值公式,只要只要f(x)具有具有n+1階導(dǎo)階導(dǎo)數(shù)數(shù),就有上式成立就有上式成立,其余項(xiàng)為其余項(xiàng)為 特別，當(dāng)特別，當(dāng)n=1時(shí)，取時(shí)，取x0=a,x1=b，則有，則有令令x1-x0=b-a=h, x= x0+t h , 0 t 1 則則易證，當(dāng)易證，當(dāng)0 t 1時(shí)時(shí),|t(1-t)|的最大值為的最大值為1/4， 1(1)( )(1)!( )( )( )nnfnf xp xxabn )(

17、)(1)!1()()1(xxRnnfnn)(!2)()(21xfxR 22)1 ()(httx|)(|8|)(|)2(21fhxR 應(yīng)當(dāng)指出，余項(xiàng)表達(dá)式只有在應(yīng)當(dāng)指出，余項(xiàng)表達(dá)式只有在 f(x) 的高階導(dǎo)數(shù)存在的高階導(dǎo)數(shù)存在時(shí)才能應(yīng)用。時(shí)才能應(yīng)用。 在在 （a，b）內(nèi)的具體位置通常不可能）內(nèi)的具體位置通常不可能給出，如果我們可以求出給出，如果我們可以求出 那么插值多項(xiàng)式那么插值多項(xiàng)式pn(x)逼近逼近f(x)的截?cái)嗾`差是的截?cái)嗾`差是(11) 性質(zhì)：假設(shè)性質(zhì)：假設(shè)x0 ,x1,xn 是是n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)個(gè)互異節(jié)點(diǎn),函數(shù)函數(shù)f(x)在這在這組節(jié)點(diǎn)的值組節(jié)點(diǎn)的值f(xk)(k=0,1,n)是給定的，

18、那么存在唯一是給定的，那么存在唯一的的n 次次多項(xiàng)式次次多項(xiàng)式pn (x)滿足滿足 pn (xk)=f(xk), k=0,1,nMfnnbxax1)1)(max)()!1(11)(xnnMxRnn例題：例題： 已給已給sin0.32=0.314567,sin0.34=0.333487, sin0.36=0.352274, 用線性插值及拋物插值計(jì)算用線性插值及拋物插值計(jì)算 sin0.3367 的值并估計(jì)截?cái)嗾`差。的值并估計(jì)截?cái)嗾`差。 解：解： 由題意取由題意取x0=0.32, y0=0.314567 , x1=0.34 ,y1=0.333487 , x2=0.36 , y2=0.352274 。

19、 用線性插值及拋物插值計(jì)算，取用線性插值及拋物插值計(jì)算，取 x0=0.32 及及 x1=0.34 , 又由公式得又由公式得 y1 - y0sin0.3367 L1(0.3367)=y0+(0.3367 -x0) x1 - x0 0.01892=0.314567+ (0.0167) =0.330365 . 0.02其截?cái)嗾`差得其截?cái)嗾`差得其中其中 ，因，因 f(x)=sinx，f/(x)= -sinx，可取可取，于是，于是 R1(0.3367) = sin 0.3367 L1(0.3367) 1/2(0.3335)(0.0167)(0.0033) 0.92 105，若取若取x1=0.34，x2=

20、0.36為節(jié)點(diǎn)，則線性插值為為節(jié)點(diǎn)，則線性插值為，)(2)(1021xxMRxxx)(/10max2xfxxxM330387. 0)0033. 0(02. 0018787. 0333487. 0)3367. 0(3367. 010.3367sin112121)(xxxyyyL3335. 0)(110)(max2xSinxxxxSinM其截?cái)嗾`差為其截?cái)嗾`差為，其中其中于是于是 用拋物插值計(jì)算用拋物插值計(jì)算 sin0.3367時(shí)，可得時(shí)，可得)(2)(2121xxMxxxR3523.0)(/102maxxfMxxx51036.1)0233.0)(0023.0)(3523.0(21)3367.0(

21、3367.0sin)3367.0(11LR330374. 00008. 0105511. 0352274. 00004. 01089. 3333487. 00008. 0107689. 0314567. 0)3367. 0()()()()()()(3367. 0sin4442120210221012012010210yLxxxxxxyxxxxxxyxxxxxxxxxxxx這個(gè)結(jié)果與六位有效數(shù)字的正弦函數(shù)表完全一樣，這說(shuō)明這個(gè)結(jié)果與六位有效數(shù)字的正弦函數(shù)表完全一樣，這說(shuō)明查表時(shí)用二次插值精度已相當(dāng)高了。其截?cái)嗾`差得查表時(shí)用二次插值精度已相當(dāng)高了。其截?cái)嗾`差得其中其中于是于是828. 0)(0co

22、s/20max3xxMfxxx62210178. 0)0233. 0)(033. 0)(0167. 0)(828. 0(61)3367. 0(3367. 0sin)3367. 0(LR)()(6| )(21031|xxxxxxxMR2022-3-2例例2: 已測(cè)得某地大氣壓強(qiáng)隨高度變化的一組數(shù)據(jù)已測(cè)得某地大氣壓強(qiáng)隨高度變化的一組數(shù)據(jù)高度高度(m) 0 100 300 1000 1500 2000 .壓強(qiáng)壓強(qiáng) (kgf/m2) 0.9689 0.9322 0.8969 0.8515 0.7984 0.7485 試用二次插值法求試用二次插值法求1200米處的壓強(qiáng)值米處的壓強(qiáng)值.解：設(shè)解：設(shè)x為高度

23、，為高度，y為大氣壓強(qiáng)的值，為大氣壓強(qiáng)的值， 選取選取(1000,0.8515) ,(1500,0.7984), (2000,0.7485)三點(diǎn)構(gòu)造二三點(diǎn)構(gòu)造二次插值多項(xiàng)式次插值多項(xiàng)式 (x-x1)(x-x2) (x-x0)(x-x2) (x-x0)(x- x1) p2(x)=- - y0 + - y1 + - y2 (x0- x1)(x0-x2) (x1 -x0)(x1 -x2) (x2-x0)(x2- x1)代入已知的數(shù)值，得代入已知的數(shù)值，得 p2(1200)=0.8515(1200-1500)(1200- 2000)/(1000-1500)(1000-2000)+0.7984(1200

24、-1000)(1200-2000)+0.7485(1200-1000)(1200-1500)/(2000-1000)(2000-1500)=300*800*0.8515/500/1000+200*800*0.7984/500/500-200*300*0.7485/500/1000=0.82980所以所以 y(1200) p2(1200)= 0.82980 (kgf/m2) 用代數(shù)多項(xiàng)式作為研究插值的工具，就是所謂的代數(shù)用代數(shù)多項(xiàng)式作為研究插值的工具，就是所謂的代數(shù)插值。插值。 對(duì)代數(shù)插值來(lái)說(shuō)，問(wèn)題的提法是這樣的，當(dāng)給出了對(duì)代數(shù)插值來(lái)說(shuō)，問(wèn)題的提法是這樣的，當(dāng)給出了n+1個(gè)點(diǎn)上的一張函數(shù)表后，要

25、構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式個(gè)點(diǎn)上的一張函數(shù)表后，要構(gòu)造一個(gè)多項(xiàng)式p(x)，滿，滿足下面兩個(gè)條件：足下面兩個(gè)條件： (1) p(x)是一個(gè)不超過(guò)是一個(gè)不超過(guò) n 次的多項(xiàng)式；次的多項(xiàng)式； (2) 在給定的點(diǎn)在給定的點(diǎn)xi( I =0,1, ,n)上與上與 f(xi)取相同值，取相同值，即即 p(xi)=yi (I=0,1, ,n)。 我們稱我們稱p(x) 為為 f(x) 的的，點(diǎn)，點(diǎn) xi 為為。 插值函數(shù)是計(jì)算方法的基本工具。插值函數(shù)是計(jì)算方法的基本工具。若若 n 次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式 li(x) (i=0,1, ., n)在在n+1個(gè)節(jié)點(diǎn)個(gè)節(jié)點(diǎn) x0 x1 . xn上滿足條上滿足條件件就稱這就稱這n+1個(gè)個(gè)

26、n次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式l0(x), l1(x), ,ln(x) 為節(jié)點(diǎn)為節(jié)點(diǎn)x0，x1，,xn上的上的0,()( ,0,1,., )1,ijiji jnijl x ：若在：若在a，b上用上用pn(x)近似近似 f（x）, 則截?cái)嗾`差為則截?cái)嗾`差為 Rn(x)=f(x) -pn(x) , 也稱為插值多也稱為插值多項(xiàng)式的項(xiàng)式的。 =xxxxxxxxxxxxnn2nnn1211n0200n10.1.1.1),.,V(niijjixx110)(形如形如的插值多項(xiàng)式的插值多項(xiàng)式Ln(x)稱為稱為。0( )( )nj jnjxy lxL插值基函數(shù)性質(zhì)插值基函數(shù)性質(zhì)(1)10001( )( )( )( ) 1(

27、 )(1)!( ) 10( )nnnnininniiiiL xRxfl xxnl xl x 0( )nkkiiil xxx0()( 1)kkkjjkjiijkxxx xj 則有：則有：0000000()( )( 1) ( )( 1)( 1)(0(1)nnkkkjjkjiiiiiijkkkjkjkjkjjnjjiiijkkkjjkxx l xx xl xjkkxxjjkxx l xxj Newton插值 拉格朗日插值多項(xiàng)式形式對(duì)稱，計(jì)算較方便但由于拉格朗日插值多項(xiàng)式形式對(duì)稱，計(jì)算較方便但由于p(x)依賴于全部基點(diǎn)，若算出所有依賴于全部基點(diǎn)，若算出所有p(x)后又需要增加基點(diǎn)后又需要增加基點(diǎn)，則必

28、須重新計(jì)算，為了克服這個(gè)缺點(diǎn)，我們引進(jìn)牛頓，則必須重新計(jì)算，為了克服這個(gè)缺點(diǎn)，我們引進(jìn)牛頓差商插值多項(xiàng)式。差商插值多項(xiàng)式。 為了使為了使Newton插值多項(xiàng)式具有承襲性，令插值函數(shù)具插值多項(xiàng)式具有承襲性，令插值函數(shù)具有下列形式：有下列形式：式中式中稱為稱為Newton插值基函數(shù)。為求出插值基函數(shù)。為求出Nn(x),利用插值條件，利用插值條件，我們先給出差商概念。我們先給出差商概念。001 110011( )()()()()nnnonnN xccccc x xc x xx xx x01( )1,( )()( ), 11iixxxxxini 差商及其性質(zhì)差商及其性質(zhì)定義給定一個(gè)函數(shù)表定義給定一個(gè)函

29、數(shù)表記記 一般的一般的, f(x)關(guān)于關(guān)于xi,xi+1,xi+k的的k 階差商記作階差商記作 fxi,xi+1,xi+k )(.)()(.1010nnxfxfxfxxx時(shí)當(dāng)其中jixxji,.,.,1 ,0),(nixfxfii的零階差商。關(guān)于稱為ixxf)(fxi的一階差商定義為關(guān)于xiixxf,)(1iixff1i1i1iixxfxx,xii 1i ki 1i 2i kii 1i k-1kx,x ,.,xfx ,x ,.,xx,x ,.,xxiiffx 定理定理:差商具有如下性質(zhì)差商具有如下性質(zhì) (1)差商與函數(shù)值的關(guān)系為差商與函數(shù)值的關(guān)系為 (2)差商的值與結(jié)點(diǎn)排列順序無(wú)關(guān)差商的值與結(jié)

30、點(diǎn)排列順序無(wú)關(guān)0101(),.,()nininifxfxxxx00, , ,ijnjinf xxxxf xxxx 01(3)( ) , , , , , ,nf xa bnx xxa ba b設(shè)在上有 階導(dǎo)數(shù), 且 則存在使下式成立。!)(,.,)(10nxxxffnn,)(10101000nnxxxfcxxfcxfxfc10010012010011,( )(),(),()(),()()()onnnncccNxf xf xxxxf xxxxxxxf xxxxxxxx將代入得到：，)()(,)()()(,)()(,)()()()(1010101000100100kkkkxxxxxxxxfxNxNx

31、xxxfxNxxxxfxfxNxfxN 因此，每增加一個(gè)結(jié)點(diǎn)，因此，每增加一個(gè)結(jié)點(diǎn)，NewtonNewton插值多插值多項(xiàng)式只增加一項(xiàng)，克服了項(xiàng)式只增加一項(xiàng)，克服了 LagrangeLagrange插值的插值的缺點(diǎn)。缺點(diǎn)。 必須注意，n次代數(shù)插值問(wèn)題的解是存在且唯一的，因此，Newton插值與Lagrange 插值只是形式上不同，若將它們按x的冪展開，所得的多項(xiàng)式是完全一樣的。x xy yf f X Xi i, ,X Xj j f f X Xi i, ,X Xj j, ,X Xk k f f X X0 0, ,X X1 1, , , ,X Xn n X X0 0 Y Y0 0X X1 1 Y

32、Y1 1 f f X X0 0, ,X X1 1 X X2 2 Y Y2 2 f f X X1 1, ,X X2 2 f f X X0 0, ,X X1 1, ,X X2 2 X X3 3 Y Y3 3 f f X X2 2, ,X X3 3 f f X X1 1, ,X X2 2, ,X X3 3 X Xn n Y Yn n f f X Xn n- -1 1, ,X Xn n f f X Xn n- -2 2, ,X Xn n- -1 1, ,X Xn n f f X X0 0, ,X X1 1, , , ,X Xn n 插插 商商 表表 例例1:給定數(shù)據(jù)表給定數(shù)據(jù)表f(x)=lnx數(shù)據(jù)表數(shù)

33、據(jù)表 xi 2.20 2.40 2.60 2.80 3.00f(xi) 0.78846 0.87547 0.95551 1.02962 1.09861 1.構(gòu)造差商表構(gòu)造差商表 2.用二次用二次Newton差商插值多項(xiàng)式，近似計(jì)算差商插值多項(xiàng)式，近似計(jì)算f(2.65)的值的值 3.寫出四次寫出四次Newton差商插值多項(xiàng)式差商插值多項(xiàng)式N4(x) 解解:差商表差商表 2.200.788462.400.875470.435052.600.955510.400100.0873752.80 1.029620.370550.0738750.022503.001.098610.344950.064000

34、.016460.00755iixf x1階差商2階差商3階差商4階差商073875. 037055. 002962. 180. 240010. 095551. 060. 287547. 040. 2二階差商一階差商iixfxN2(x)=0.87547+0.40010(x-2.40)-0.073875(x-2.40)(x-2.60) f(2.65) N2(2.65)N4(x)= 0.78846 +0.43505(x-2.20） - 0.087375(x-2.20)(x-2.40) +0.0225(x-2.20)(x-2.40)(x-2.60) -0.00755(x-2.20)(x-2.40)(x

35、-2.60)(x-2.80)1111,1 !miii mmyf xxmh111,1 !miii mmyf xxmh所以有： 121111111111,1 !1 !1!ii miii miii mi mimmiimmmmiimmimf xxf xxxf x xxxxyymhmhmhyym hym h結(jié)論成立。 0002001200112!nnnnyNxf xxxhyxxxxhyxxxxxxn h 01111 !nnnnRxRxthft ttn hn0,nx x余項(xiàng)為： 在實(shí)際問(wèn)題中，往往會(huì)遇到某函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中，往往會(huì)遇到某函數(shù)f(x) 是是用表格表示的，用通常的導(dǎo)數(shù)定用表格表示的，用通常的導(dǎo)數(shù)

36、定義無(wú)法求導(dǎo)，因此要尋求其他方法近似義無(wú)法求導(dǎo)，因此要尋求其他方法近似求導(dǎo)。插值法是我們找到的一個(gè)最簡(jiǎn)單求導(dǎo)。插值法是我們找到的一個(gè)最簡(jiǎn)單的方法的方法. 因?yàn)橛靡驗(yàn)橛胒(x)的代數(shù)插值的代數(shù)插值函數(shù)函數(shù)p(x)來(lái)代替來(lái)代替它，它，提醒我們用提醒我們用p(x) 的導(dǎo)的導(dǎo)數(shù)數(shù)來(lái)代替來(lái)代替f(x)導(dǎo)數(shù)作近似計(jì)算導(dǎo)數(shù)作近似計(jì)算。插值型求導(dǎo)公式插值型求導(dǎo)公式1(1)( )(1)!( )( )( )nnfnf xp xxabn 設(shè)設(shè)pn(x)是是f(x)的的過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)x0 ，x1 ，x2 ，xn a，b的的 n 次插值多項(xiàng)式，由次插值多項(xiàng)式，由Laglange插值余項(xiàng)知對(duì)插值余項(xiàng)知對(duì)任意給定的任意給定的x

37、a，b，總存在總存在如下關(guān)系式如下關(guān)系式:若取數(shù)值微分公式若取數(shù)值微分公式( )( )nfxpx(1)(1)11( )( )( )( )( )( )( )(1)!(1)!nnnnnnR xf xp xdxxndxnff誤差為誤差為:(1)1( )( )( )( )( )(1)!nniininiR xf xpxxnf(1)1(1)1( )( ),(1)!( )( )0,(1)!nnnnidxdxndxdxnff中 是未知的其誤差不能估計(jì)注意到在插值節(jié)點(diǎn)處此時(shí)的余項(xiàng)為:( )( )0,1,.,inifxpxin 因此插值型求導(dǎo)公式常用因此插值型求導(dǎo)公式常用于求節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值。于求節(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值。

38、常用的數(shù)值微分公式是常用的數(shù)值微分公式是n=1,2,3的插值型微分公式的插值型微分公式,如如:當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)時(shí),有有(2)112( )()()()()2!iiiiRxfxpxxf10110()()()()0,1iif xf xfxpxixx012020202012120012222203 ()4 ()()()()()()( )( )()4 ()3 ()()()f xf xf xfxp xxxf xf xfxpxxxf xf xf xfxp xxx 當(dāng)當(dāng)n=2時(shí)時(shí),有有v一.問(wèn)題描述 v二.定義v三.定理v四.構(gòu)造函數(shù)v五.例題v六.一般插值 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù)y=f(x)y=f(x)是在是在a,b

39、a,b上有一定上有一定光滑性的函數(shù)光滑性的函數(shù), ,在在x xo oxxn n處是處是n+1n+1個(gè)異個(gè)異點(diǎn)點(diǎn),f(x),f(x)在這些點(diǎn)上取值在這些點(diǎn)上取值y yo o.y.yn n. .求一求一個(gè)確定的函數(shù)個(gè)確定的函數(shù)p(x)p(x)在上面在上面n+1n+1個(gè)點(diǎn)上滿足個(gè)點(diǎn)上滿足p(xp(xi i)=y)=yi i i=0,1,n. i=0,1,n.這是最簡(jiǎn)單的插這是最簡(jiǎn)單的插值問(wèn)題值問(wèn)題, ,如果除了知道如果除了知道f(x)f(x)在插值基點(diǎn)上在插值基點(diǎn)上的取值外的取值外, ,還知道還知道f(x)f(x)在插值基點(diǎn)上的其在插值基點(diǎn)上的其他描述他描述( (如知道如知道f(x)f(x)在插值基

40、點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)在插值基點(diǎn)上的導(dǎo)數(shù)值值) )。如何來(lái)構(gòu)造插值函數(shù)呢。如何來(lái)構(gòu)造插值函數(shù)呢? ? f(x) 是區(qū)間是區(qū)間 a, b 上上 n+1個(gè)互異節(jié)點(diǎn)個(gè)互異節(jié)點(diǎn)a=x0 x1x2xn=b ， 定義在定義在a,b上的函數(shù)上的函數(shù)f(x) 在節(jié)在節(jié)點(diǎn)上滿足點(diǎn)上滿足 f(xi) = yi f(xi)=y i i=0,1,2n 求一個(gè)次數(shù)不高于求一個(gè)次數(shù)不高于2n+1次的插值多項(xiàng)式次的插值多項(xiàng)式H(x)滿足滿足2n+2個(gè)條件個(gè)條件 H(xi) = yi H (xi)= y i i=0,1,2n 若若H(x)存在，則稱為函數(shù)存在，則稱為函數(shù)f(x) 的的Hermite插值多項(xiàng)式。插值多項(xiàng)式。因?yàn)橐驗(yàn)?H(x

41、)是一個(gè)次數(shù)不高于是一個(gè)次數(shù)不高于2n+1次的多項(xiàng)式，常記為次的多項(xiàng)式，常記為H2n+1(x).定理一定理一:滿足插值條件滿足插值條件 H(xi)= yi H(xi)= yi i=0,1,2n 且次數(shù)不大于且次數(shù)不大于2n+1的多項(xiàng)式是唯一的。的多項(xiàng)式是唯一的。 定理二定理二 :f(x)在區(qū)間在區(qū)間a,b存在存在2n+2階導(dǎo)數(shù)階導(dǎo)數(shù),則其則其Hermite插值余項(xiàng)為插值余項(xiàng)為: 2121(22)21( )( )( )( )( )( , )(22)!nnnnRxf xHxfxa bn 101nnxxxxxxx 設(shè)設(shè)Hermite插值函數(shù)插值函數(shù) n n H2n+1(x) = Li(x) yi +

42、 hi(x) yi i=0 i=0 Li(x)，hi(x)都是不高于都是不高于2n+1次的次的多項(xiàng)式，類似多項(xiàng)式，類似Lagrange插值，利用插值，利用Hermite插值條件可得：插值條件可得： Li(xj)= ij hi(xj) = 0 Li(xj)=0 hi(xj)= ij i,j=0,1,2n 從而可設(shè)從而可設(shè) Li(x)= (aix+bi)li(x)2 hi(x)= (cix+di)li(x)2這里這里 l li i(x)(x)=(x-x=(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1) )(x-x(x-xi-1i-1)(x-x)(x-xi+1i+1) )(x-x(x-xn n) ) a

43、ai i,b,bi i ,c,ci i,d,di i為待定系數(shù)為待定系數(shù), ,分別由分別由L Li i(x(xi i)=1)=1 和和L Li i(x(xi i)=0)=0 及及h hi i(x(xi i)= 1)= 1 (i=0,1,2 (i=0,1,2,n),n)確定確定. .三次三次HermiteHermite插值函數(shù)的構(gòu)造插值函數(shù)的構(gòu)造(n=1,2n+1=3(n=1,2n+1=3) )已知數(shù)表：已知數(shù)表：x x x x0 0 x x1 1 y y y y0 0 y y1 1 y y y y0 0 y y1 1 求一個(gè)三次求一個(gè)三次HermiteHermite插值函數(shù)插值函數(shù)H H3 3

44、(x)(x). .解解: :H H3 3(x)=(x)=y y0 0L L0 0(x)+(x)+y y1 1L L1 1(x)+ (x)+ y y0 0h h0 0(x)+ (x)+ y y1 1h h1 1(x)(x) 對(duì)對(duì) x=xx=x0 0, ,有有 L L0 0(x(x0 0)=1 )=1 L L1 1(x(x0 0)=0)=0 h h0 0(x(x0 0)=0)=0 h h1 1(x(x0 0)=0)=0 L L0 0(x(x0 0)=0 )=0 L L1 1(x(x0 0)=0)=0 h h0 0(x(x0 0)=1 )=1 h h1 1(x(x0 0)=0)=0 對(duì)對(duì) x=xx=

45、x1 1, ,有有 L L0 0(x(x1 1)=0)=0 L L1 1(x(x1 1)=1 )=1 h h0 0(x(x1 1)=0)=0 h h1 1(x(x1 1)=0)=0 L L0 0(x(x1 1)=0)=0 L L1 1(x(x1 1)=0)=0 h h0 0(x(x1 1)=0)=0 h h1 1(x(x1 1)=1)=1 L L0 0(x)= (a(x)= (a0 0 x+bx+b0 0)(x-x)(x-x1 1) )2 2h h0 0(x)= a(x-x(x)= a(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1) )2 2解之得解之得L L0 0(x)=1+2(x)=1+2* *(x-x(x-x0 0)/(x)/(x1 1-x-x0 0)(x-x)(x-x1 1)/(x)/(x0 0-x-x1 1)2 2h h0 0(x)=(x-x(x)=(x-x0 0)(x-x)(x-x1 1)/(x)/(x0 0-x-x1 1)2 2同理有同理有L L1 1(x)=1+2(x)=1+