《量子力學》復習提綱

1、量子力學復習提綱第一章 緒論1、德布洛意假設：德布洛意假設的內容，德布洛意關系，戴維孫-革末電子衍射實驗的結果。ivr(p×r-Et)2、德布洛意平面波：yvp=Aeh3、光的波動性和粒子性的實驗證據。第二章 波函數和薛定諤方程1量子力學中用波函數描寫微觀體系的狀態(tài)。2波函數統計解釋：r*yydt=y()yr,t若粒子的狀態(tài)用描寫，r2dt表示在t時刻，空間r處體積元dt內找到粒子的幾率（設y是歸一化的）。3態(tài)疊加原理：設y1的線性疊加 ,y2,LynL是體系的可能狀態(tài)，那么，這些態(tài)y=åcynnn也是體系的一個可能狀態(tài)。y=若體系處于åcynnny,y態(tài)，我們講

2、體系部分處于12,LynL態(tài)。4波函數隨時間的變化規(guī)律由薛定諤方程給出： ih¶y¶t=-h2vV(r)2mv2Ñy+V(r,t)y 當勢場不顯含t時，其解是定態(tài)解vv-iEthvyn(r,t)=yn(r)en,yn(r)滿足定態(tài)薛定諤方程 Hyn=Enynéh22ùvH=ê-Ñ+V(r,t)ú2mëû 其中定態(tài)薛定諤方程即能量算符的本征方程。（全）5波函數的歸一化條件：òy2dt=1。相對幾率分布：y(r)cy(r)，vv波函數常數因子不定性；相位因子不定性。6波函數標準條件：波函數

3、一般應滿足三個基本條件：連續(xù)性，有限性，單值性。vihj=yÑy2m7幾率流密度(*-yÑy*)與幾率密度r=yy*滿足連續(xù)性方程¶r¶tv+Ñ×j=00<x<ax£0或x³aì0,V(x)=íî¥,8一維無限深方勢阱En=nph2ma2222 ,n=1,2,3,L本征值ì2npxsin,ïyn=íaaï0,î本征函數0<x<ax£0或x³aìï0,V(x)=&#

4、237;ïî¥,若En=nph8ma2222x<ax³a則本征值n=1,2,3,.x³ax<aì1npsin(x+a),ïyn=ía2aï0,î本征函數ì0,V=íî¥,9三維無限深方勢阱0<x<a,0<y<b,0<z<c其余，可以用分離變量法求解得到 本征值En1n2n3=222phæn1本2mç+2ça2bèn222n3ö+2÷,c÷&

5、#248;n1、n2、n3=1,2,3,L函阱內阱外征數ìn3pxn1pxn2px8sinsinsin,vïyn1n2n3(r)=íabcabcï0,î10一維諧振子V=12mwx221öæEn=çn+÷hw2øè本征值，n=0,1,2,Ly=Nnen本征函數Nn=-a12x22Hn(ax) a2n!n,a=mwh11、可以用分離變量法求解得到（在笛卡爾坐標中）三維各向同性諧振子的能級和波函數。Enxnynz3öæ=çnx+ny+nz+÷hw2&

6、#248;ènx,ny,nz=0,1,2,Lynxnynz =NnxNnyNnze-a22r2Hnx(ax)Hny(ay)Hnz(az)第三章 量子力學中的力學量1量子力學中的力學量用線性厄米算符表示并且要求該算符的本征函數構成完備系。2.厄米算符A的定義：òyAjdr=*vv*(Ay)jdrò厄米算符的本征值是實數。厄米算符的屬于不同本征值的本征函數一定正交。力學量算符的本征函數系滿足正交、歸一、完備、封閉等條件。3力學量的測量值：在力學量F的本征態(tài)中測量F，有確定值，即它的本征值； 在非F的本征態(tài)f中測量F，可能值是F的本征值。將f(x)用算符F的正交歸一的本

7、征函數展開：則在f(x)態(tài)中測量力學量F結果在l®l+dlf(x)=åcynnn(x)+òclyl(x)dx得到結果為ln的幾率為cncl22，得到范圍內的幾率為=lnyndl。=lylyn F*yFl*cn=òyn(x)f(x)dx,cl=òyl(x)f(x)dx力學量的平均值是F=F=òf(x)Ff(x)dx2*或ålnncn2+òlcldl4 連續(xù)譜的本征函數可以歸一化為d函數。5簡并：屬于算符的某一個本征值的線性無關的本征函數有若干個，這種現象稱為簡并。算符的屬于本征值ln的線性無關的本征函數有f個，我簡并

8、度：F的第n個本征值ln是f度簡并。 們稱Fvp6 動量算符的本征函數(即自由粒子波函數)yvp=(2ph)-32evvip×rhyò正交歸一性*vp¢vvvvv(r)dt=d(p-p¢)(r)yp7 角動量z分量Lz=-ih¶¶j12peimj本征函數ym(j)=,m=0,±1,±2,L¢=mhLz的本征值 Lz8 平面轉子（設繞z軸旋轉）H=Lz2I2哈密頓量 能量本征態(tài) 能量本征值 9 (L2=-h2d222Idjimjm=0,±1,±2,Lym(j)=12p2e,Em=mh2I

9、2lm,Lz)有共同的本征函數球諧函數Y(q,j)：Ylm(q,jNlm=)=(-1)NlmPlmm(cosq)e,imjl-m!(2l+1)!4pl+m!2(l=0,1,2,L;2m=0,±1,±2,L,±l)=l(l+1)hYlm(q,jLYlm(q,j)LzYlm(q,j)=mhYlm(q,j)1v=0，角動量L為守恒量。vv中心力場中，勢場V(r)=V(r),L,H10中心力場中，定態(tài)薛定諤方程2éh21¶2ùL-r+V(r)êúy=Ey222mrû ë2mr¶r選(H,L,L

10、z2)為體系的守恒量完全集，其共同的本征函數為y(r,q,j)=R(r)Ylm(q,j)=0,1,2,L,m=l,l-1,L,-l l11氫原子 E=En=-me2h2421n2=-e2122an,n=1,2,3,L a=h2me(玻爾半徑）ynlm(r,q,j)=Rnl(r)Ylm(q,j)2能級簡并度 fn=nehm2mc=-mBm,軌道磁矩旋磁比類氫離子Mz=-mB=eh2mcBohr磁子 MLzz=Mzmh=-e2mc En=-me2h42Zn22dF12 守恒力學量的定義：若變化），則稱F為守恒量。 dt=0（即力學量F的平均值不隨時間力學量F的平均值隨時間的變化滿足dFdt=1ih

11、F,H+¶F¶t因而力學量F為守恒量的條件為：¶F¶t=0 ， 且 F,H=013宇稱算符rry(rP)=y(-r)宇稱算符的定義：，本征值，本征函數。AB-BA14 對易式定義： A,Bº15 對易式滿足的基本恒等式：A,B+C=A,B+A,CA,BC=BA,B+A,BCAB,C=AB,C+A,CBA,B,C+B,C,A+C,A,B=0（Jacobi恒等式）16 一些重要的對易關系： xa,xb=0,pa,éxbùêúL,pbú=eabgihêaêLbúû

12、; ëpb=0,xa,pb=ihdabìxgïípgïîLgxLx,Ly=ihLz,2s,sy=ihsz,2J,Jax,Jy=ihJzL,L=0,s2a,sa=0,J=017若算符A、B對易，即A,B=0，則A和B有共同的本征函數系。在A和B的共同的本征函數表示的態(tài)中測量A、B，都有確定值。若算符A、B不對易，即A,B¹0，則必有(DA)×(DB)1222³12A,B簡記為DA×DB³A,B特別地， DxDpx³h2第四章 態(tài)和力學量的表象1 Q表象是以Q的本征函數系un(x

13、)為基底的表象，在這個表象中，有Qun(x)=Qnun(x)y=åa(t)u(x)nnæa1(tçça2(ty=çLçça(tèn)ö÷)÷÷,÷)÷øy+=a1(t),(*a2(t),*L,an(t)*)算符F對應一個矩陣（方陣），矩陣元是Fnm=òunFumdx*，選定表象后，算符和量子態(tài)都用矩陣表示。 平均值公式是F歸一化條件是y+=yFy+，y=I， 。+本征值方程是Fy=ly2 在量子力學中，兩個表象之間的變換是幺正變換，滿足

14、S態(tài)的變換是b=的本征值。3量子態(tài)可用狄拉克符號右矢A=S-1；Sa+；算符的變換是F¢=SFS+。幺正變換不改變算符或左矢A表示。狄拉克符號的最大好處是它可以不依賴于表象來闡述量子力學理論，而且使用十分方便。基矢的完備性：ånnn=I,òdxxx=I,坐標表象 狄拉克符號(1)Fy(x,t)=f(x,t)(2)ih¶¶tFyih¶¶t=fy(x,t)=Hy(x,t)y=Hy(3)Hun(x)=Enun(x)(4)òum(x)un(x)dx=dmn(5)y(x)=(6)cn=(7)F=(8)òy*Hn=E

15、nnmn=dmnåcn*nun(x)y=åcnnnòun(x)y(x)dxcn=nyF=Fyòy(x)Fy(x)dx(x)y(x)dx=1y=14粒子占有數表象以線性諧振子的粒子數算符N或者哈密頓H的本征態(tài)n為基矢的表象。æmwöa=ç÷2hèø12產生算符：a=ç÷è2hø+(ximw)p湮滅算符：æmwö-(ximw)p粒子數算符：N=aa+1ö1öæ+æH=hwçaa+÷

16、=hwçN+÷2ø2ø， èèan=nn-1an=+n+1n+1第五章 微擾理論1定態(tài)微擾理論適用范圍：求分立能級及所屬波函數的修正。適用條件是：一方面要求H0的本征值和本征函數已知或較易計算，另一方面又要求H0把H的主要部分盡可能包括進去，使剩下的微擾H¢比較小，以保證微擾計算收斂較快，即¢HnkE(0)k-E(0)n<<1（1）非簡并情況H=H0+H¢Ek=Ek(0)¢+Hkkå'En¢Hnk(0)k2(0)n-E(0)n+Lyk=y(0)k+

17、9;n'¢HnkE(0)k-Eny(0)+L（2）簡并情況 能級的一級修正由久期方程¢-Ekdmn=0detHmn(1)即¢-EkH11¢H21LH¢fk1(1)¢H12¢-EkH22LH¢fk2(1)LLLLH¢ff¢fH1k¢fH2kLff=0(1)-Ek給出。Ek(1)有fk個實根，記為Eka,(1)a=1,2,L,fk¢nå(Hmn=1fk，(1)分別把每一個根E(1)ka代入方程-Ekadmnan=0)，即可求得相應的解，記為aan，于是得出新的零

18、級波函數åaannkn=fkn相應能量為Ek=Ek(0)+Eka(1)2變分法選擇嘗試波函數f(l)，計算H的平均值H，它是變分參量l的dH函數，由極值條件的上限。 3由k®mdl=0l0定出l0，求出H(l0)，它表示基態(tài)能量的躍遷幾率是Wk®m(t)=a(t)m2=1h2t2ò¢eiwmktdt¢Hmk¢此公式適用的條件是Wk®m(t)<<1，對于m¹k4周期性微擾：光的吸收和發(fā)射，選擇定則等。第七章 自旋與全同粒子1電子自旋假設的兩個要點：sz=±h2（a）； （b）ms=-v

19、evsmcæmseöç÷或=çsmc÷èø內稟磁矩的值即玻爾磁子的值： msg=mB=eh2mcgL=1因子（回轉磁比值）： gs=2,斯特恩蓋拉赫實驗，v(yr,h2)öæv÷y(r,sz)=çvçy(r,-h2)÷èø的意義及其歸一化。 2旋量波函數rræaövy(r,sz)=f(r)c(sz)=f(r)ççb÷÷èø自旋與軌道無耦合時：æ0&

20、#246;÷÷è1øsz=±h2的本征態(tài)：a=c1(ss)=ççæaöèøæ1ö÷,÷è0øb=c-1(ss)=ç2ç一般自旋態(tài)：c(ss)=ççb÷÷=aa+bb3自旋算符與Pauli矩陣x=sy=sz=1sìsxsïísysïssîzyzxvvvs´s=ihs,hvvs=s2222（單位算符）=2is=2

21、is=2iszxy-sys-szs-sxsxyzìsxsïísysïssîzæ0=ççièyzx+sys+szs+sxsxyz=0=0=0æ1=çç0è0ö÷-1÷øsxæ0=çç1è1ö÷s÷0ø, 1ö÷0÷ø， 0ö÷1÷øy-iö÷s

22、7;0ø,zhæ0Sx=ç2çè1hæ0Sy=ç2çèi-iö÷0÷ø，hæ1Sz=ç2çè00ö÷-1÷ø12=3h2æçSç04è4總角動量在中心力場V(r)（例如Coulomb場）中運動的電子的相對論波動方程（Dirac方程），在非相對論極限下，Hamilton量中將出現一項自旋軌道耦合作用vvìx(r)s×Lï

23、11dVíx(r)=22ï2mcrdrî22）的共同本征態(tài)，而空間角度2電子的能量本征態(tài)可選為（H,L,J,Jz部分與自旋部分的波函數則可取為（Lfljmìj=l+12í(q,j,sz)îj=l-1222,J,Jz2）的共同本征態(tài):j(l¹0)本征值分別為l(l+1)h,j(j+1)h,mjh(mj=j,j-1,L,-j)5. 堿金屬原子光譜的雙線結構 由于x(r)s×Lvv項的存在，使得Enlj=l+1/2>Enlj=l-1/2。例如o3p1/2®3s1/2(5896A)oNa： 3p3/2®3s1/2還可以解釋反常塞曼效應。(5890A)6兩個電子的自旋單態(tài)與三重態(tài)7. 兩個角動量的耦合vvvvvJ,JJ=J+J12也是角動量。 若12是兩個獨立的角動量，則(J(J2121,J2,J,Jz,J1z,J2,J2z=222)j1j2jm,(耦合表象基矢