分形維度和Hurst指數(shù)的實驗分析

1、分形維度和Hurst指數(shù)的實驗分析    韓忠玲1,2  李明1（1華東師范大學信息科學技術(shù)學院，上海200062；2石河子大學信息科學與技術(shù)學院，石河子832000）     摘  要  在統(tǒng)計自仿射模型中，分形維度和Hurst指數(shù)之間存在著線性關(guān)系。但也有很多統(tǒng)計模型允許分形維度和Hurst指數(shù)的任意組合。所以，判斷那種模型更符合實際問題是十分必要的。本文對四組實際的以太網(wǎng)流量序列的分形維度和Hurst指數(shù)做了實驗分析，并得出網(wǎng)絡流量數(shù)據(jù)應采用分形維度和Hurst指數(shù)相分離的模型的

2、結(jié)論。    關(guān)鍵詞  自相似；長相關(guān)；分形維度；Hurst指數(shù)；估計  1 引言    如果一個隨機信號x(t)的統(tǒng)計特性是自相似的（過程x(ct)和cH x(t)具有相同的有限維聯(lián)合分布），即它在被放大或縮小時其統(tǒng)計特性不變，則它被稱為（統(tǒng)計）自相似的，也稱為隨機分形。若該隨機信號x(t)具有平穩(wěn)的增量，則稱x(t)是一個具有平穩(wěn)增量過程的自相似過程（H-sssi）。當0 < H < 1時，高斯H-sssi過程稱為分數(shù)布朗運動（Fractional Brown motion, FBM）。若0.5 &

3、lt; H < 1，則序列具有長相關(guān)性（Long Range Dependence, LRD）。對FBM過程周期地進行采樣然后計算一階差分，可以得到分形高斯噪聲（Fractional Gaussian Noise, FGN），它是一個平穩(wěn)序列。實際的網(wǎng)絡流量表現(xiàn)出長相關(guān)性，Hurst指數(shù)H是描述業(yè)務長相關(guān)性的重要參數(shù)，F(xiàn)GN是目前最為廣泛的一種網(wǎng)絡流量自相似模型1,2。    數(shù)學家Hausdoff在1919年提出了連續(xù)空間的概念，也就是空間維數(shù)是可以連續(xù)變化的，它可以是整數(shù)也可以是分數(shù)，稱為Hausdoff維數(shù)，即分形維度，記作D。它在一般情況下是一個分數(shù)

4、。FBM的分形維度D與它的Hurst指數(shù)H之間滿足以下關(guān)系             （1-1）    其中N為分形數(shù)，r為分形成線段的尺寸比例。當0 < H < 1時，D = 2-H。    實際工作中，D和H這兩個參數(shù)都是十分重要的，從而值得研究下列的問題：（1）對于實際以太網(wǎng)網(wǎng)絡流量而言，是否滿足D = 2-H？（2）是否存在更符合實際的以太網(wǎng)網(wǎng)絡流量的統(tǒng)計模型？本文針對這兩個問題，結(jié)合實際

5、以太網(wǎng)流量數(shù)據(jù)對D和H的關(guān)系做出進一步的論述。    3。我們將對這四組數(shù)據(jù)的D和H分別做出估計，并對結(jié)果進行分析。2  自相似隨機過程模型    平穩(wěn)高斯隨機過程x(t)，它的自相關(guān)函數(shù)為：     （2-1）    當h0時，自相關(guān)函數(shù)有如下的漸近形式            （2-2）    它表現(xiàn)了x(

6、t)的局部特性，可以定義分形維度為：D = 2-/2。如果在延時很大的時候，它的自相關(guān)函數(shù)c(h)是呈冪級數(shù)形式緩慢衰減，即當|h|時，               （2-3）    它表現(xiàn)了x(t)的全局特性，即長相關(guān)特性。可以定義Hurst指數(shù)為：H = 1-/2。FGN是一個平穩(wěn)自仿射隨機過程，它的自相關(guān)函數(shù)為：   （2-4）    此時H(1/2， 1)。對于一個自仿

7、射模型，局部特性可以完全由全局特性反應出來，所以D和H間存在著線性關(guān)系，D = 2-H。    相對于上面介紹的自仿射模型，這里給出一種D和H相分離的統(tǒng)計模型柯西類模型4。這類模型的自相關(guān)函數(shù)可以表示為：       （2-5）    自相關(guān)函數(shù)可以是(0，2和 0的任意組合。如果 0，c(h)在h0和|h|時的漸進性滿足（2-2）、（2-3）式。因此，隨機過程的分形維度D和Hurst指數(shù)H就可以分別由和計算出來。還有一些其它D和H相分離的統(tǒng)計模型，這里就不詳細介紹了。3 &

8、#160;研究思路3.1 經(jīng)驗變量圖法（Empirical Variogram）估計分形維度D4,5    如果一個隨機過程Z(x)的增量過程Ih = Z(x) -Z(x + h): xRn對所有的延時向量h都是平穩(wěn)的，那么Z(x)就被稱為固有平穩(wěn)的，它的變量圖（variogram）可以定義為：    （3-1）    增量h和變量圖r(h)之間存在著如下的尺度關(guān)系：    （3-2）    當上面的尺度關(guān)系應用在平穩(wěn)隨機過程中時，這個平穩(wěn)隨機過

9、程的自相關(guān)函數(shù)就滿足（2-2）式。我們將r(h)和h畫在雙對數(shù)圖(log-log plot)中，用最小二乘法做直線擬和，所擬和直線的斜率為。3.2 用小波法（Wavelet Method）估計Hurst指數(shù)6    小波法在時域和頻域都可以使用，以離散小波變換和多分辨率分析（Multi-resolution Analysis）為基礎，將序列x(t)分為近似值（低頻部分）和細節(jié)（高頻部分），分別用ax和dx表示?？梢酝ㄟ^線性分析，在半對數(shù)圖中計算H值       (3-3)   

10、; 上式中，n0是數(shù)據(jù)長度，c是有限常數(shù)。4  實驗結(jié)果與討論    N524288的真實以太網(wǎng)流量數(shù)據(jù)。分別對這四組數(shù)據(jù)估計它們的分形維度和Hurst指數(shù)。            圖2  用經(jīng)驗變量圖法對四組數(shù)據(jù)估計的分形維度      圖3  用小波法對四組數(shù)據(jù)估計的Hurst參數(shù)    我們將這四組數(shù)據(jù)的D和H的值以及它們的和列于表1。我們可以從實驗數(shù)據(jù)中得出，對于自仿射統(tǒng)計模型中

11、的分形維度和Hurst指數(shù)之間存在D = 2-H的結(jié)論與實際的以太網(wǎng)流量數(shù)據(jù)是不相符合的，而柯西類模型中相分離的分形維度和Hurst參數(shù)則能更好的擬合以太網(wǎng)網(wǎng)絡流量的真實統(tǒng)計特性。表1  四組數(shù)據(jù)的分形維度、Hurst指數(shù)及二者之間的關(guān)系 pAug89.TLpOct89.TLOct89Ext.TLOct89Ext4.TL分形維度D1.93251.79401.87561.9154Hurst指數(shù)H0.96980.97490.96190.9753D + H2.90232.76892.83752.89075   結(jié)語    本文簡單

12、的介紹了分形高斯噪聲的兩個重要參數(shù)分形維度D和Hurst指數(shù)H，并且給出了分形高斯噪聲自相關(guān)函數(shù)的兩種不同的統(tǒng)計模型D和H線性相關(guān)的統(tǒng)計模型和D和H分離的統(tǒng)計模型模型（柯西類模型）。通過對實際網(wǎng)絡流量數(shù)據(jù)的分析，我們可以得出這樣的結(jié)論：對于真實的以太網(wǎng)流量而言，分形維度和Hurst指數(shù)之間是兩個獨立影響隨機序列統(tǒng)計特性的變量。所以（2-5）式的自相關(guān)函數(shù)模型更適合實際的問題。參考文獻1 W. E. Leland, M. S. Taqqu, W. Willinger, and D. V. Wilson, On the self-similar nature of Ethernet traffic

13、 (extended version)J. IEEE/ACM Transactions on Networking, 2 (2) 1994, 1-152 M. E. Crovella and A. Bestavros, Explaining World Wide Web Traffic Self-Similarity, Technical Report TR-95-015, October 12, 19953 Ming Li, W. Zhao, W. Jia, D.-Y. Long, and C.-H. Chi, Modeling autocorrelation functions of se

14、lf-similar teletraffic in communication networks based on optimal approximation in Hilbert spaceJ, Applied Mathematical Modelling, 27 (3) 2003, 155-1684 Tilmann Geniting, Martin Schlather, Stochastic Models That Separate Fractal Dimension and Hurst EffectJ, SIAM review(Print) 46:22, 2004, 269-2825 T

15、ilmann Gneiting. Zoltán Sasvári Martin Schlather, Analogies and Correspondences Between Variograms and Covariance Functions. NRCSE. Technical Report Series. NRCSE-TRS No. 056. October 12, 2000, 617-6306 G. W. Wornell, Wavelet-Based Representations for the 1/f Family of Fractal ProcessesJ, Pro