直線與平面平行的判定和性質(zhì)經(jīng)典練習(xí)及詳細(xì)答案

1、直線、平面平行的判定及其性質(zhì)1. 下列命題中，正確命題的是 .若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi)，則l;若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都平行；如果兩條平行直線中的一條直線與一個(gè)平面平行，那么另一條直線也與這個(gè)平面平行；若直線l與平面平行，則l與平面內(nèi)的任意一條直線都沒(méi)有公共點(diǎn).2. 下列條件中，不能判斷兩個(gè)平面平行的是 （填序號(hào)）.一個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行于另一個(gè)平面一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線平行于另一個(gè)平面一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線平行于另一個(gè)平面一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面 答案 3. 對(duì)于平面和共面的直線m、n，下列命題中假命題是 （填序號(hào)）.若m，mn，則n若m，n，則m

2、n若m，n，則mn若m、n與所成的角相等，則mn 答案 4. 已知直線a,b,平面，則以下三個(gè)命題：若ab,b,則a;若ab,a,則b;若a,b,則ab.其中真命題的個(gè)數(shù)是 . 答案 05. 直線a/平面M,直線bM,那么a/b是b/M的 條件.A.充分而不必要 B.必要而不充分 C.充要 D.不充分也不必要6. 能保證直線a與平面平行的條件是A. B.C. D.且7. 如果直線a平行于平面,則 A.平面內(nèi)有且只有一直線與a平行 B.平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線與a平行C.平面內(nèi)不存在與a平行的直線 D.平面內(nèi)的任意直線與直線a都平行8. 如果兩直線ab,且a平面,則b與的位置關(guān)系 A.相交 B. C.

3、D.或9. 下列命題正確的個(gè)數(shù)是 10. （1）若直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi),則l（2）若直線l與平面平行,則l與平面內(nèi)的任意一直線平行（3）兩條平行線中的一條直線與一個(gè)平面平行,那么另一條也與這個(gè)平面平行（4）若一直線a和平面內(nèi)一直線b平行,則aA.0個(gè) B.1個(gè) C.2個(gè) D.3個(gè)11. b是平面外的一條直線，下列條件中可得出b是A.b與內(nèi)的一條直線不相交 B.b與內(nèi)的兩條直線不相交C.b與內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線不相交 D.b與內(nèi)的所有直線不相交12. 已知兩條相交直線a、b，a平面，則b與的位置關(guān)系A(chǔ).b B.b與相交 C.b D.b或b與相交13. 如圖所示，已知S是正三角形ABC所在平面外

4、的一點(diǎn)，且SA=SB=SC，SG為SAB上的高，D、E、F分別是AC、BC、SC的中點(diǎn)，試判斷SG與平面DEF的位置關(guān)系，并給予證明.解 SG平面DEF，證明如下：方法一：三角形中位線 連接CG交DE于點(diǎn)H，如圖所示.DE是ABC的中位線，DEAB.在ACG中，D是AC的中點(diǎn)，且DHAG.H為CG的中點(diǎn).FH是SCG的中位線，F(xiàn)HSG.又SG平面DEF，F(xiàn)H平面DEF，SG平面DEF.方法二： 平面平行的性質(zhì)EF為SBC的中位線，EFSB.EF平面SAB，SB平面SAB，EF平面SAB.同理可證，DF平面SAB，EFDF=F，平面SAB平面DEF，又SG平面SAB，SG平面DEF.14. 如圖

5、所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H分別是BC、CC1、C1D1、A1A的中點(diǎn).求證：（1）BFHD1；（2）EG平面BB1D1D；（3）平面BDF平面B1D1H.證明 平行四邊形的性質(zhì)，平行線的傳遞性（1）如圖所示，取BB1的中點(diǎn)M，易證四邊形HMC1D1是平行四邊形，HD1MC1.又MC1BF，BFHD1.（2）取BD的中點(diǎn)O，連接EO，D1O，則OE DC，又D1G DC，OE D1G，四邊形OEGD1是平行四邊形，GED1O.又D1O平面BB1D1D，EG平面BB1D1D.（3）由（1）知D1HBF，又BDB1D1，B1D1、HD1平面HB1D1，BF、BD平面BD

6、F，且B1D1HD1=D1，DBBF=B，平面BDF平面B1D1H.15. 如圖所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，M、N分別是BC和A1B1的中點(diǎn).求證：MN平面AA1C1C.證明 方法一：平行四邊形的性質(zhì)設(shè)A1C1中點(diǎn)為F，連接NF，F(xiàn)C，N為A1B1中點(diǎn)，NFB1C1，且NF=B1C1，又由棱柱性質(zhì)知B1C1 BC，又M是BC的中點(diǎn)，NF MC，四邊形NFCM為平行四邊形.MNCF，又CF平面AA1C1，MN平面AA1C1，MN平面AA1C1C.方法二：三角形中位線的性質(zhì)連接AM交C1C于點(diǎn)P，連接A1P，M是BC的中點(diǎn)，且MCB1C1，M是B1P的中點(diǎn)，又N為A1B1中點(diǎn)，MNA1P，

7、又A1P 平面AA1C1，MN平面AA1C1，MN平面AA1C1C.方法三：平面平行的性質(zhì)設(shè)B1C1中點(diǎn)為Q，連接NQ，MQ，M、Q是BC、B1C1的中點(diǎn)，MQ CC1，又CC1平面AA1C1C， MQ 平面AA1C1C，MQ平面AA1C1C .N、Q是A1B1、B1C1的中點(diǎn)，NQA1C1，又A1C1平面AA1C1C，NQ 平面AA1C1C，NQ平面AA1C1C .又MQNQ=B，平面MNQ平面AA1C1C，又MN平面MNQMN平面AA1C1C.16. 如圖所示，正方體ABCDA1B1C1D1中，側(cè)面對(duì)角線AB1，BC1上分別有兩點(diǎn)E，F(xiàn)，且B1E=C1F.求證：EF平面ABCD.方法一：平

8、行四邊形的性質(zhì)過(guò)E作ESBB1交AB于S，過(guò)F作FTBB1交BC于T，連接ST，則，且B1E=C1F，B1A=C1B，AE=BF，ES=FT又ESB1BFT，四邊形EFTS為平行四邊形.EFST，又ST平面ABCD，EF平面ABCD，EF平面ABCD.方法二：相似三角形的性質(zhì)連接B1F交BC于點(diǎn)Q，連接AQ，B1C1BC，B1E=C1F，B1A=C1B，EFAQ，又AQ 平面ABCD，EF平面ABCD，EF平面ABCD.方法三：平面平行的性質(zhì)過(guò)E作EGAB交BB1于G，連接GF，則，B1E=C1F，B1A=C1B，F(xiàn)GB1C1BC，又EGFG=G，ABBC=B，平面EFG平面ABCD，而EF平

9、面EFG，EF平面ABCD.17. 如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，設(shè)Q是CC1上的點(diǎn)，問(wèn)：當(dāng)點(diǎn)Q在什么位置時(shí)，平面D1BQ平面PAO？解 面面平行的判定當(dāng)Q為CC1的中點(diǎn)時(shí)，平面D1BQ平面PAO.Q為CC1的中點(diǎn)，P為DD1的中點(diǎn)，QBPA.P、O為DD1、DB的中點(diǎn)，D1BPO.又POPA=P，D1BQB=B，D1B平面PAO，QB平面PAO，平面D1BQ平面PAO.直線與平面平行的性質(zhì)定理18. 如圖所示，四邊形EFGH為空間四邊形ABCD的一個(gè)截面，若截面為平行四邊形.（1）求證：AB平面EFGH，CD平面EFGH.（2）若AB

10、=4，CD=6，求四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍.（1）證明 四邊形EFGH為平行四邊形，EFHG.HG平面ABD，EF平面ABD.EF平面ABC，平面ABD平面ABC=AB，EFAB.AB平面EFGH.同理可證，CD平面EFGH. (2)解 設(shè)EF=x（0x4），由于四邊形EFGH為平行四邊形，.則=1-.從而FG=6-.四邊形EFGH的周長(zhǎng)l=2(x+6-)=12-x.又0x4,則有8l12,四邊形EFGH周長(zhǎng)的取值范圍是（8，12）.19. 如圖所示，平面平面，點(diǎn)A，C，點(diǎn)B，D,點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，CD上，且AEEB=CFFD.（1）求證：EF;（2）若E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，

11、AC=4，BD=6，且AC，BD所成的角為60，求EF的長(zhǎng).（1）證明 兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，則交線平行；平行線分線段成比例方法 當(dāng)AB，CD在同一平面內(nèi)時(shí)，由，平面平面ABDC=AC，平面平面ABDC=BD，ACBD，AEEB=CFFD，EFBD，又EF,BD,EF.方法 當(dāng)AB與CD異面時(shí)，設(shè)平面ACD=DH，且DH=AC.，平面ACDH=AC，ACDH，四邊形ACDH是平行四邊形，在AH上取一點(diǎn)G，使AGGH=CFFD，又AEEB=CFFD，GFHD，EGBH，又EGGF=G，平面EFG平面.EF平面EFG，EF.綜上，EF.（2）解三角形中位線 如圖所示，連接AD，取AD的

12、中點(diǎn)M，連接ME，MF.E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，MEBD，MFAC，且ME=BD=3，MF=AC=2，EMF為AC與BD所成的角（或其補(bǔ)角），EMF=60或120，在EFM中由余弦定理得，EF=，即EF=或EF=.20. 正方形ABCD與正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各有一點(diǎn)P、Q，且AP=DQ.求證：PQ平面BCE.證明 方法一：平行四邊形的性質(zhì) 如圖所示，作PMAB交BE于M，作QNAB交BC于N，連接MN.正方形ABCD和正方形ABEF有公共邊AB，AE=BD.又AP=DQ，PE=QB，又PMABQN，PM QN，四邊形PMNQ為平行四邊形，PQMN.又MN平面B

13、CE，PQ平面BCE，PQ平面BCE.方法二：相似三角形的性質(zhì)如圖所示，連接AQ，并延長(zhǎng)交BC于K，連接EK，AE=BD，AP=DQ，PE=BQ，=又ADBK，=由得=，PQEK.又PQ平面BCE，EK平面BCE，PQ平面BCE.方法三：平面平行的性質(zhì) 如圖所示，在平面ABEF內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作PMBE，交AB于點(diǎn)M，連接QM.PMBE，PM平面BCE，即PM平面BCE，=又AP=DQ，PE=BQ，=由得=，MQAD，MQBC，又MQ平面BCE，MQ平面BCE.又PMMQ=M，平面PMQ平面BCE，PQ平面PMQ，PQ平面BCE.21. 如圖所示，正四棱錐PABCD的各棱長(zhǎng)均為13，M，N分別為PA，BD上的點(diǎn)，且PMMA=BNND=58.（1）求證：直線MN平面PBC；（2）求線段MN的長(zhǎng).（1）證明：方法一： 相似三角形的性質(zhì)連接AN并延長(zhǎng)交BC于Q，連接PQ，如圖所示.ADBQ，ANDQNB，=，又=，=，MNPQ，又PQ平面PBC，MN平面PBC，MN平面PBC. 方法二：平行四邊形的性質(zhì) 如圖所示，作MQAB交PB于Q，作NRAB交BC于R，連接QR.MQABNR，又，MQ NR，四邊形MNRQ為平行四邊形，MNQR.又QR平面PBC，MN平面PBC，MN平面PBC.方法三：平面平行的性質(zhì) 如圖所示，在平面