曲線擬合講義

1、7.3 曲線估計曲線估計即曲線擬合，恰當?shù)那€擬合方法可以準確而快速地反映出實際情況。在曲線估計中，一般首先繪制自變量和因變量間的散點圖，然后通過數(shù)據(jù)在散點圖中的分布特點選擇所要進行回歸分析的類型。確定函數(shù)關系后再進一步確定函數(shù)關系中的未知參數(shù)，并進行顯著性檢驗。曲線估計可以擬合許多常用的曲線關系，當變量之間存在可以使用這些曲線描述的關系時，我們便可以使用曲線回歸分析進行擬合。（一）曲線回歸分析的基本原理曲線回歸分析的基本任務是通過兩個相關變量x與y的實際觀測數(shù)據(jù)建立曲線回歸方程，以揭示x與y間的曲線聯(lián)系的形式。曲線回歸分析最困難和首要的工作是確定因變量y與自變量x之間曲線關系的類型。通常通過

2、兩個途徑來確定：(1)利用有關專業(yè)知識，根據(jù)已知的理論規(guī)律和實踐經(jīng)驗。例如，冪函數(shù)的形式能較好地表現(xiàn)生產函數(shù)；多項式方程能夠較好地反映總成本與總產量之間的關系等；(2)若沒有已知的理論規(guī)律和經(jīng)驗可利用，可在直角坐標系作散點圖，觀察實測點的分布趨勢與哪一類已知函數(shù)曲線最接近，然后再選用該函數(shù)關系式來擬合數(shù)據(jù)。對于可直線化的曲線函數(shù)類型，曲線回歸分析的基本過程是：先將x和（或）y進行變量轉換，然后對新變量進行直線回歸分析建立直線回歸方程并進行顯著性檢驗，最后將新變量還原為原變量，由新變量的直線回歸方程得出原變量的曲線回歸方程。還有一情況是找不到已知的函數(shù)曲線較接近數(shù)據(jù)的分布趨勢，這時可利用多項式回

3、歸，通過逐漸增加多項式的高次項來擬合，直到滿意為止。在實際問題中，用戶往往不能確定究竟該選擇何種函數(shù)模型更接近樣本數(shù)據(jù)，這時可以采用曲線估計的方法，其步驟如下： 1.根據(jù)實際問題本身特點，同時選擇幾種模型； 2.SPSS自動完成模型的參數(shù)估計，并顯示R2、F檢驗值、相伴概率值等統(tǒng)計量； 3.選擇具有R2統(tǒng)計量值最大的模型作為此問題的回歸模型，并作一些預測。（二）曲線回歸模型SPSS中的本質線性模型有：模型回歸方程變換后的線性方程一元曲線（linear）二次曲線（Quadratic）復合曲線（Compound）增長曲線（Growth）對數(shù)曲線（Logarithmic）三次曲線（Cubic）S曲線

4、（S）指數(shù)曲線（Exponential）逆函數(shù)（Inverse）冪函數(shù)（Power）邏輯函數(shù)（Logistic）SPSS曲線估計中，首先，在不能明確究竟哪種模型更接近樣本數(shù)據(jù)時，可在以上多種可選擇的模型中，選擇幾種模型；然后由SPSS自動完成模型的參數(shù)估計，并輸出回歸方程的顯著性檢驗F值和P值（Sig），判定系數(shù)等統(tǒng)計量。最后對模型進行取舍，選取最優(yōu)的模型，并進行預測分析。 （三）選擇最優(yōu)化模型的標準:(1)分析各模型的F檢驗值,看各方程是否達到顯著或極顯著,剔除那些不顯著的模型；(2)對表現(xiàn)為顯著或極顯著的模型,檢查模型系數(shù)的 t 檢驗值,不顯著的也予以剔除；(3)再列表比較模型的

5、決定系數(shù)R2值大小, R2值越大的,表示經(jīng)該代換后,曲線關系越密切；(4)選取R2值最大的模型作為最優(yōu)化模型。在這過程中,模型的R2值與模型系數(shù)t檢驗的計算,可借助計算機,這樣可大大減少研究者的工作量,而且增加計算結果的準確性,提高最后選擇的客觀性。實例操作：用曲線估計研究某公司10年中的收入與支出之間的關系數(shù)據(jù)文件“公司收入與支出調查表”Nd表示年度，x表示總收入，y表示支出 單位為億元Step1 【分析】【回歸】【曲線估計】Step2 將y（支出）選入因變量中，x（收入）選入自變量中，勾選估計的曲線模型95%的置信區(qū)間輸出結果與分析：選取R2值最大的模型作為最優(yōu)化模型。由擬合圖、表可以linear、cubic、Quadratic、compound、logistic和exponenbial幾種曲線的擬合度較高。SPSS22.0操作界面：數(shù)據(jù)輸入Step1 【分析】【回歸】【曲線估計】Step2 將y（支出）選入因變量中，x（收入）選入自變量中，勾選估計的曲線模型輸出結果與分析：