數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（2）

1、4.1 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（2）學(xué)習(xí)目標(biāo)：1. 理解數(shù)學(xué)歸納法的定義、數(shù)學(xué)歸納法證明基本步驟; 2. 會運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 重點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式.知識情景： 關(guān)于正整數(shù)n的命題(相當(dāng)于多米諾骨牌),我們可以采用下面方法來證明其正確性： 10. 驗證n取 時命題 ( 即n時命題成立) (歸納奠基） ； 20. 假設(shè)當(dāng) 時命題成立，證明當(dāng)n=k1時命題 (歸納遞推）. 30. 由10、20知，對于一切n的自然數(shù)n命題 ！(結(jié)論）要訣: 遞推基礎(chǔ) , 歸納假設(shè) , 結(jié)論寫明 . 數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用：例1. 求證：，其中，且 例2 已知數(shù)列的各項為正，且. （1）證明; （2）求數(shù)列的

2、通項公式.例3 (06湖南）已知函數(shù), 數(shù)列滿足: 證明: () ; () .例4 （09山東）等比數(shù)列的前n項和為, 已知對任意的, 點(diǎn)均在函數(shù) 且均為常數(shù))的圖像上. （1）求r的值； （11）當(dāng)b=2時，記 證明：對任意的 ，不等式成立選修4-5練習(xí) 4.1.2數(shù)學(xué)歸納法證明不等式（2） 姓名 1、正數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，當(dāng)n1,nN*且a、b、c互不相等時，試證明：an+cn2bn.2、正數(shù)a、b、c成等比數(shù)列，當(dāng)n1,nN*且a、b、c互不相等時，試證明：an+cn2bn.3、若n為大于1的自然數(shù)，求證：.4、（05遼寧）已知函數(shù), 設(shè)數(shù)列滿足， 滿足 （）用數(shù)學(xué)歸納法證明； （）

3、證明. 5、（05湖北）已知不等式為大于2的整數(shù)，表 示不超過的最大整數(shù). 設(shè)數(shù)列的各項為正，且滿足 證明: 6、(09廣東）已知曲線從點(diǎn)向曲線引斜率 的切線，切點(diǎn)為（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：.參考答案: 1. 關(guān)于正整數(shù)n的命題(相當(dāng)于多米諾骨牌),我們可以采用下面方法來證明其正確性： 10. 驗證n取第一個值時命題成立( 即n時命題成立) (歸納奠基） ； 20. 假設(shè)當(dāng)n=k時命題成立，證明當(dāng)n=k1時命題也成立(歸納遞推）. 30. 由10、20知，對于一切n的自然數(shù)n命題都成立！(結(jié)論） 要訣: 遞推基礎(chǔ)不可少,歸納假設(shè)要用到,結(jié)論寫明莫忘掉.例1.求證：，其中，且 分析：

4、此題是2004年廣東高考數(shù)學(xué)試卷第21題的適當(dāng)變形，有兩種證法 證法一：用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）當(dāng)m=2時，不等式成立（2）假設(shè)時，有，則 ， ，即 從而， 即時，亦有 由（1）和（2）知，對都成立證法二：作差、放縮，然后利用二項展開式和放縮法證明 當(dāng)，且時，例2（2005年江西第21題第（1）小題，本小題滿分12分） 已知數(shù)列 （1）證明 （2）求數(shù)列的通項公式an.分析：近年來高考對于數(shù)學(xué)歸納法的考查，加強(qiáng)了數(shù)列推理能力的考查。 對數(shù)列進(jìn)行了考查，和數(shù)學(xué)歸納法一起，成為壓軸題。解：（1）方法一 用數(shù)學(xué)歸納法證明：1當(dāng)n=1時， ，命題正確.2假設(shè)n=k時有 則 而 又 時命題也正確.由1、2

5、知，對一切nN時有方法二：用數(shù)學(xué)歸納法證明：1當(dāng)n=1時，； 2假設(shè)n=k時有成立， 令，在0，2上單調(diào)遞增， 所以由假設(shè)有： 也即當(dāng)n=k+1時 成立，所以對一切（2）下面來求數(shù)列的通項： 所以 則 又bn=1，所以 本題也可先求出第（2）問，即數(shù)列的通項公式，然后利用函數(shù) 的單調(diào)性和有界性，來證明第（1）問的不等式但若這樣做，則無 形當(dāng)中加大了第（1）問的難度， 顯然不如用數(shù)學(xué)歸納法證明來得簡捷例3（06 年湖南卷. 理 .19本小題滿分14分） 已知函數(shù),數(shù)列滿足: 證明:();(). 證明: （I）先用數(shù)學(xué)歸納法證明，1,2,3, (i).當(dāng)n=1時,由已知顯然結(jié)論成立. (ii).假

6、設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立,即.因為0x0成立.于是 故點(diǎn)評：不等式的問題常與函數(shù)、三角、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、幾何等數(shù)學(xué)分支交匯，綜合考查運(yùn)用不 等式知識解決問題的能力，在交匯中尤其以各分支中蘊(yùn)藏的不等式結(jié)論的證明為重點(diǎn). 需要靈活運(yùn)用各分支的數(shù)學(xué)知識.例4解(1) :因為對任意的,點(diǎn)，均在函數(shù)且均為常 數(shù)的圖像上.所以得,當(dāng)時,當(dāng)時,又因為為等比數(shù)列,所以,公比為,（2）當(dāng)b=2時，, 則, 所以 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式成立. 當(dāng)時,左邊=,右邊=,因為,所以不等式成立. 假設(shè)當(dāng)時不等式成立,即成立.則當(dāng)時,左邊=所以當(dāng)時,不等式也成立. 由、可得不等式恒成立. 【命題立意】:本題主要考查了等比數(shù)列的

7、定義,通項公式,以及已知求的基本題型, 并運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明與自然數(shù)有關(guān)的命題,以及放縮法證明不等式.練習(xí):1、試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列， 當(dāng)n1,nN*且a、b、c互不相等時，均有：an+cn2bn.分析：該命題意圖：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，考查的知識包括等差數(shù)列、等比 數(shù)列的性質(zhì)及數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的一般步驟. 技巧與方法：本題中使用到結(jié)論：(akck)(ac)0恒成立(a、b、c為正數(shù))，從而 ak+1+ck+1akc+cka.2.證明：(1)設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=,c=bq 0且q1) an+cn=+bnqn=bn(+qn)2bn(2)設(shè)a、b

8、、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想()n(n2且nN*) 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)n=2時，由2(a2+c2)(a+c)2， 設(shè)n=k時成立，即 則當(dāng)n=k+1時， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1) (ak+1+ck+1+akc+cka)= (ak+ck)(a+c)()k()=()k+1根據(jù)、可知不等式對n1,nN*都成立3、若n為大于1的自然數(shù)，求證：. 證明：(1)當(dāng)n=2時，(2)假設(shè)當(dāng)n=k時成立，即 所以：對于nN*，且n1時，有4、（05 年遼寧卷.19本小題滿分12分） 已知函數(shù)設(shè)數(shù)列滿足， 滿足 （）用數(shù)學(xué)歸納法證明； （）證明分析：本小題主要考查數(shù)列、等比數(shù)列、不

9、等式等基本知識，考查運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解決有關(guān)問題的能力 （）證明：當(dāng) 因為a1=1， 所以下面用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 （1）當(dāng)n=1時，b1=，不等式成立， （2）假設(shè)當(dāng)n=k時，不等式成立，即那么 所以，當(dāng)n=k+1時，不等也成立。根據(jù)（1）和（2），可知不等式對任意nN*都成立。 （）證明：由（）知， 所以 故對任意）5、（05年湖北卷.理22.本小題滿分14分） 已知不等式為大于2的整數(shù)，表示不超過的最大整數(shù). 設(shè)數(shù)列的各項為正，且滿足 （）證明（）猜測數(shù)列是否有極限？如果有，寫出極限的值（不必證明）；分析：本小題主要考查數(shù)列、極限及不等式的綜合應(yīng)用以及歸納遞推的思想.（）證法1：當(dāng)即 于

10、是有 所有不等式兩邊相加可得 由已知不等式知，當(dāng)n3時有，證法2：設(shè)，首先利用數(shù)學(xué)歸納法證不等式 （i）當(dāng)n=3時， 由 知不等式成立.（ii）假設(shè)當(dāng)n=k（k3）時，不等式成立，即則即當(dāng)n=k+1時，不等式也成立.由（i）、（ii）知，又由已知不等式得 （）有極限，且 （）則有故取N=1024，可使當(dāng)nN時，都有6、解：（1）設(shè)直線：，聯(lián)立得 ， 則，（舍去） ，即，（2）證明： 由于，可令函數(shù)，則，令，得，給定區(qū)間，則有，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即在恒成立， 又，則有，即.7、已知數(shù)列bn是等差數(shù)列，b1=1,b1+b2+b10=145.(1)求數(shù)列bn的通項公式bn;(2)設(shè)數(shù)列an的通項an=loga(1+)(其中a0且a1)記Sn是數(shù)列an的前n項和， 試比較Sn與logabn+1的大小，并證明你的結(jié)論.(1)解：設(shè)數(shù)列bn的公差為d,由題意得,bn=3n2(2)證明：由bn=3n2知 Sn=loga(1+1)+loga(1+)+loga(1+) =loga(1+1)(1+)(1+ ) 而logabn+1=loga,于是，比較Sn與logabn+1的大小 比較(1+1)(1+)(1+)與的大小. 取n=1，有(1+1)