無窮限反常積分?jǐn)可⑿约皩彅糠▌t教案

1、 無窮限反常積分?jǐn)可⑿约皩彅糠▌t 一、教學(xué)目標(biāo)分析 在開始本節(jié)課程學(xué)習(xí)之前，學(xué)生已經(jīng)對定積分有所了解，并初步掌握定積分的基本知識，本節(jié)通過介紹反常積分，加深學(xué)生對積分的了解，使同學(xué)對積分的了解更加系統(tǒng)化，并通過講解讓同學(xué)們減輕對積分的迷惑。讓學(xué)生反常積分在一些實(shí)際問題中的應(yīng)運(yùn)。二、學(xué)情/學(xué)習(xí)者特征分析 學(xué)生通過對前面課程的學(xué)習(xí)，對積分已經(jīng)有了初步的了解。但對于一些特殊積分或者有關(guān)實(shí)際問題的積分還是存在著一定的迷惑。由于本節(jié)內(nèi)容有點(diǎn)枯燥，所以要積極調(diào)動(dòng)學(xué)生的興趣，培養(yǎng)好課堂氣氛，使學(xué)生充分掌握本節(jié)課的內(nèi)容。三、學(xué)習(xí)內(nèi)容分析1.本節(jié)的作用和地位 通過對本節(jié)的學(xué)習(xí)來解決一些不屬于定積分的問題，這些問

2、題通常是一些實(shí)際問題。例如：常會遇到積分區(qū)間為無窮區(qū)間，或者被積函數(shù)為無界函數(shù)的積分等問題。2本節(jié)主要內(nèi)容1. 無窮限反常積分的定義與計(jì)算方法2. 無窮限反常積分的性質(zhì)3. 無窮限反常積分的比較審斂法則4. 條件收斂與絕對收斂3.重點(diǎn)難點(diǎn)分析教學(xué)重點(diǎn)：無窮限反常積分計(jì)算，無窮限反常積分的比較審斂法則；教學(xué)難點(diǎn)：無窮限反常積分的比較審斂法則。4.課時(shí)要求：2課時(shí)四、教學(xué)理念 學(xué)生在之前就已經(jīng)掌握了一定的知識，通過本節(jié)對學(xué)生的教學(xué)使學(xué)生進(jìn)一步了解反常積分，尤其是其在一些實(shí)際問題中的應(yīng)運(yùn)。五、教學(xué)策略在教學(xué)中主要講清反常積分的定義及其性質(zhì)，并適時(shí)舉例講解，引導(dǎo)學(xué)生互動(dòng)，相互討論解決問題。六

3、.教學(xué)環(huán)境網(wǎng)絡(luò)環(huán)境下的多媒體教室與課堂互動(dòng)。七、教學(xué)過程一、無窮限反常積分的定義 定義1 設(shè)函數(shù)定義在無窮區(qū)間)上，且在任何有限區(qū)間上可積如果存在極限 則稱此極限為函數(shù)在)上的無窮限反常積分(簡稱無窮積分)，記作，并稱收斂如果極限不存在，亦稱發(fā)散類似地，可定義在(上的無窮積分：對于在()上的無窮積分，它用前面兩種無窮積分來定義：其中為任一實(shí)數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)右邊兩個(gè)無窮積分都收斂時(shí)它才是收斂的 注： 收斂的幾何意義是：若在上為非負(fù)連續(xù)函數(shù)，則介于曲線，直線以及軸之間那一塊向右無限延伸的陰影區(qū)域有面積例1討論無窮積分，的收斂性 例2 討論下列無窮積分的收斂性：， 二、無窮積分的性質(zhì)由定義知道，無窮積分

4、收斂與否，取決于積分上限函數(shù)在時(shí)是否存在極限因此可由函數(shù)極限的柯西準(zhǔn)則導(dǎo)出無窮積分收斂的柯西準(zhǔn)則 定理11.1 無窮積分收斂的充要條件是：任給>0，存在G，只要，便有 此外，還可根據(jù)函數(shù)極限的性質(zhì)與定積分的性質(zhì)，導(dǎo)出無窮積分的一些相應(yīng)性質(zhì)性質(zhì)1 若與都收斂，,為任意常數(shù)，則也收斂，且 性 質(zhì) 2 若在任何有限區(qū)間)上可積，且有收斂，則亦必收斂，并有 證： 由收斂，根據(jù)柯西準(zhǔn)則(必要性)，任給，存在G，當(dāng)時(shí)，總有 . 利用定積分的絕對值不等式，又有 .再由柯西準(zhǔn)則(充分性)，證得收斂 又因，令 取極限，立刻得到不等式.當(dāng)收斂時(shí)，稱為絕對收斂性質(zhì)3指出：絕對收斂的無窮積分，它自身也一定收斂但

5、是它的逆命題不成立，稱收斂而不絕對收斂的無窮積分為條件收斂性質(zhì)3 若在任何有限區(qū)間上可積，則與同斂態(tài)(即同時(shí)收斂或同時(shí)發(fā)散)，且有=+, 性質(zhì)2相當(dāng)于定積分的積分區(qū)間可加性，由它又可導(dǎo)出收斂的另一充要條件：任給>，存在，當(dāng)>G時(shí)，總有事實(shí)上，這可由 結(jié)合無窮積分的收斂定義而得三、比較判別法 首先給出無窮積分的絕對收斂判別法由于關(guān)于上限是單調(diào)遞增的，因此收斂的充要條件是存在上界根據(jù)這一分析，便立即導(dǎo)出下述比較判別法： 定理11.2 (比較法則) 設(shè)定義在)上的兩個(gè)函數(shù)和都在任何有限區(qū)間上可積，且滿足 則當(dāng)收斂時(shí)必收斂(或當(dāng)發(fā)散時(shí)，必發(fā)散) 例3 討論的收斂性解：由于，而為收斂，故為絕

6、對收斂 當(dāng)選用作為比較對象時(shí)，比較判別法有如下兩個(gè)推論(稱為柯西判別法) 推論1 設(shè)定義于 ()，且在任何有限區(qū)間上可積，則有： (i)當(dāng) ,且時(shí), 收斂; (ii)當(dāng)且時(shí), 發(fā)散.推論2 設(shè)定義于)，在任何有限區(qū)間上可積，且則有：(i)當(dāng) 時(shí), 收斂;(ii)當(dāng) 時(shí), 發(fā)散.推論3 若和都在任何)上可積，且則有 (i)當(dāng)時(shí)，由收斂可推知也收斂；(ii)當(dāng)時(shí)，由發(fā)散可推知也發(fā)散.四、狄利克雷判別法與阿貝爾判別法這里來介紹兩個(gè)判別一般無窮積分收斂的判別法定理11.3 (狄利克雷判別法) 若在)上有界，在上當(dāng)時(shí)單調(diào)趨于，則無窮積分收斂 定理11.4 (阿貝爾(Abel)判別法) 若收斂，在)上單調(diào)

7、有界，則無窮積分收斂 用積分第二中值定理來證明狄利克雷判別法與阿貝爾判別法 例5 討論與的收斂性 解：這里只討論前一個(gè)無窮積分，后者有完全相同的結(jié)論下面分兩種情形來討論： (i)當(dāng)>1時(shí)絕對收斂這是因?yàn)?而當(dāng)>1時(shí)收斂，故由比較法則推知收斂.(ii)當(dāng)時(shí)條件收斂這是因?yàn)閷θ我?，有，而當(dāng)時(shí)單調(diào)趨于，故由狄利克雷判別法推知工當(dāng)時(shí)總是收斂的 另一方面，由于，其中是收斂的，而是發(fā)散的，因此當(dāng)時(shí)該無窮積分不是絕對收斂的所以它是條件收斂的 例6 證明下列無窮積分都是條件收斂的 證：前兩個(gè)無窮積分經(jīng)換元得到由例5知它們是條件收斂的對于第三個(gè)無窮積分，經(jīng)換元而得，它也是條件收斂的從例6中三個(gè)無窮積分的收斂性可以看到，當(dāng)