淺談積分在幾何中的應用

1、淺談積分在幾何中的應用學生姓名:張芳芳 學號:20085031252數(shù)學與信息科學學院 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)指導老師:沈明輝 職稱:博士摘 要: 積分在幾何中的應用多種多樣且技巧性強,為使學生靈活運用,熟練運用積分求幾何圖形中的體積和面積,本文將數(shù)學分析中積分在幾何中的應用系統(tǒng)的進行了歸納.分析積分在幾何中應用范圍和方法:由積分求面積,由積分求體積,.它對快速了解并應用積分求幾何有一定的意義.為了便于學生對定積分在幾何中的應用易掌握，作者通過多年的教學經(jīng)驗研究出了一種形象、直觀、易懂的教學方法：通過圖形來選擇定積分的上（下）限、積分變量、被積函數(shù)，最后求出圖形的面積或體積。關鍵詞: 二重積分;

2、三重積分; 定積分On the calculation of indefinite integralAbstract: Indefinite Integral method of calculating a variety of skills and strong, To allow flexibility in the use of students, skilled choice of integration method for calculating the indefinite integral, In this paper, mathematical analysis of var

3、ious methods of calculating the indefinite integral of the system is summarized . Analysis of the four basic indefinite integral solution: direct integration, the first element method for, element method for the second category, Integration division Its indefinite integral quickly solving a cer

4、tain degree of significance. Keywords: Indefinite Integral；for integral； distribution points引言 正如加法有其逆運算減法,乘法有其逆運算除法一樣.微分也有其逆運算積分法.它是研究求一個未知函數(shù)使其導函數(shù)恰好是某一已知函數(shù)。這個問題的提出首先是因為它的出現(xiàn)在許多實際問題之中。例如，已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲線上每一點的斜率（或某一點的斜率所滿足的條件）求曲線方程等。而這些問題的解決都與大家的日常生活息息相關。研究不定積分的方法,以后對生活,科研都有很大作用.1.預備知識1.1原函數(shù)

5、及不定積分的概念是函數(shù)的一個原函數(shù)，是指對定義在區(qū)間內(nèi)的已知函數(shù)，如果存在可導函數(shù)，使對于任意的，都有或的不定積分，是指的全體原函數(shù)（為任意常數(shù)）記作原函數(shù)存在定理: 連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).1.2不定積分的性質(zhì) 2.運用積分的求體積的方法及舉例2.1由平行截面面積求體積設為三維空間中的一立體，它夾在垂直于軸的兩平面與之間。為方便起見稱為位于的立體。若在任意一點處作垂直于軸的平面，它截得的截面面積顯然是的函數(shù)，記為，并稱之為的截面面積函數(shù)。由截面面積函數(shù)求的立體體積的一般公式為：。 例一：求由兩個圓柱面與所圍立體的體積。2.2換元積分法第一類換元積分法: 定義：設f(u)具有原函數(shù)F(u),即,

6、 .設u為中間變量: , 可微,則根據(jù)復合函數(shù)微分法,有.根據(jù)不定積分的定義,就有.即簡化為：設f(u)具有原函數(shù), 可導,則有換元公式 第一換元積分法（湊微分法）主要是處理復合函數(shù)求積分的方法, 它的基本思想是“變換積分變量, 使新的積分對于新的積分變量好求原函數(shù)”, 采用的手段是 “湊微分”, 將湊成, 如果說被積函數(shù)可以湊成這樣兩個因子的乘積（其中一個是的函數(shù), 另一個是的導數(shù)）, 方可使用第一換元積分法. 用第一換元法的目的：求出積分, 因此, 換元以后的積分必須容易求出積分. 一般地, 換元后的函數(shù)是積分基本公式中函數(shù)的形式或積分基本公式中函數(shù)的線性組合形式. 例題：例1: 求解:令

7、,則原積分=例2: 求解:令,則原積分= 方法總結題型： ;(a) ; ; ; ; ;(7) ; ； ； ； 第二類換元積分法 （變量代換法）： 定義：設是單調(diào)、可導函數(shù)，并且，又設具有原函數(shù)，則換元公式，其中是的反函數(shù) 例題： 求解:令， 則原積分 = 求（a>0）解：令，則原積分=3 求解：令，則原積分=2.3分部積分法 定理：（分部積分法）若和可導，不定積分存在，則也存在，并有 簡寫為： 規(guī)律：如果和選取不當就求不出結果，所以應用分布積分公式時恰當?shù)倪x取和是關鍵，選取和一般要考慮以下兩點：（1） 要容易求得；（2） 要比容易積出（3） 對于積分,u、v哪個函數(shù)放進d里面呢1.冪函數(shù)

8、與三角函數(shù)相乘(把三角函數(shù)積到d里,若等號兩邊不平,并進行配平)2.冪函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘(把指數(shù)函數(shù)積到d里,若等號兩邊不平,并進行配平)3.冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)相乘(把冪函數(shù)積到d里,若等號兩邊不平,并進行配平)4.三角函數(shù)與指數(shù)函數(shù)相乘(把三角函數(shù)積到d里,若等號兩邊不平,并進行配平) 例題：； 求和解：； ；解之得： 所以，。2.4有理函數(shù)和可化為有理函數(shù)的不定積分 定理（有理函數(shù)的不定積分）： 兩個多項式的商稱為有理函數(shù)，又稱有理式。當分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)時稱為真分式，否則稱為假分式。有理函數(shù)當n>=m,假分式=多項式+真分式;當n<m,真分式-若干個分式之和; 求解有理函

9、數(shù)的不定積分方法：第一步：對分母在實系數(shù)范圍內(nèi)分解：第二步：根據(jù)分母的各個因式分別寫出相應的部分分式：對每個形如的因式，它所對應的部分分式是對每個形如的因式，它所對應的部分分式是把所有的部分分式加起來，使之等于。第三步：確定待定系數(shù)：一般方法是將所有部分分式相加，所得分式的分母為原分母，而其余分子與原分子恒等。于是，得到一組待定系數(shù)的線形方程組，求解這個方程組。例題 求解：當k=1,原積分=；當k>1時，原積分=； 求解：令，原積分=當k=1時，（*）式=；當k>1時，（*）式的第一個不定積分為；記第二個不定積分為；用分部積分法導出遞推公式如下：所以，；重復使用遞推公式，最終歸結為計算，最后式求得，并令，就完成對不定積分的計算。2.5某些無理根式的不定積分類型舉例：型不定積分令，原積分可為有理函數(shù)的不定積分。型不定積分。因為，記，此二次三項式必屬于以下三種情形之