淺談中心極限定理論文

1、學年論文（本科）學 院 數(shù)學與信息科學 專 業(yè) 數(shù)學與應用數(shù)學 論文題目 淺談中心極限定理 2012 年 6 月 3 日目 錄摘要3關(guān)鍵詞3ABSTRACT3KEYWORDS3前言31獨立同分布下的中心極限定理31.1 林德伯格-萊維中心極限定理31.2 棣莫佛拉普拉斯定理42 獨立不同分布下的中心極限定理42.1 林德伯格中心極限定理43.中心極限定理案例分析7參考文獻9淺談中心極限定理摘要:中心極限定理表明,原來并不服從正態(tài)分布的獨立隨機變量.總和卻漸進于一個正態(tài)分布.對概率中三個重要的中心極限定理進行了論述,并給出一些簡單應用.關(guān)鍵詞: 中心極限定理;正態(tài)分布;概率;獨立隨機變量前言 中

2、心極限定理是概率中的重要內(nèi)容,它不僅提供了計算獨立隨機變量之和的近似概率的簡單方法,而且有助于解釋在現(xiàn)實中為什么很多數(shù)量指標都服從或近似服從正態(tài)分布這一事實,在現(xiàn)實應用中具有非常重要的意義.1 獨立同分布下的中心極限定理11.1 林德伯格-萊維中心極限定理設是獨立同分布的隨機變量序列,且存在,若記 則對任意實數(shù),有 (1.1)證明 為證(1.1)式,只需證的分布函數(shù)列弱收斂于標準正態(tài)分布,只需證的特征函數(shù)列收斂于標準正態(tài)分布的特征函數(shù).為此設的特征函數(shù)為,則的特征函數(shù)為又因為所以有于是特征函數(shù)有展開式從而有而為分布的特征函數(shù),定理得證.1.2 棣莫佛拉普拉斯定理設重伯努利試驗中,事件在每次試驗

3、中出現(xiàn)的概率為記為次試驗中事件出現(xiàn)的次數(shù),且記則對任意實數(shù),有2 獨立不同分布下的中心極限定理2.1 林德伯格中心極限定理2預備知識 設是一個相互獨立的隨機變量序列,他們具有有限的數(shù)學期望和方差: . 要討論隨機變量的和,我們先將其標準化,由于且記,則的標準化為若要求中各項均勻的小,即對任意的,要求事件發(fā)生的可能性極小,或直接要求其概率趨于0.為此,我們要求因為 若設為連續(xù)隨機變量,其密度函數(shù)為, 則上式右邊 .因此,只要對任意的有 , (2.1)即可保證中各項均勻的小.上述條件(2.1)稱為林德伯格條件.設相互獨立的隨機變量滿足林德伯格條件,則對任意的,有證明: 令,對應的特征函數(shù),則對應的

4、特征函數(shù)為,于是有,由于常數(shù)知 ,因為,故當,當充分大時,故知因而 當時,由知,上式的第二項與第三項趨于0,而第一項由林德伯格條件也趨于0.故對取定的,皆有,即,再有分布函數(shù)與特征函數(shù)的連續(xù)性定理,立知.因是一致連續(xù)函數(shù),故上式對一致的成立.3.中心極限定理案例分析案例一：中心極限定理在商業(yè)管理中的應用3水房擁擠問題：假設西安郵電學院新校區(qū)有學生5000人.只有一個開水房.由于每天傍晚打開水的人較多.經(jīng)常出現(xiàn)同學排長隊的現(xiàn)象.為此校學生會特向后勤集團提議增設水龍頭.假設后勤集團經(jīng)過調(diào)查.發(fā)現(xiàn)每個學生在傍晚一般有1的時間要占用一個水龍頭.現(xiàn)有水龍頭45個.現(xiàn)在總務處遇到的問題是：（1）未新裝水龍

5、頭前.擁擠的概率是多少？（2）至少要裝多少個水龍頭.才能以95以上的概率保證不擁擠？解：（1）設同一時刻.5000個學生中占用水龍頭的人數(shù)為.擁擠的概率是由定理2.,故即擁擠的概率（2）欲求m.使得即由于即查表即需裝62個水龍頭.問題的變形：（3）至少安裝多少個水龍頭.才能以99%以上的概率保證不擁擠？解：欲求m.使得即由即查表即故需要裝67個水龍頭.參考文獻1盛驟,謝式千,潘承毅 概率論與數(shù)理統(tǒng)計 M.北京:高等教育出版社.20052茆詩松,程依明,濮曉龍概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程M.北京:高等教育出版社.20113孔祥鳳.中心極限定理在管理中的應用J.現(xiàn)代商業(yè),2009,(4)4潘志剛,關(guān)于中心極限定理的