泊松分布的應(yīng)用

1、泊松分布的應(yīng)用泊松分布的應(yīng)用摘要泊松分布是指一個(gè)系統(tǒng)在運(yùn)行中超負(fù)載造成的失效次數(shù)的分布形式。它是高等數(shù)學(xué)里的一個(gè)概念,屬于概率論的范疇,是法國(guó)數(shù)學(xué)家泊松在推廣伯努利形式下的大數(shù)定律時(shí),研究得出的一種概率分布,因而命名為泊松分布。作為一種常見(jiàn)的離散型隨機(jī)變量的分布,泊松分布日益顯示其重要性,成為概率論中最重要的幾個(gè)分布之一。服從泊松分布的隨機(jī)變量是常見(jiàn)的,它常與時(shí)間單位的計(jì)數(shù)過(guò)程相聯(lián)系。在現(xiàn)實(shí)生活中應(yīng)用更為廣泛,如數(shù)學(xué)建模、管理科學(xué)、運(yùn)籌學(xué)及自然科學(xué)、概率論等等。并且在某些函數(shù)關(guān)系起著一種重要作用。例如線(xiàn)性的、指數(shù)的、三角函數(shù)的等等。本文對(duì)泊松分布產(chǎn)生的過(guò)程、定義和性質(zhì)做了簡(jiǎn)單的介紹，研究了泊松

2、分布的一些性質(zhì), 并討論了這些性質(zhì)在實(shí)際生活中的重要作用。關(guān)鍵詞：泊松過(guò)程；泊松分布；定義；定理；應(yīng)用；一、 計(jì)數(shù)過(guò)程為廣義的泊松過(guò)程1計(jì)數(shù)過(guò)程設(shè)為一隨機(jī)過(guò)程, 如果是取非負(fù)整數(shù)值的隨機(jī)變量,且滿(mǎn)足s < t時(shí),則稱(chēng)為計(jì)數(shù)過(guò)程。將增量,它表示時(shí)間間隔內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)?！霸趦?nèi)出現(xiàn)k個(gè)質(zhì)點(diǎn)”,即是一隨機(jī)事件,其概率記為總之,對(duì)某種隨機(jī)事件的來(lái)到數(shù)都可以得到一個(gè)計(jì)數(shù)過(guò)程,而同一時(shí)刻只能至多發(fā)生一個(gè)來(lái)到的就是簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)過(guò)程。2泊松過(guò)程計(jì)數(shù)過(guò)程稱(chēng)為強(qiáng)度為的泊松過(guò)程,如果滿(mǎn)足條件:(1)在不相重疊的區(qū)間上的增量具有獨(dú)立性;(2);(3)對(duì)于充分小的其中常數(shù),稱(chēng)為過(guò)程的強(qiáng)度。(4)對(duì)于充分小的t亦即對(duì)于充

3、分小的,在或2個(gè)以上質(zhì)點(diǎn)的概率與出現(xiàn)一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的概率相對(duì)可以忽略不計(jì)。了解泊松過(guò)程,就很容易去了解泊松分布的相關(guān)性質(zhì),其實(shí)泊松分布就是在泊松過(guò)程當(dāng)中每單位的時(shí)間間隔內(nèi)出現(xiàn)質(zhì)點(diǎn)數(shù)目的計(jì)數(shù)。二、 泊松分布的概念：泊松分布常用于描述單位時(shí)間、單位平面或單位空間中罕見(jiàn)“質(zhì)點(diǎn)”總數(shù)的隨機(jī)分布規(guī)律。定義1 設(shè)隨機(jī)變量的可能取值為且為常數(shù)。則稱(chēng)X服從參數(shù)為的泊松分布,記作X P() 。定義2設(shè)是任意一個(gè)隨機(jī)變量,稱(chēng)是的特征函數(shù)。主要結(jié)論：定理1 如果X 是一個(gè)具有以為參數(shù)的泊松分布,則E( X) = 且D(X) =。證明設(shè)X 是一隨機(jī)變量,若存在,則稱(chēng)它為X的方差,記作D( X) ,即。設(shè)X服從泊松分布P(X

4、) ,即有:則從而故定理2 設(shè)隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,其分布律為。又設(shè)是常數(shù),則。證明由得:顯然,當(dāng)k = 0 時(shí),故。當(dāng)k 1 且k 時(shí),有從而，故。定理3 設(shè)是服從參數(shù)為的泊松分布的隨機(jī)向量,則:證明已知的特征函數(shù)為,故的特征函數(shù)為:對(duì)任意的t ,有。于是。從而對(duì)任意的點(diǎn)列,有。但是是N (0 ,1) 分布的特征函數(shù),由于分布函數(shù)列弱收斂于分布函數(shù)F( x)的充要條件是相應(yīng)的特征函數(shù)列n ( t) 收斂于F( x) 的特征函數(shù)( t)。所以成立;又因?yàn)槭强梢匀我膺x取的,這就意味著成立。圖一 泊松分布示意圖三、 泊松分布及泊松分布增量1.泊松分布產(chǎn)生的一般條件在自然界和人們的現(xiàn)實(shí)生活中,經(jīng)常要

5、遇到在隨機(jī)時(shí)刻出現(xiàn)的某種事件,我們把在隨機(jī)時(shí)刻相繼出現(xiàn)的事件所形成的序列,叫做隨機(jī)事件流。若事件流具有平穩(wěn)性、無(wú)后效性、普通性,則稱(chēng)該事件流為泊松事件流(泊松流) 。例如一放射性源放射出的粒子數(shù);某電話(huà)交換臺(tái)收到的電話(huà)呼叫數(shù);到某機(jī)場(chǎng)降落的飛機(jī)數(shù);一個(gè)售貨員接待的顧客數(shù); 一臺(tái)紡紗機(jī)的斷頭數(shù);等這些事件都可以看作泊松流。2.泊松分布及泊松分布增量的概率(1)泊松分布的概率:對(duì)泊松流,在任意時(shí)間間隔(0, t)內(nèi),事件出現(xiàn)的次數(shù)服從參數(shù)為t的泊松分布,稱(chēng)為泊松流的強(qiáng)度。設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0, 1, 2, ,且概率分布為:其中是常數(shù),則稱(chēng)X服從參數(shù)為的泊松分布,記作XP ()。(2)泊過(guò)

6、分布增量的概率:由上式易知增量的概率分布是參數(shù)=的泊松分布,且只與時(shí)間有關(guān)。3.泊松分布的期望和方差：由泊松分布知特別地,令,由于假設(shè)N (0) = 0,故可推知泊松過(guò)程的均值函數(shù)和方差函數(shù)分別為：泊松過(guò)程的強(qiáng)度(常數(shù))等于單位長(zhǎng)時(shí)間間隔內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點(diǎn)數(shù)目的期望值。即對(duì)泊松分布有:四、 泊松分布的特征1泊松分布是一種描述和分析稀有事件的概率分布。要觀(guān)察到這類(lèi)事件,樣本含量n必須很大。2.是泊松分布所依賴(lài)的唯一參數(shù)。值愈小,分布愈偏倚,隨著的增大,分布趨于對(duì)稱(chēng)。3.當(dāng)= 20時(shí)分布泊松分布接近于正態(tài)分布;當(dāng)= 50時(shí),可以認(rèn)為泊松分布呈正態(tài)分布。在實(shí)際工作中,當(dāng)20時(shí)就可以用正態(tài)分布來(lái)近似地處理泊

7、松分布的問(wèn)題。五、泊松分布與二項(xiàng)分布、正態(tài)分布之間的關(guān)系1.二項(xiàng)分布與泊松分布之間的關(guān)系   定理(泊松定理)在n重伯努利試驗(yàn)中，事件A在每次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生的概率為Pn，它與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān)， ，則對(duì)任意給定的m，有 由該定理可知，當(dāng)二項(xiàng)分布b(n,p)的參數(shù)n很大，p很小，而=np大小適中時(shí)，實(shí)際中n>100，p<0.1，np<10時(shí)，二項(xiàng)分布可用參數(shù)為=np的泊松分布來(lái)近似，即  這就是二項(xiàng)分布的泊松逼近。當(dāng)然n應(yīng)盡可能地大，否則近似效果往往不佳。 二項(xiàng)分布的泊松近似常常被應(yīng)用于研究稀有事件(即每次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的概率p

8、很小)，當(dāng)伯努利試驗(yàn)的次數(shù)n很大時(shí)，事件發(fā)生的頻數(shù)的分布。實(shí)際表明，在一般情況下，當(dāng) p<0.1時(shí)，這種近似是很好的，甚至n不必很大都可以，這點(diǎn)從比較二項(xiàng)分布與泊松分布的概率分布表也可以看出。例如，當(dāng)p=0.01時(shí)，甚至n=2時(shí)，這種近似程度已經(jīng)很好了。表1說(shuō)明了這一情況，其中np=0.02。表一 二項(xiàng)分布與泊松分布的比較2.泊松分布與正態(tài)分布之間的關(guān)系 由定理1和定理2可知二項(xiàng)分布既可以用泊松分布近似，也可以用正態(tài)分布近似。顯然，泊松分布和正態(tài)分布在一定條件下也具有近似關(guān)系，下面的定理說(shuō)明泊松分布的正態(tài)逼近。     

9、;定理 對(duì)任意的a<b，有 ，其中如前文所述，二項(xiàng)分布的泊松近似和正態(tài)近似各自適用的條件是不同的。當(dāng)p很小時(shí)，即使n不是很大，用泊松分布近似二項(xiàng)分布，已經(jīng)相當(dāng)吻合。但是在這種倩形下，用正態(tài)分布去近似二項(xiàng)分布，卻會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。直觀(guān)上也可以想象得到，p很小，n又不大，則np=一定不會(huì)很大。由上述定理可知，正態(tài)分布就不能很好地近似泊松分布，因而也就不能近似被泊松分布十分逼近的二項(xiàng)分布。 在n充分大，P既不接近于0也不接近于1時(shí)(實(shí)際上最好滿(mǎn)足0.1<p<0.9)，用正態(tài)分布去近似二項(xiàng)分布，效果就較好。   表2是用泊松分布與正態(tài)

10、分布去近似二項(xiàng)分布b(n,p)的比較，其中，n=2500，p=0.02，np=50, 7?？梢?jiàn)，在數(shù)值上三者是大致相等的。表二 泊松分布、正態(tài)分布、二項(xiàng)分布的比較  由上述定理易知，泊松分布X（）當(dāng)極限分布是正態(tài)分布N(,)。 綜上所訴，二項(xiàng)分布b(n,p)的參數(shù)n很大，p很小，而=np大小適中時(shí)，二項(xiàng)分布可用參數(shù)為=np的泊松分布來(lái)近似；泊松分布泊松分布X（）當(dāng)充分大時(shí)的極限分布是正態(tài)分布N(,)，并且泊松分布的分布函數(shù)（）與正態(tài)分布的分布函數(shù)N(,)近似相等。六、 泊松分布的應(yīng)用1. 二項(xiàng)分布的泊松近似常常被應(yīng)用于研究稀有事件,即每次試驗(yàn)中事件出現(xiàn)的概率p很小,而貝努里

11、試驗(yàn)的次數(shù)n很大時(shí),事件發(fā)生的概率。例1 通過(guò)某路口的每輛汽車(chē)發(fā)生事故的概率為p = 0.0001 ,假設(shè)在某路段時(shí)間內(nèi)有1000 輛汽車(chē)通過(guò)此路口,試求在此時(shí)間內(nèi)發(fā)生事故次數(shù)X的概率分布和發(fā)生2次以上事故的概率。分析首先在某時(shí)間段內(nèi)發(fā)生事故是屬于稀有事件,觀(guān)察通過(guò)路口的1000輛汽車(chē)發(fā)生事故與否,可視為是n = 1000次伯努里試驗(yàn),出現(xiàn)事故的概率為p = 0.0001 ,因此X是服從二項(xiàng)分布的,即。由于n = 1000很大,且p = 0.0001很小,上面的式子計(jì)算工作量很大,則可以用:求近似.注意到,故有.2. 泊松分布可以計(jì)算大量試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)頻數(shù)的概率。這里的頻數(shù)指在相同條件下,

12、 進(jìn)行大量試驗(yàn),在這大量試驗(yàn)中,稀有事件發(fā)生的次數(shù)。例2 已知患色盲者占0.25 %,試求: 為發(fā)現(xiàn)一例色盲者至少要檢查25人的概率; 為使發(fā)現(xiàn)色盲者的概率不小于0.9 ,至少要對(duì)多少人的辨色力進(jìn)行檢查?分析設(shè)X表示恰好發(fā)現(xiàn)一例患色盲者所需要檢查的人數(shù),則。解設(shè)至少對(duì)n 個(gè)人的辨色能力進(jìn)行檢查,于是p xn0.9。從而:由,得.因此至少要檢查920人。3.泊松分布在生物學(xué)中的應(yīng)用： 在生物學(xué)研究中, 服從泊松分布的隨機(jī)變量是常見(jiàn)的，如每升飲水中大腸桿菌數(shù), 計(jì)數(shù)器小方格中血球數(shù), 單位空間中某些野生動(dòng)物或昆蟲(chóng)數(shù)等都是服從泊松分布的。泊松分布在生物學(xué)領(lǐng)域中有著廣闊的應(yīng)用前景，對(duì)生物學(xué)中所涉及到的

13、概率研究起到了重要的指導(dǎo)作用。例3：泊松分布在估計(jì)一個(gè)基因文庫(kù)所需克隆數(shù)中的應(yīng)用判斷基因克隆過(guò)程的分布情況：由于基因組DNA是從大量細(xì)胞中提取的, 每個(gè)細(xì)胞中均含有全部基因組DNA, 那么每一種限制性片段的數(shù)目是大量的, 因此可以說(shuō)各限制性片段的數(shù)目是相等的。在基因克隆中,基因組DNA 用限制性酶切割后與載體混合反應(yīng)以及隨后的過(guò)程均是隨機(jī)的生化反應(yīng)過(guò)程。一, 對(duì)克隆來(lái)說(shuō)一限制性片段要么被克隆、要么不被克隆, 只有這兩種結(jié)果;第二, 由于總體限制性片段是大量的, 被克隆的對(duì)總體影響很小; 第三, 在克隆中一片段被克隆的概率為f( f較小) , 不被克隆的概率為1- ,f 且克隆時(shí)這兩種概率都不變

14、。綜上所述, 基因克隆過(guò)程符合泊松分布。設(shè)p為基因被克隆的概率; N 為要求的克隆的概率為p時(shí)一個(gè)基因文庫(kù)所需含有重組DNA 的克隆數(shù); f為限制性片段的平均長(zhǎng)度與基因組DNA 總長(zhǎng)度之比, 若基因組DNA 被限制性酶切割成n個(gè)DNA 片段,f即。則在克隆數(shù)為N 時(shí)，任一段被克隆一次或一次以上的概率為，可推出,一般要求目的基因序列出現(xiàn)的概率p的期望值定為99%，那么。 在分子生物學(xué)中，上述一個(gè)完整的基因文庫(kù)所需克隆數(shù)的估計(jì)對(duì)基因克隆實(shí)驗(yàn)方案的設(shè)計(jì)具有重要意義。4. 泊松分布在物理學(xué)中的應(yīng)用：泊松分布在物理學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，如熱電子的放射，某些激光場(chǎng)的分布等等都服從泊松分布。例4：對(duì)某一放射性

15、物質(zhì)而言, 各相鄰原子群體之間, 其中一個(gè)原子核的衰變, 對(duì)相鄰的原子核而言, 可視為外界的變化, 而這種外界的變化, 不會(huì)影響相鄰原子核的衰變過(guò)程。即在某一放射性物質(zhì)中, 各個(gè)原子核的衰變過(guò)程, 互不影響, 相互獨(dú)立。因此衰變過(guò)程滿(mǎn)足獨(dú)立性。放射性原子核的衰變過(guò)程是一個(gè)相互彼此無(wú)關(guān)的過(guò)程，所以放射性原子核衰變的統(tǒng)計(jì)計(jì)數(shù)可以看成是一種伯努利試驗(yàn)問(wèn)題。若在一個(gè)原子核體系中，單位時(shí)間原子核發(fā)生衰變的概率為，則沒(méi)有發(fā)生衰變的概率為。由二項(xiàng)分布得到，在t時(shí)間內(nèi)的核衰變數(shù)為n的概率為。 （1）由于在放射性衰變中，原子核數(shù)目很大，而p相對(duì)很小，并且滿(mǎn)足 EMBED Equation.KSEE3 ，所以上式可以近似化為泊松分布，因?yàn)榇藭r(shí)，對(duì)于附近的值可得到：帶入（1)式中得到：令，得到:,即為泊松分