泊松分布的應用

1、泊松分布的應用泊松分布的應用摘要泊松分布是指一個系統(tǒng)在運行中超負載造成的失效次數(shù)的分布形式。它是高等數(shù)學里的一個概念,屬于概率論的范疇,是法國數(shù)學家泊松在推廣伯努利形式下的大數(shù)定律時,研究得出的一種概率分布,因而命名為泊松分布。作為一種常見的離散型隨機變量的分布,泊松分布日益顯示其重要性,成為概率論中最重要的幾個分布之一。服從泊松分布的隨機變量是常見的,它常與時間單位的計數(shù)過程相聯(lián)系。在現(xiàn)實生活中應用更為廣泛,如數(shù)學建模、管理科學、運籌學及自然科學、概率論等等。并且在某些函數(shù)關(guān)系起著一種重要作用。例如線性的、指數(shù)的、三角函數(shù)的等等。本文對泊松分布產(chǎn)生的過程、定義和性質(zhì)做了簡單的介紹，研究了泊松

2、分布的一些性質(zhì), 并討論了這些性質(zhì)在實際生活中的重要作用。關(guān)鍵詞：泊松過程；泊松分布；定義；定理；應用；一、 計數(shù)過程為廣義的泊松過程1計數(shù)過程設(shè)為一隨機過程, 如果是取非負整數(shù)值的隨機變量,且滿足s < t時,則稱為計數(shù)過程。將增量,它表示時間間隔內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)。“在內(nèi)出現(xiàn)k個質(zhì)點”,即是一隨機事件,其概率記為總之,對某種隨機事件的來到數(shù)都可以得到一個計數(shù)過程,而同一時刻只能至多發(fā)生一個來到的就是簡單計數(shù)過程。2泊松過程計數(shù)過程稱為強度為的泊松過程,如果滿足條件:(1)在不相重疊的區(qū)間上的增量具有獨立性;(2);(3)對于充分小的其中常數(shù),稱為過程的強度。(4)對于充分小的t亦即對于充

3、分小的,在或2個以上質(zhì)點的概率與出現(xiàn)一個質(zhì)點的概率相對可以忽略不計。了解泊松過程,就很容易去了解泊松分布的相關(guān)性質(zhì),其實泊松分布就是在泊松過程當中每單位的時間間隔內(nèi)出現(xiàn)質(zhì)點數(shù)目的計數(shù)。二、 泊松分布的概念：泊松分布常用于描述單位時間、單位平面或單位空間中罕見“質(zhì)點”總數(shù)的隨機分布規(guī)律。定義1 設(shè)隨機變量的可能取值為且為常數(shù)。則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記作X P() 。定義2設(shè)是任意一個隨機變量,稱是的特征函數(shù)。主要結(jié)論：定理1 如果X 是一個具有以為參數(shù)的泊松分布,則E( X) = 且D(X) =。證明設(shè)X 是一隨機變量,若存在,則稱它為X的方差,記作D( X) ,即。設(shè)X服從泊松分布P(X

4、) ,即有:則從而故定理2 設(shè)隨機變量服從二項分布,其分布律為。又設(shè)是常數(shù),則。證明由得:顯然,當k = 0 時,故。當k 1 且k 時,有從而，故。定理3 設(shè)是服從參數(shù)為的泊松分布的隨機向量,則:證明已知的特征函數(shù)為,故的特征函數(shù)為:對任意的t ,有。于是。從而對任意的點列,有。但是是N (0 ,1) 分布的特征函數(shù),由于分布函數(shù)列弱收斂于分布函數(shù)F( x)的充要條件是相應的特征函數(shù)列n ( t) 收斂于F( x) 的特征函數(shù)( t)。所以成立;又因為是可以任意選取的,這就意味著成立。圖一 泊松分布示意圖三、 泊松分布及泊松分布增量1.泊松分布產(chǎn)生的一般條件在自然界和人們的現(xiàn)實生活中,經(jīng)常要

5、遇到在隨機時刻出現(xiàn)的某種事件,我們把在隨機時刻相繼出現(xiàn)的事件所形成的序列,叫做隨機事件流。若事件流具有平穩(wěn)性、無后效性、普通性,則稱該事件流為泊松事件流(泊松流) 。例如一放射性源放射出的粒子數(shù);某電話交換臺收到的電話呼叫數(shù);到某機場降落的飛機數(shù);一個售貨員接待的顧客數(shù); 一臺紡紗機的斷頭數(shù);等這些事件都可以看作泊松流。2.泊松分布及泊松分布增量的概率(1)泊松分布的概率:對泊松流,在任意時間間隔(0, t)內(nèi),事件出現(xiàn)的次數(shù)服從參數(shù)為t的泊松分布,稱為泊松流的強度。設(shè)隨機變量X所有可能取的值為0, 1, 2, ,且概率分布為:其中是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記作XP ()。(2)泊過

6、分布增量的概率:由上式易知增量的概率分布是參數(shù)=的泊松分布,且只與時間有關(guān)。3.泊松分布的期望和方差：由泊松分布知特別地,令,由于假設(shè)N (0) = 0,故可推知泊松過程的均值函數(shù)和方差函數(shù)分別為：泊松過程的強度(常數(shù))等于單位長時間間隔內(nèi)出現(xiàn)的質(zhì)點數(shù)目的期望值。即對泊松分布有:四、 泊松分布的特征1泊松分布是一種描述和分析稀有事件的概率分布。要觀察到這類事件,樣本含量n必須很大。2.是泊松分布所依賴的唯一參數(shù)。值愈小,分布愈偏倚,隨著的增大,分布趨于對稱。3.當= 20時分布泊松分布接近于正態(tài)分布;當= 50時,可以認為泊松分布呈正態(tài)分布。在實際工作中,當20時就可以用正態(tài)分布來近似地處理泊

7、松分布的問題。五、泊松分布與二項分布、正態(tài)分布之間的關(guān)系1.二項分布與泊松分布之間的關(guān)系   定理(泊松定理)在n重伯努利試驗中，事件A在每次實驗中發(fā)生的概率為Pn，它與試驗次數(shù)有關(guān)， ，則對任意給定的m，有 由該定理可知，當二項分布b(n,p)的參數(shù)n很大，p很小，而=np大小適中時，實際中n>100，p<0.1，np<10時，二項分布可用參數(shù)為=np的泊松分布來近似，即  這就是二項分布的泊松逼近。當然n應盡可能地大，否則近似效果往往不佳。 二項分布的泊松近似常常被應用于研究稀有事件(即每次試驗中事件出現(xiàn)的概率p

8、很小)，當伯努利試驗的次數(shù)n很大時，事件發(fā)生的頻數(shù)的分布。實際表明，在一般情況下，當 p<0.1時，這種近似是很好的，甚至n不必很大都可以，這點從比較二項分布與泊松分布的概率分布表也可以看出。例如，當p=0.01時，甚至n=2時，這種近似程度已經(jīng)很好了。表1說明了這一情況，其中np=0.02。表一 二項分布與泊松分布的比較2.泊松分布與正態(tài)分布之間的關(guān)系 由定理1和定理2可知二項分布既可以用泊松分布近似，也可以用正態(tài)分布近似。顯然，泊松分布和正態(tài)分布在一定條件下也具有近似關(guān)系，下面的定理說明泊松分布的正態(tài)逼近。     

9、;定理 對任意的a<b，有 ，其中如前文所述，二項分布的泊松近似和正態(tài)近似各自適用的條件是不同的。當p很小時，即使n不是很大，用泊松分布近似二項分布，已經(jīng)相當吻合。但是在這種倩形下，用正態(tài)分布去近似二項分布，卻會產(chǎn)生較大的誤差。直觀上也可以想象得到，p很小，n又不大，則np=一定不會很大。由上述定理可知，正態(tài)分布就不能很好地近似泊松分布，因而也就不能近似被泊松分布十分逼近的二項分布。 在n充分大，P既不接近于0也不接近于1時(實際上最好滿足0.1<p<0.9)，用正態(tài)分布去近似二項分布，效果就較好。   表2是用泊松分布與正態(tài)

10、分布去近似二項分布b(n,p)的比較，其中，n=2500，p=0.02，np=50, 7?？梢?，在數(shù)值上三者是大致相等的。表二 泊松分布、正態(tài)分布、二項分布的比較  由上述定理易知，泊松分布X（）當極限分布是正態(tài)分布N(,)。 綜上所訴，二項分布b(n,p)的參數(shù)n很大，p很小，而=np大小適中時，二項分布可用參數(shù)為=np的泊松分布來近似；泊松分布泊松分布X（）當充分大時的極限分布是正態(tài)分布N(,)，并且泊松分布的分布函數(shù)（）與正態(tài)分布的分布函數(shù)N(,)近似相等。六、 泊松分布的應用1. 二項分布的泊松近似常常被應用于研究稀有事件,即每次試驗中事件出現(xiàn)的概率p很小,而貝努里

11、試驗的次數(shù)n很大時,事件發(fā)生的概率。例1 通過某路口的每輛汽車發(fā)生事故的概率為p = 0.0001 ,假設(shè)在某路段時間內(nèi)有1000 輛汽車通過此路口,試求在此時間內(nèi)發(fā)生事故次數(shù)X的概率分布和發(fā)生2次以上事故的概率。分析首先在某時間段內(nèi)發(fā)生事故是屬于稀有事件,觀察通過路口的1000輛汽車發(fā)生事故與否,可視為是n = 1000次伯努里試驗,出現(xiàn)事故的概率為p = 0.0001 ,因此X是服從二項分布的,即。由于n = 1000很大,且p = 0.0001很小,上面的式子計算工作量很大,則可以用:求近似.注意到,故有.2. 泊松分布可以計算大量試驗中稀有事件出現(xiàn)頻數(shù)的概率。這里的頻數(shù)指在相同條件下,

12、 進行大量試驗,在這大量試驗中,稀有事件發(fā)生的次數(shù)。例2 已知患色盲者占0.25 %,試求: 為發(fā)現(xiàn)一例色盲者至少要檢查25人的概率; 為使發(fā)現(xiàn)色盲者的概率不小于0.9 ,至少要對多少人的辨色力進行檢查?分析設(shè)X表示恰好發(fā)現(xiàn)一例患色盲者所需要檢查的人數(shù),則。解設(shè)至少對n 個人的辨色能力進行檢查,于是p xn0.9。從而:由,得.因此至少要檢查920人。3.泊松分布在生物學中的應用： 在生物學研究中, 服從泊松分布的隨機變量是常見的，如每升飲水中大腸桿菌數(shù), 計數(shù)器小方格中血球數(shù), 單位空間中某些野生動物或昆蟲數(shù)等都是服從泊松分布的。泊松分布在生物學領(lǐng)域中有著廣闊的應用前景，對生物學中所涉及到的

13、概率研究起到了重要的指導作用。例3：泊松分布在估計一個基因文庫所需克隆數(shù)中的應用判斷基因克隆過程的分布情況：由于基因組DNA是從大量細胞中提取的, 每個細胞中均含有全部基因組DNA, 那么每一種限制性片段的數(shù)目是大量的, 因此可以說各限制性片段的數(shù)目是相等的。在基因克隆中,基因組DNA 用限制性酶切割后與載體混合反應以及隨后的過程均是隨機的生化反應過程。一, 對克隆來說一限制性片段要么被克隆、要么不被克隆, 只有這兩種結(jié)果;第二, 由于總體限制性片段是大量的, 被克隆的對總體影響很小; 第三, 在克隆中一片段被克隆的概率為f( f較小) , 不被克隆的概率為1- ,f 且克隆時這兩種概率都不變

14、。綜上所述, 基因克隆過程符合泊松分布。設(shè)p為基因被克隆的概率; N 為要求的克隆的概率為p時一個基因文庫所需含有重組DNA 的克隆數(shù); f為限制性片段的平均長度與基因組DNA 總長度之比, 若基因組DNA 被限制性酶切割成n個DNA 片段,f即。則在克隆數(shù)為N 時，任一段被克隆一次或一次以上的概率為，可推出,一般要求目的基因序列出現(xiàn)的概率p的期望值定為99%，那么。 在分子生物學中，上述一個完整的基因文庫所需克隆數(shù)的估計對基因克隆實驗方案的設(shè)計具有重要意義。4. 泊松分布在物理學中的應用：泊松分布在物理學中的應用十分廣泛，如熱電子的放射，某些激光場的分布等等都服從泊松分布。例4：對某一放射性

15、物質(zhì)而言, 各相鄰原子群體之間, 其中一個原子核的衰變, 對相鄰的原子核而言, 可視為外界的變化, 而這種外界的變化, 不會影響相鄰原子核的衰變過程。即在某一放射性物質(zhì)中, 各個原子核的衰變過程, 互不影響, 相互獨立。因此衰變過程滿足獨立性。放射性原子核的衰變過程是一個相互彼此無關(guān)的過程，所以放射性原子核衰變的統(tǒng)計計數(shù)可以看成是一種伯努利試驗問題。若在一個原子核體系中，單位時間原子核發(fā)生衰變的概率為，則沒有發(fā)生衰變的概率為。由二項分布得到，在t時間內(nèi)的核衰變數(shù)為n的概率為。 （1）由于在放射性衰變中，原子核數(shù)目很大，而p相對很小，并且滿足 EMBED Equation.KSEE3 ，所以上式可以近似化為泊松分布，因為此時，對于附近的值可得到：帶入（1)式中得到：令，得到:,即為泊松分