正方形難題有解析

1、正方形經(jīng)典難題(有解析）已知正方形ABCD是一個(gè)正方形。一、F為CD上一點(diǎn)，G為對(duì)角線BD上一點(diǎn)，且FGBD，M為BG中點(diǎn)，連接AM、MF。求證：AM=MF，AMMF方法一：考慮到M是BG中點(diǎn)，GFBC，所以想到倍長(zhǎng)中線證明：延長(zhǎng)CB、FM交于點(diǎn)I，連接AI、AFGFCD，GFBCGFM=MIB又GM=MB，IMB=FMGGMFBMI所以MF=MI，BI=GF在RtADF與RtABI中AB=AD，DF=GF=BIADF=ABI=90°ADFABI所以AF=AI，1=2IAF=2+BAF=1+BAF=90°所以IAF是一個(gè)等腰直角三角形又MI=MFAMF是一個(gè)等腰直角三角形所

2、以AM=MF，AMMF方法二：可以將需要證明的結(jié)論看做是一個(gè)三角形繞M點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°的結(jié)果，條件中又有MG=MB，所以想到構(gòu)造一個(gè)三角形與MGF全等。證明：延長(zhǎng)FG交AB于J，連接JMGFCD四邊形AJDF和四邊形BJFC均為矩形所以AJ=DF=GF，BJ=CF在BJG中，JBG=45°，GJBJ，又M為BG中點(diǎn)故JM=BM=GM，BJM=45°DGF=45°MGF=AJM=135°在AJM和FGM中，JM=GM，AJ=GF，MGF=AJMAJMFGMAM=MF，AMF=JMG=90°，即AMMF二、E是BC上一點(diǎn)，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，EA

3、F=45°，AE、AF分別交BD于M、N，連接MF求證：AMMF，AM=MF方法一：聯(lián)想到上題的圖形，仍然考慮過F做CD的垂線證明：過F做FHCD交BD于H，過F做FGAF交AE延長(zhǎng)線于G，連接AH、HG、BGEAF=45°AFG為等腰直角三角形AF=FG又AFD=GFH=90°-AFHDF=HFADFGHFHG=AD，HGHFHG=AB，HGAB所以四邊形AHGB是平行四邊形M是AG中點(diǎn)AMF為等腰直角三角形AMMF，AM=MF方法二：首先證明一個(gè)題目四邊形ABCD是一個(gè)正方形，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，QD為ADS的角平分線，且QF=BF求證：QFBF證明：過F分別向Q

4、D、BD做垂線，垂足分別為G、HADSCGDF=QDS=45°又BDC=45°所以CD是HDG的角平分線又HFBD、FGDGHF=FG在RtQFG和RtBFH中QF=BF，HF=FG所以QFGBFHQ=DBFQFB=QDB=90°即QFBF聯(lián)想到此題的做法，給出以下證明證明：過A做AQAE，并截取AQ=AM，連接QF，過F分別向QD、BD做垂線，垂足分別為G、HAQAM，ADABQAD=MAB又AQ=AM，AD=ABAQDAMBADQ=ABM=45°又ADCDCDG=45°CD平分BDG又HFBD，F(xiàn)GDGHF=FG在AQF和AMF中QAF=E

5、AF=45°AQ=AM，AF公共所以AQFAMFQF=FM在RtQFG和RtMFH中，QF=FM，F(xiàn)G=HFQFGMFHDQF=DMFQFM=QDM=90°又AQ=QM，QF=FM，QAM=90°易證四邊形AQFM為正方形所以AMMF，AM=MF三、E為BC上一點(diǎn)，F(xiàn)為CD上一點(diǎn)，EAF=45°，AE、AF分別交BD于M、N，連接EF。（1）求證：EF=BE+DF。考慮使用截長(zhǎng)補(bǔ)短來證明證明：在CD延長(zhǎng)線上截取DG=BE，連接AGAB=AD，ADG=ABE=90°，DG=BEADGABEAG=AE，GAD=EABGAE=DAE+GAD=DAE+

6、BAE=90°EAF=45°GAF=45°又AG=AE，AF公共所以GAFEAFEF=GD+DF=BE+DF（2）求證：AFD=AFE=AMN，AEB=AEF=ANM證明：GAFEAFAFD=AFE在DNF和ANM中，NAM=NDF=45°DNF=ANMAFD=AMNAFD=AFE=AMN、同理可得AEB=AEF=ANM（3）求證：聯(lián)想到勾股定理，所以考慮把三條線段移到一個(gè)直角三角形中證明：過A做AHAM，并截取AH=AM，連接HN，HD顯然有HAD=MAB，AH=AM，AD=ABHADAMB所以HD=BM，HDA=ABD=45°HDDNMAN

7、=45°HAN=45°又AH=AM，AN公共ANHANMHN=MN在HDN中，即（4）求證：構(gòu)造直角三角形，應(yīng)用勾股定理證明：過N分別向AD、AB做垂線，垂足分別為I、J顯然有所以同理有（5）連接NE、MF，求證：AM=MF，AMMF；AN=NE，ANNE 見第二題（6）求證：注意到AMF是等腰直角三角形，ADDF，回歸到基本圖形下面給出一種證明證明：過M做MLDM交DA延長(zhǎng)線于L則LMD為等腰直角三角形LM=DM，L=MDF=45°又LMA=DMF=90°-AMDLAMDFMLA=DF同理可得（7） 過M向CF做垂線，垂足為P，求證：P為CF中點(diǎn)； 過

8、N向CE做垂線，垂足為Q，求證：Q為CE中點(diǎn)。證明：連接MF，CM在AMB和CMB中AB=BC，ABM=CBM=45°，BM公共AMBCMBAM=CM由第二題結(jié)論，AM=MFMF=CM則FMC是等腰三角形又MPCFP為CF中點(diǎn)同理，Q為CE中點(diǎn)（8）求證：證明：過M做MTBE于T則BMT為等腰直角三角形由（7）的結(jié)論，CF=2CP=2MT同理（9）求證：證明：由（3）的結(jié)論，由（8）的結(jié)論，即（10）過F做CD的垂線FR交BD于R，求證：RM=BM證明：延長(zhǎng)FR交AM于S，交AB于T，連接TM、MF由第二題的結(jié)論有，AM=MF，AMMFFTAB，AST=FSMTAS=SFM又AT=D

9、F=RFATMFRMTM=RM又RTB為等腰直角三角形RM=MB（11） 分別過E、F向BD做垂線，垂足分別為S、R求證：看到（10）中的結(jié)論，此題迎刃而解證明：過F做FTCD交BD于T則DFT為等腰直角三角形又RFDTDR=RT又由（10）中結(jié)論有TM=BM同理有（12） 求證：證明：連接MF、NE，過N做AE的垂線NK交AE于K由第二題的結(jié)論，ANE和AMF均為等腰直角三角形KN=AK=KE（13）P為EF中點(diǎn)，連接PM、PN求證：PMN是等腰直角三角形證明：連接MF，由第二題的結(jié)論EMF=90°又P為EF中點(diǎn)同理有1=180°-2AEF2=180°-2AFE

10、又AEF+AFE=180°-EAF=135°1+2=90°MPN=90°PMN是等腰直角三角形（14） 過M、N分別做AB、AD的平行線交于點(diǎn)Q，連接AQ，求證：AQEF，AQ=QM=QN證明：由（13）的結(jié)論，PMN為等腰直角三角形QMABQMN=ABD=45°同理QNM=45°QMN為等腰直角三角形四邊形PNQM為正方形連接NE由第二題結(jié)論，ANE=90°ANQ=PNE=90°-QNE又AN=NE，QN=PNANQENPNAQ=NEP，AQ=PE又PE=NP=QN=QMAQ=QM=QN延長(zhǎng)AQ交EF于HNEP+NFE=90°NAQ+NFE=90°AQEF（15） 已知正方形邊長(zhǎng)為a，令DF=x，BE=y，請(qǐng)問x、y之間有何數(shù)量關(guān)系？解：由（1）中結(jié)論EF=DF+BE=x+yCF=a-x，CE=a-y展開，整理得四、如圖，已知正方形紙片ABCD，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊AB上一點(diǎn)，將紙片沿直線EF翻折，點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)G，連接GE交CD于H點(diǎn)。若AG=2，CH=3，求正方形邊長(zhǎng)。解：過B向GH做垂線BM，