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1、正方形經(jīng)典難題(有解析)已知正方形ABCD是一個(gè)正方形。一、F為CD上一點(diǎn),G為對(duì)角線BD上一點(diǎn),且FGBD,M為BG中點(diǎn),連接AM、MF。求證:AM=MF,AMMF方法一:考慮到M是BG中點(diǎn),GFBC,所以想到倍長(zhǎng)中線證明:延長(zhǎng)CB、FM交于點(diǎn)I,連接AI、AFGFCD,GFBCGFM=MIB又GM=MB,IMB=FMGGMFBMI所以MF=MI,BI=GF在RtADF與RtABI中AB=AD,DF=GF=BIADF=ABI=90°ADFABI所以AF=AI,1=2IAF=2+BAF=1+BAF=90°所以IAF是一個(gè)等腰直角三角形又MI=MFAMF是一個(gè)等腰直角三角形所
2、以AM=MF,AMMF方法二:可以將需要證明的結(jié)論看做是一個(gè)三角形繞M點(diǎn)旋轉(zhuǎn)90°的結(jié)果,條件中又有MG=MB,所以想到構(gòu)造一個(gè)三角形與MGF全等。證明:延長(zhǎng)FG交AB于J,連接JMGFCD四邊形AJDF和四邊形BJFC均為矩形所以AJ=DF=GF,BJ=CF在BJG中,JBG=45°,GJBJ,又M為BG中點(diǎn)故JM=BM=GM,BJM=45°DGF=45°MGF=AJM=135°在AJM和FGM中,JM=GM,AJ=GF,MGF=AJMAJMFGMAM=MF,AMF=JMG=90°,即AMMF二、E是BC上一點(diǎn),F(xiàn)是CD上一點(diǎn),EA
3、F=45°,AE、AF分別交BD于M、N,連接MF求證:AMMF,AM=MF方法一:聯(lián)想到上題的圖形,仍然考慮過(guò)F做CD的垂線證明:過(guò)F做FHCD交BD于H,過(guò)F做FGAF交AE延長(zhǎng)線于G,連接AH、HG、BGEAF=45°AFG為等腰直角三角形AF=FG又AFD=GFH=90°-AFHDF=HFADFGHFHG=AD,HGHFHG=AB,HGAB所以四邊形AHGB是平行四邊形M是AG中點(diǎn)AMF為等腰直角三角形AMMF,AM=MF方法二:首先證明一個(gè)題目四邊形ABCD是一個(gè)正方形,F(xiàn)為CD上一點(diǎn),QD為ADS的角平分線,且QF=BF求證:QFBF證明:過(guò)F分別向Q
4、D、BD做垂線,垂足分別為G、HADSCGDF=QDS=45°又BDC=45°所以CD是HDG的角平分線又HFBD、FGDGHF=FG在RtQFG和RtBFH中QF=BF,HF=FG所以QFGBFHQ=DBFQFB=QDB=90°即QFBF聯(lián)想到此題的做法,給出以下證明證明:過(guò)A做AQAE,并截取AQ=AM,連接QF,過(guò)F分別向QD、BD做垂線,垂足分別為G、HAQAM,ADABQAD=MAB又AQ=AM,AD=ABAQDAMBADQ=ABM=45°又ADCDCDG=45°CD平分BDG又HFBD,F(xiàn)GDGHF=FG在AQF和AMF中QAF=E
5、AF=45°AQ=AM,AF公共所以AQFAMFQF=FM在RtQFG和RtMFH中,QF=FM,F(xiàn)G=HFQFGMFHDQF=DMFQFM=QDM=90°又AQ=QM,QF=FM,QAM=90°易證四邊形AQFM為正方形所以AMMF,AM=MF三、E為BC上一點(diǎn),F(xiàn)為CD上一點(diǎn),EAF=45°,AE、AF分別交BD于M、N,連接EF。(1)求證:EF=BE+DF??紤]使用截長(zhǎng)補(bǔ)短來(lái)證明證明:在CD延長(zhǎng)線上截取DG=BE,連接AGAB=AD,ADG=ABE=90°,DG=BEADGABEAG=AE,GAD=EABGAE=DAE+GAD=DAE+
6、BAE=90°EAF=45°GAF=45°又AG=AE,AF公共所以GAFEAFEF=GD+DF=BE+DF(2)求證:AFD=AFE=AMN,AEB=AEF=ANM證明:GAFEAFAFD=AFE在DNF和ANM中,NAM=NDF=45°DNF=ANMAFD=AMNAFD=AFE=AMN、同理可得AEB=AEF=ANM(3)求證:聯(lián)想到勾股定理,所以考慮把三條線段移到一個(gè)直角三角形中證明:過(guò)A做AHAM,并截取AH=AM,連接HN,HD顯然有HAD=MAB,AH=AM,AD=ABHADAMB所以HD=BM,HDA=ABD=45°HDDNMAN
7、=45°HAN=45°又AH=AM,AN公共ANHANMHN=MN在HDN中,即(4)求證:構(gòu)造直角三角形,應(yīng)用勾股定理證明:過(guò)N分別向AD、AB做垂線,垂足分別為I、J顯然有所以同理有(5)連接NE、MF,求證:AM=MF,AMMF;AN=NE,ANNE 見第二題(6)求證:注意到AMF是等腰直角三角形,ADDF,回歸到基本圖形下面給出一種證明證明:過(guò)M做MLDM交DA延長(zhǎng)線于L則LMD為等腰直角三角形LM=DM,L=MDF=45°又LMA=DMF=90°-AMDLAMDFMLA=DF同理可得(7) 過(guò)M向CF做垂線,垂足為P,求證:P為CF中點(diǎn); 過(guò)
8、N向CE做垂線,垂足為Q,求證:Q為CE中點(diǎn)。證明:連接MF,CM在AMB和CMB中AB=BC,ABM=CBM=45°,BM公共AMBCMBAM=CM由第二題結(jié)論,AM=MFMF=CM則FMC是等腰三角形又MPCFP為CF中點(diǎn)同理,Q為CE中點(diǎn)(8)求證:證明:過(guò)M做MTBE于T則BMT為等腰直角三角形由(7)的結(jié)論,CF=2CP=2MT同理(9)求證:證明:由(3)的結(jié)論,由(8)的結(jié)論,即(10)過(guò)F做CD的垂線FR交BD于R,求證:RM=BM證明:延長(zhǎng)FR交AM于S,交AB于T,連接TM、MF由第二題的結(jié)論有,AM=MF,AMMFFTAB,AST=FSMTAS=SFM又AT=D
9、F=RFATMFRMTM=RM又RTB為等腰直角三角形RM=MB(11) 分別過(guò)E、F向BD做垂線,垂足分別為S、R求證:看到(10)中的結(jié)論,此題迎刃而解證明:過(guò)F做FTCD交BD于T則DFT為等腰直角三角形又RFDTDR=RT又由(10)中結(jié)論有TM=BM同理有(12) 求證:證明:連接MF、NE,過(guò)N做AE的垂線NK交AE于K由第二題的結(jié)論,ANE和AMF均為等腰直角三角形KN=AK=KE(13)P為EF中點(diǎn),連接PM、PN求證:PMN是等腰直角三角形證明:連接MF,由第二題的結(jié)論EMF=90°又P為EF中點(diǎn)同理有1=180°-2AEF2=180°-2AFE
10、又AEF+AFE=180°-EAF=135°1+2=90°MPN=90°PMN是等腰直角三角形(14) 過(guò)M、N分別做AB、AD的平行線交于點(diǎn)Q,連接AQ,求證:AQEF,AQ=QM=QN證明:由(13)的結(jié)論,PMN為等腰直角三角形QMABQMN=ABD=45°同理QNM=45°QMN為等腰直角三角形四邊形PNQM為正方形連接NE由第二題結(jié)論,ANE=90°ANQ=PNE=90°-QNE又AN=NE,QN=PNANQENPNAQ=NEP,AQ=PE又PE=NP=QN=QMAQ=QM=QN延長(zhǎng)AQ交EF于HNEP+NFE=90°NAQ+NFE=90°AQEF(15) 已知正方形邊長(zhǎng)為a,令DF=x,BE=y,請(qǐng)問(wèn)x、y之間有何數(shù)量關(guān)系?解:由(1)中結(jié)論EF=DF+BE=x+yCF=a-x,CE=a-y展開,整理得四、如圖,已知正方形紙片ABCD,E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn),F(xiàn)為邊AB上一點(diǎn),將紙片沿直線EF翻折,點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)G,連接GE交CD于H點(diǎn)。若AG=2,CH=3,求正方形邊長(zhǎng)。解:過(guò)B向GH做垂線BM,
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