求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的十一種方法包含特征根和不動(dòng)點(diǎn)

1、求遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式的九種方法利用遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式，在理論上和實(shí)踐中均有較高的價(jià)值.自從二十世紀(jì)八十年代以來(lái)，這一直是全國(guó)高考和高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽的熱點(diǎn)之一.一、作差求和法例1 在數(shù)列中，,，求通項(xiàng)公式.解：原遞推式可化為：則 ，逐項(xiàng)相加得：.故.二、作商求和法例2 設(shè)數(shù)列是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且（n=1,2,3），則它的通項(xiàng)公式是=（2000年高考15題）解：原遞推式可化為： =0 0， 則 ， 逐項(xiàng)相乘得：，即=.三、換元法例3 已知數(shù)列，其中，且當(dāng)n3時(shí)，求通項(xiàng)公式（1986年高考文科第八題改編）.解：設(shè)，原遞推式可化為： 是一個(gè)等比數(shù)列，公比為.故.故.由逐差法可得：. 例4已知數(shù)列，其中

2、，且當(dāng)n3時(shí)，求通項(xiàng)公式。解 由得：，令，則上式為，因此是一個(gè)等差數(shù)列，公差為1.故.。由于又所以，即 四、積差相消法 例5（1993年全國(guó)數(shù)學(xué)聯(lián)賽題一試第五題）設(shè)正數(shù)列，滿(mǎn)足= 且，求的通項(xiàng)公式.解 將遞推式兩邊同除以整理得：設(shè)=，則=1，故有 ()由+ +()得=，即=.逐項(xiàng)相乘得：=，考慮到，故 . 五、取倒數(shù)法例6 已知數(shù)列中，其中，且當(dāng)n2時(shí)，求通項(xiàng)公式。解 將兩邊取倒數(shù)得：，這說(shuō)明是一個(gè)等差數(shù)列，首項(xiàng)是，公差為2，所以，即.六、取對(duì)數(shù)法例7 若數(shù)列中，=3且（n是正整數(shù)），則它的通項(xiàng)公式是=（2002年上海高考題）.解 由題意知0，將兩邊取對(duì)數(shù)得，即，所以數(shù)列是以=為首項(xiàng)，公比為2

3、的等比數(shù)列， ，即.七、平方（開(kāi)方）法例8 若數(shù)列中，=2且（n），求它的通項(xiàng)公式是.解 將兩邊平方整理得。數(shù)列是以=4為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列。因?yàn)?，所以。八、待定系數(shù)法待定系數(shù)法解題的關(guān)鍵是從策略上規(guī)范一個(gè)遞推式可變成為何種等比數(shù)列，可以少走彎路.其變換的基本形式如下：1、（A、B為常數(shù)）型，可化為=A（）的形式.例9 若數(shù)列中，=1，是數(shù)列的前項(xiàng)之和，且（n），求數(shù)列的通項(xiàng)公式是.解 遞推式可變形為 （1）設(shè)（1）式可化為 （2）比較（1）式與（2）式的系數(shù)可得，則有。故數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列。=。所以。當(dāng)n，。數(shù)列的通項(xiàng)公式是 。2、（A、B、C為常數(shù)，下同）型，可化為

4、=）的形式.例10 在數(shù)列中，求通項(xiàng)公式。解：原遞推式可化為： 比較系數(shù)得=-4，式即是：.則數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，其首項(xiàng)，公比是2. 即.3、型，可化為的形式。例11 在數(shù)列中，當(dāng)， 求通項(xiàng)公式.解：式可化為：比較系數(shù)得=-3或=-2，不妨取=-2.式可化為：則是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)=2-2（-1）=4，公比為3.利用上題結(jié)果有：.4、型，可化為的形式。例12 在數(shù)列中，=6 求通項(xiàng)公式.解 式可化為： 比較系數(shù)可得：=-6， 式為是一個(gè)等比數(shù)列，首項(xiàng)，公比為.即 故.九、猜想法 運(yùn)用猜想法解題的一般步驟是：首先利用所給的遞推式求出，然后猜想出滿(mǎn)足遞推式的一個(gè)通項(xiàng)公式，最后用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想是

5、正確的。例13 在各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列中，為數(shù)列的前n項(xiàng)和，=+ ，求其通項(xiàng)公式。 求遞推數(shù)列通項(xiàng)的特征根法與不動(dòng)點(diǎn)法一、形如是常數(shù)）的數(shù)列 形如是常數(shù)）的二階遞推數(shù)列都可用特征根法求得通項(xiàng)，其特征方程為 若有二異根，則可令是待定常數(shù)） 若有二重根，則可令是待定常數(shù)） 再利用可求得，進(jìn)而求得例1已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，解得，令，由，得， 例2已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，解得，令，由，得， 二、形如的數(shù)列 對(duì)于數(shù)列，是常數(shù)且） 其特征方程為，變形為 若有二異根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值 這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，于是這樣可求得 若有二重根，則可令（其中是待定常數(shù)），代入的值可求得值 這樣數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，于是這樣可求得此方法又稱(chēng)不動(dòng)點(diǎn)法例3已知數(shù)列滿(mǎn)足，求數(shù)列的通項(xiàng)解：其特征方程為，化簡(jiǎn)得，解