全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模論文A題79651

1、2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽承 諾 書我們仔細(xì)閱讀了中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的競(jìng)賽規(guī)則.我們完全明白，在競(jìng)賽開始后參賽隊(duì)員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊(duì)外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問(wèn)題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競(jìng)賽規(guī)則的, 如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻(xiàn)的表述方式在正文引用處和參考文獻(xiàn)中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競(jìng)賽規(guī)則，以保證競(jìng)賽的公正、公平性。如有違反競(jìng)賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號(hào)是（從A/B/C/D中選擇一項(xiàng)填寫）： A 我們的參賽報(bào)名號(hào)為（如果賽區(qū)設(shè)置

2、報(bào)名號(hào)的話）： 所屬學(xué)校（請(qǐng)?zhí)顚懲暾娜?參賽隊(duì)員 (打印并簽名) ：1. 2. 3. 指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人 (打印并簽名)： 日期： 2010 年 9 月 13 日賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：2010高教社杯全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽編 號(hào) 專 用 頁(yè)賽區(qū)評(píng)閱編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：賽區(qū)評(píng)閱記錄（可供賽區(qū)評(píng)閱時(shí)使用）：評(píng)閱人評(píng)分備注全國(guó)統(tǒng)一編號(hào)（由賽區(qū)組委會(huì)送交全國(guó)前編號(hào)）：全國(guó)評(píng)閱編號(hào)（由全國(guó)組委會(huì)評(píng)閱前進(jìn)行編號(hào)）：地下儲(chǔ)油罐的變位分析與罐容表標(biāo)定摘要加油站地下儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因會(huì)發(fā)生縱向傾斜及橫向偏轉(zhuǎn)，導(dǎo)致與之配套的“油位計(jì)量管

3、理系統(tǒng)”受到影響，必須重新標(biāo)定罐容表。本文即針對(duì)儲(chǔ)油罐的變位時(shí)罐容表標(biāo)定的問(wèn)題建立了相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。首先從簡(jiǎn)單的小橢圓型儲(chǔ)油罐入手，研究變位對(duì)罐容表的影響。在無(wú)變位、縱向變位的情況下分別建立空間直角坐標(biāo)系，在忽略罐壁厚度等細(xì)微影響下，運(yùn)用積分的方法求出儲(chǔ)油量和測(cè)量油位高度的關(guān)系。將計(jì)算結(jié)果與實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)在同一個(gè)坐標(biāo)系中作圖，經(jīng)計(jì)算得誤差均保持在3.5%以內(nèi)?？v向變位中，要分三種情況來(lái)進(jìn)行求解，然后將三段的結(jié)果綜合在一起與變位前作比較，可以得到變位對(duì)罐容表的影響。通過(guò)計(jì)算，具體列表給出了罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步考慮實(shí)際儲(chǔ)油罐，兩端為球冠體頂。把儲(chǔ)油罐分成中間的圓柱體和

4、兩邊的球冠體分別求解。中間的圓柱體求解類似于第一問(wèn)，要分為三種情況。在計(jì)算球冠內(nèi)儲(chǔ)油量時(shí)為簡(jiǎn)化計(jì)算，將其內(nèi)油面看做垂直于圓柱底面。根據(jù)幾何關(guān)系，可以得到如下幾個(gè)變量之間的關(guān)系：測(cè)量的油位高度 實(shí)際的油位高度 計(jì)算體積所需的高度于是得到罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間的一般關(guān)系。再利用附表2中的數(shù)據(jù)列方程組尋找a與b最準(zhǔn)確的取值。一、問(wèn)題重述通常加油站都有若干個(gè)儲(chǔ)存燃油的地下儲(chǔ)油罐，并且一般都有與之配套的“油位計(jì)量管理系統(tǒng)”，采用流量計(jì)和油位計(jì)來(lái)測(cè)量進(jìn)/出油量與罐內(nèi)油位高度等數(shù)據(jù)，通過(guò)預(yù)先標(biāo)定的罐容表（即罐內(nèi)油位高度與儲(chǔ)油量的對(duì)應(yīng)關(guān)系）進(jìn)行實(shí)時(shí)計(jì)算，以得到罐

5、內(nèi)油位高度和儲(chǔ)油量的變化情況。許多儲(chǔ)油罐在使用一段時(shí)間后，由于地基變形等原因，使罐體的位置會(huì)發(fā)生縱向傾斜和橫向偏轉(zhuǎn)等變化（以下稱為變位），從而導(dǎo)致罐容表發(fā)生改變。按照有關(guān)規(guī)定，需要定期對(duì)罐容表進(jìn)行重新標(biāo)定。題目給出了一種典型的儲(chǔ)油罐尺寸及形狀示意圖，其主體為圓柱體，兩端為球冠體。并給出了罐體縱向傾斜變位的示意圖和罐體橫向偏轉(zhuǎn)變位的截面示意圖。請(qǐng)用數(shù)學(xué)建模方法研究解決儲(chǔ)油罐的變位識(shí)別與罐容表標(biāo)定的問(wèn)題。 （1）為了掌握罐體變位后對(duì)罐容表的影響，利用給出的小橢圓型儲(chǔ)油罐（兩端平頭的橢圓柱體）示意圖，分別對(duì)罐體無(wú)變位和傾斜角為a=4.10的縱向變位兩種情況做了實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如附件1所示。請(qǐng)建立數(shù)學(xué)模

6、型研究罐體變位后對(duì)罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1cm的罐容表標(biāo)定值。（2）對(duì)于實(shí)際儲(chǔ)油罐，試建立罐體變位后標(biāo)定罐容表的數(shù)學(xué)模型，即罐內(nèi)儲(chǔ)油量與油位高度及變位參數(shù)（縱向傾斜角度a和橫向偏轉(zhuǎn)角度b ）之間的一般關(guān)系。請(qǐng)利用罐體變位后在進(jìn)/出油過(guò)程中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)（附件2），根據(jù)你們所建立的數(shù)學(xué)模型確定變位參數(shù)，并給出罐體變位后油位高度間隔為10cm的罐容表標(biāo)定值。進(jìn)一步利用附件2中的實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)來(lái)分析檢驗(yàn)?zāi)銈兡Ｐ偷恼_性與方法的可靠性。二、問(wèn)題分析本題是一個(gè)在罐體變位后重新標(biāo)定罐容表的問(wèn)題，就是需要得出變位后油位高度與油料體積的關(guān)系，然后在油料高度間隔為1cm或10cm的情況下，算

7、出所有高度所對(duì)應(yīng)的體積值，即可得到新的罐容表標(biāo)定值。第一問(wèn)中共做了兩次實(shí)驗(yàn)，分別為罐體無(wú)變位與縱向變位。對(duì)于無(wú)變位的情況，可以選擇合適的體積微元，在油位高度方向積分即可算出油體積與油位高度的關(guān)系；對(duì)于傾斜角為=4.1º的縱向變位，我們采用二重積分的方法，分三種情況進(jìn)行計(jì)算。先在的實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)公式的準(zhǔn)確度進(jìn)行檢驗(yàn)，并對(duì)比變位前后儲(chǔ)油量與油位高度關(guān)系的差別。第二問(wèn)中，將儲(chǔ)油罐分成三部分進(jìn)行計(jì)算：中間的圓柱體和兩端的球冠體。對(duì)于與的處理問(wèn)題，對(duì)、已經(jīng)確定的靜態(tài)儲(chǔ)油罐建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)幾何關(guān)系得出測(cè)得的油位高度與實(shí)際油位高度的關(guān)系（含有參數(shù)），實(shí)際油位高度與計(jì)算體積所需的高度、的關(guān)系（含

8、有參數(shù)），并計(jì)算得到儲(chǔ)油量關(guān)于、的表達(dá)式，于是便得到了儲(chǔ)油量與測(cè)量油位高度及變位參數(shù)、的關(guān)系式，代入若干組附表2中的實(shí)際數(shù)據(jù)，即可確定與，之后用實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)檢驗(yàn)所建模型的正確性與方法的可行性。三、模型假設(shè)（1）忽略油罐厚度對(duì)油罐容積的影響，認(rèn)為由圖中數(shù)據(jù)得到的容積即為油罐的標(biāo)準(zhǔn)容積；（2）忽略油罐內(nèi)各種管道如進(jìn)出油管道，油位探針?biāo)嫉捏w積；（3）不計(jì)油浮子的厚度、大小等，認(rèn)為實(shí)驗(yàn)中測(cè)得的高度即為油罐底部沿探針到油面的距離；（4）假設(shè)油浮子到達(dá)最高處時(shí)便不再加油。四、符號(hào)說(shuō)明：儲(chǔ)油罐任一位置平行于罐底方向?qū)嶋H油位高度；：?jiǎn)栴}一中建立空間直角坐標(biāo)系后軸方向上油料寬度的一半；：建立空間直角坐標(biāo)系后軸

9、方向上的油料長(zhǎng)度；：建立空間直角坐標(biāo)系后軸方向上的變量；：?jiǎn)栴}一縱向變位第種情況下相應(yīng)某一高度時(shí)的油的體積；：?jiǎn)栴}一中變位后測(cè)得的油料高度；：?jiǎn)栴}一變位時(shí)油料平行于罐底方向的最大高度；：?jiǎn)栴}一變位情況下用任意平行于罐底平面截得的油料面積；：實(shí)際儲(chǔ)油罐球冠內(nèi)儲(chǔ)油量；：實(shí)際儲(chǔ)油罐中間圓柱部?jī)?chǔ)油量；：附表2中編號(hào)為的流水號(hào)所對(duì)應(yīng)的出油量。五、模型的建立與求解5.1小橢圓型儲(chǔ)油罐無(wú)變位情況首先以一側(cè)罐底中心為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，其中下部陰影部分為油料：xYZ圖1 無(wú)變位情況下建立空間直角坐標(biāo)系yXh圖2 截面橢圓示意圖xXZh從側(cè)面觀察得到如下示意圖：根據(jù)題目中的已知數(shù)據(jù)，得到橢圓截面

10、的方程式為：于是有 取從上到下疊加的矩形薄片為體積微元，得到體積微元公式：體積微元在軸方向進(jìn)行積分，得到體積公式： 將該結(jié)果與實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)在同一以高度為橫坐標(biāo)，體積為縱坐標(biāo)的坐標(biāo)系中作圖，得到如下曲線：圖3 計(jì)算曲線與實(shí)際數(shù)據(jù)對(duì)比圖從圖像上可以看出，計(jì)算得到的數(shù)據(jù)與實(shí)際測(cè)量數(shù)據(jù)吻合較好，相對(duì)誤差始終很小，實(shí)際數(shù)據(jù)稍小可能是由于探針，進(jìn)出油罐管道等占一定體積及罐壁厚度造成的，為簡(jiǎn)化模型，本文忽略這部分影響。º縱向變位以橢圓罐底中心為原點(diǎn)，軸，軸平行于罐底，軸平行于油罐側(cè)壁方向建立空間直角坐標(biāo)系：圖4 縱向變位情況下建立空間直角坐標(biāo)系ZXYH油位探針h0由圖4可知：接下來(lái)分三種情況進(jìn)行討

11、論，通過(guò)二重積分即可求得油料體積。第一種情況：當(dāng)（單位：mm ）時(shí)，只有一端罐底接觸油面，如圖5：圖5 第一種情況ZXYH油位探針h0先在軸方向上定積分，得到任意位置油料截面面積：再將視為變量，在軸方向上定積分：其中，代入后解得：第二種情況：當(dāng) （單位：mm）時(shí)，兩端罐底都接觸油面，如圖6：圖6 第二種情況ZXYH油位探針h0代入得：第三種情況：當(dāng)，其中 （單位：mm）時(shí)，一端罐底已經(jīng)完全被油浸沒(méi)，如圖7：圖7 第三種情況ZXYH0油位探針h0且，其中，代入上式解得：將上述三種情況得到的方程式分區(qū)間畫在同一坐標(biāo)系中，并與實(shí)際測(cè)量的數(shù)據(jù)做對(duì)比，得到如下關(guān)系圖（圖8）：圖8 變位后儲(chǔ)油量與油位高度

12、關(guān)系圖從圖8可以看出，計(jì)算得到的公式基本符合實(shí)際檢測(cè)數(shù)據(jù)。通過(guò)代入數(shù)據(jù)，誤差保持在3%以內(nèi)。因此，在標(biāo)定罐容表時(shí)，我們以得到的公式為基礎(chǔ)，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即得。將變位前后儲(chǔ)油量與油位高度關(guān)系圖畫在同一坐標(biāo)系中，得到圖9：變位前變位后圖9 變位前后儲(chǔ)油量與油位高度關(guān)系曲線對(duì)比 結(jié)合公式以及圖9可以看出罐體變位對(duì)罐容表產(chǎn)生如下影響：變位后在油位液面到達(dá)探針之前，測(cè)量高度始終為0，剛好接觸油浮子時(shí)，將數(shù)據(jù)代入公式可計(jì)算得此時(shí)儲(chǔ)油量約為1.75L；在變位后的第一階段內(nèi)，曲線斜率小于變位前，這個(gè)階段內(nèi)儲(chǔ)油量變化較慢；第二階段內(nèi)，曲線增長(zhǎng)趨勢(shì)與變位前基本一致，即上升相同的高度，儲(chǔ)油量增加值基本相等，但由于第一

13、階段儲(chǔ)油量較少，這是儲(chǔ)油量比變位前小220L左右；第三階段曲線變化率逐漸降低，當(dāng)油浮子的高度為1200mm時(shí)，油罐還沒(méi)有裝滿，此時(shí)的儲(chǔ)油量比變位前少約100L。根據(jù)假設(shè)，為使油位高度與儲(chǔ)油量是一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，此時(shí)不再加油，認(rèn)為該值即為儲(chǔ)油最大值。從0到1200mm每間隔10mm取一數(shù)值代入公式得到如下罐容表的標(biāo)定值：表1 縱向變位后的罐容表標(biāo)定值油位高度（mm）罐容量(升)油位高度（mm）罐容量(升)油位高度（mm）罐容量(升)油位高度（mm）罐容量(升)01.754310628.8476201883.559303188.83103.6066320664.2626301926.94940322

14、7.36206.33542330700.1886401970.359503265.493010.0434340736.6036502013.89603303.214014.8218350773.4856602057.259703340.515020.7535360810.8146702100.719803377.356027.9142370848.5716802144.159903413.737036.3738380886.7356902187.5610003449.628046.1975390925.2897002230.9410103484.999057.4464400964.215710

15、2274.2710203519.831007057202317.5410303554.1111084.44544201043.117302360.7310403587.81120100.3014301083.057402403.8410503620.88130117.7924401123.37502446.8410603653.32140136.9664501163.837602489.7410703685.08150157.274601204.647702532.5110803716.13160179.4944701245.717802575.1410903746.

16、44170203.1564801287.037902617.6211003775.96180228.0064901328.588002659.9411103804.66190253.9375001370.348102702.0811203832.49200280.8675101412.318202744.0311303859.39210308.7325201454.468302785.7811403885.3220337.4755301496.798402827.3111503910.19230367.0465401539.298502868.611603934.01240397.402550

17、1581.938602909.6511703957.74250428.5015601624.718702950.4411803958.07260460.3085701667.628802990.9511903978.33270492.7885801710.638903031.1712003996.88280525.9115901753.759003071.09290559.6466001796.959103110.68300593.9676101840.229203149.935.2實(shí)際儲(chǔ)油罐變位分析我們將儲(chǔ)油罐分成三段來(lái)考慮，兩端為球缺，中間為圓柱體。中間部分采用類似第一題的積分方法求解。對(duì)

18、于兩端的球冠體，若直接積分，結(jié)果將十分復(fù)雜，為方便計(jì)算，同時(shí)使誤差盡量小，本文把球冠內(nèi)油液面看做與軸平行。對(duì)于縱向與橫向都已經(jīng)變化好的靜態(tài)儲(chǔ)油罐來(lái)說(shuō)，我們以中間圓柱體一側(cè)底面圓心為原點(diǎn)，平行于罐體的軸為軸，平行于油面的軸為軸建立空間直角坐標(biāo)系。 水平線油位探針油油浮子圖10 儲(chǔ)油罐縱向變位示意圖h0H190º90ºZYH2O根據(jù)圖10可以得到以下關(guān)系式：用垂直于軸的平面去截油罐得到圖11所示的儲(chǔ)油罐的橫向變位截面示意圖，圖中兩個(gè)油液面是指將橫向變位前后的截面圖畫在一個(gè)圖中，并使油位探針?lè)较蛳嗤?，以方便?jì)算，此時(shí)前后液面形成夾角：橫向變位后油液面橫向變位前油液面h0h圖11

19、儲(chǔ)油罐橫向變位示意圖油位探針為測(cè)量值，實(shí)際油位高度，根據(jù)圖像可得如下關(guān)系式：綜合上面幾個(gè)式子，可得、與的關(guān)系式：球冠體內(nèi)儲(chǔ)油量的計(jì)算XY1.625m1mxO根據(jù)已知數(shù)據(jù)容易解得球冠所在球的半徑為1.625m，球過(guò)球心的截面圖如下，以圓心為原點(diǎn)，平行于空間坐標(biāo)系軸的軸為軸，建立新的平面直角坐標(biāo)系，陰影部分為儲(chǔ)油部分：圖12 球冠還原為球后截面圖該圓的方程為：表示圓上一點(diǎn)到軸距離，所以：以平行于空間坐標(biāo)系Y軸的平面去截球冠，得到如下所示截面圖：x0.625m圖13 球冠體截面圖可以得知：所以球冠內(nèi)油料截面面積為：當(dāng)球冠內(nèi)油位高度為時(shí)，球冠內(nèi)儲(chǔ)油量為：在計(jì)算兩端球冠內(nèi)儲(chǔ)油量時(shí)，分別用、代替即可求出結(jié)

20、果。5.2.2中間圓柱體內(nèi)儲(chǔ)油量的計(jì)算計(jì)算方法與第一問(wèn)中類似，用垂直于軸的平面去截得到如下截面示意圖：XZh圖14 圓柱部截面示意圖截面圓的方程為：于是得到：又有：即：于是該截面面積：由于有轉(zhuǎn)折點(diǎn)，又要分三種情況討論，分別求解。當(dāng)（單位：m）時(shí)當(dāng)（單位：m）時(shí)當(dāng)（單位：m）時(shí)其中為圓柱體的總體積用Matlab積分得到的結(jié)果過(guò)于冗長(zhǎng)，不便于寫在正文中，具體結(jié)果見(jiàn)附錄。5.2.3參數(shù)，的確定由于第二種情況的可能性最大，數(shù)據(jù)最多，所以在求解參數(shù)與時(shí)，利用附表2中顯示油高值在中間部分的值進(jìn)行計(jì)算。由于顯示的油量容積是利用沒(méi)有變位情況下的公式計(jì)算得到的，不是真實(shí)值，故不能加以利用。附表2給出了出油量與顯

21、示油高的對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)，我們用差值計(jì)算，即利用累計(jì)出油量與油高的變化值的對(duì)應(yīng)關(guān)系求解a、b。取流水號(hào)分別為323、337、351的三組數(shù)據(jù)，令：于是得到如下方程組：用Matlab7.0求解該方程組，得到一組解a=1.6º，b=0º于是便得到了變位后儲(chǔ)油量與油位高度的關(guān)系式，間隔10cm取值代入得到如下罐容表標(biāo)定值：表2 變位后實(shí)際儲(chǔ)油罐罐容表標(biāo)定值油位讀數(shù)(m)罐容量(L)油位讀數(shù)(m)罐容量(L)0.0 25.67711.6 33580.30.1 331.11141.7 36401.20.2 1123.381.8 39199.90.3 2352.81.9 41960.70.4

22、3883.32.0 44667.70.5 5656.842.1 47304.20.6 7634.742.2 49853.20.7 9787.132.3 52296.50.8 12089.12.4 54614.50.9 14518.72.5 56785.71.0 17056.32.6 58785.41.1 19683.52.7 60584.71.2 223832.8 62146.21.3 25138.32.9 63414.91.4 27933.43.0 63856.41.5 30752.5將得到的關(guān)系曲線六、模型的評(píng)價(jià)與推廣6.1模型的評(píng)價(jià)本題主要運(yùn)用微積分的方法與立體幾何的相關(guān)知識(shí)建立數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而求出罐內(nèi)油料體積與測(cè)量油位高度