勾股定理證明方法的應(yīng)用教案

1、課題：勾股定理證明方法的應(yīng)用教師：鄭燕時間：2007年5月9日（星期三）第6節(jié)班級：初二（7）班（數(shù)學(xué)實驗班）教學(xué)目標：熟練掌握勾股定理的幾種常見證明方法（趙爽弦圖法、劉徽青朱出入法、歐幾里得面積法等），理解證明思路；運用趙爽弦圖法、歐幾里得面積法、劉徽青朱出入法解決一些問題；體驗知識的遷移和方法的運用過程，從而提高分析、類比的能力，提高解決問題的能力；感受勾股定理中折射出的數(shù)學(xué)文化，體驗數(shù)學(xué)美.教學(xué)重點：勾股定理證明方法的應(yīng)用教學(xué)難點：歐幾里得面積法的理解和應(yīng)用，劉輝青朱出入法的理解和應(yīng)用教學(xué)過程：一、 鞏固知識、引出問題：復(fù)習(xí)勾股定理的幾種常見的證明方法（演示自制的flash課件） 1 趙

2、爽弦圖法（構(gòu)造以斜邊c為邊長的正方形）：2 劉徽青朱出入法（面積割補）：3 歐幾里得面積法（三角形全等、平行線間的等積變形）： 世界上各個古代文明中幾乎都能找到勾股定理的影子，到了近代勾股定理的證明方法更有數(shù)百種之多，成為數(shù)學(xué)大花園中的一朵奇葩，而勾股定理的各種證明方法中也蘊含著美妙的數(shù)學(xué)思想方法，值得我們好好學(xué)習(xí)體會.二、 運用方法，挑戰(zhàn)中考試題：例1（趙爽弦圖法的應(yīng)用）（2003年煙臺）四年一度的國際數(shù)學(xué)家大會于2002年8月在北京市召開. 大會會標如圖a. 它是由四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，若大正方形的面積為13，每個直角三角形兩直角邊的和是5，求：（1）中間

3、小正方形的面積；（2）現(xiàn)有一張長為6.5cm，寬為2cm的紙片，如圖b，請你將它分割成6塊，再拼成一個正方形.此題比較簡單，由學(xué)生獨立思考完成，師生小結(jié)趙爽弦圖法對解題的作用，體驗運用趙爽弦圖法的過程.例2（歐幾里得面積法的應(yīng)用）(2005年北京市海淀區(qū)中考題）已知，分別以、為邊向形外作等邊三角形、等邊三角形、等邊三角形ADBECF如圖，當(dāng)中只有時，請你證明與的和等于與的和此題為05海淀中考最后一題，難度較大，方法不唯一，歐幾里得證明勾股定理時所使用的面積法為解決此題提供了很巧妙的證明思路，但題目的外形與勾股定理有較大的出入，需要學(xué)生經(jīng)過辨別、分析才能夠認識到. 另外，使用方法時，平行線間的等

4、積變形是一個難點，為突破這一難點，一方面：借助自制的flash和幾何畫板課件可以幫助學(xué)生直觀的、清晰的認識基本圖形，了解基本方法；另一方面，要分析清楚，已知中“”為“平行線”、“等積變形”提供了條件，是解題的關(guān)鍵. 簡單證明：連接AE、BF，得， 由ABEC 同理： 此題先讓學(xué)生充分的獨立思考、相互討論，最后師生共同完成，并反思歐幾里得面積法對解決此題的作用. 此題的其他證明方法，由學(xué)生課下思考.三、 運用方法，動手操作：勾股定理的各種證明方法，除了為我們解決一些中考題提供了思路，還給我們提供了很有趣的拼圖游戲.例3（劉徽青朱出入法的應(yīng)用）把兩個小正方形，剪切幾刀，重新組合成一個大正方形，這不

5、就是勾股定理的證明，不需借助任何文字與符號，更能拼出那么多美麗的圖案，讓我們來比比看，看誰剪拼得又快又漂亮？ 請敘述出你的輔助線（剪開線），并簡要說明拼圖的方法和成立的理由.此題是一個發(fā)散性的題目，源于學(xué)生利用課余時間搜集到的勾股定理有關(guān)材料，在動手實踐中，思考全等和對應(yīng)的關(guān)系，利用平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等幾何變換，運用幾何語言（輔助線的作圖）敘述剪、拼過程，提高識圖能力、分析能力、表達能力. 學(xué)生可以在活動中，發(fā)揮自身的想象力與創(chuàng)造性，嘗試更多合理的拼圖方案，并且觀察和思考其中的規(guī)律，體驗做數(shù)學(xué)的快樂和成就感，感受數(shù)學(xué)的美.四、 小結(jié)作業(yè)學(xué)生小結(jié)作業(yè)：1（2006北京市中考題）請閱讀下列材料：問

6、題：現(xiàn)有5個邊長為1的正方形，排列形式如圖1，請把它們分割后拼接成一個新的正方形要求：畫出分割線并在正方形網(wǎng)格圖（圖中每個小正方形的邊長均為1）中用實線畫出拼接成的新正方形小東同學(xué)的做法是：設(shè)新正方形的邊長為依題意，割補前后圖形的面積相等，有，解得由此可知新正方形的邊長等于兩個正方形組成的矩形對角線的長于是，畫出如圖2所示的分割線，拼出如圖3所示的新正方形圖1圖2 圖3 請你參考小東同學(xué)的做法，解決如下問題：現(xiàn)有10個邊長為1的正方形，排列形式如圖4，請把它們分割后拼接成一個新的正方形要求：在圖4中畫出分割線，并在圖5的正方形網(wǎng)格圖（圖中每個小正方形的邊長均為1）中用實線畫出拼接成的新正方形說

7、明：直接畫出圖形，不要求寫分析過程圖4 圖5 2 在作業(yè)本上完成例2、例3課后自評：勾股定理是數(shù)學(xué)史上極富色彩的一筆，涉及內(nèi)容極為廣泛，特別適合學(xué)生利用課余時間綜合性的學(xué)習(xí). 因此，我在五一長假期間布置了搜集勾股定理證明方法的作業(yè). 學(xué)生搜集材料的熱情和豐富程度是我始料不及的，超過了我們備課組幾位老師搜集的材料總和. 那么多的證明方法，學(xué)生有的能看懂、有的看不懂、更多的似懂非懂，但特別好奇、感興趣，作為教師，課時有限制、考試有要求、學(xué)生情感有需求、知識有局限，如何處理？我整理了近兩年全國各地中考試題，發(fā)現(xiàn)，勾股定理的證明方法常常出現(xiàn)在試題中. 有的很明顯，如課上例1和作業(yè)第1題，熟悉趙爽弦圖的

8、學(xué)生必然能輕松應(yīng)對；有的則很隱蔽，如課上例2，題目難度很大，表面看上去與勾股定理毫無瓜葛，但若能運用上歐幾里得證明勾股定理的方法，困難迎刃而解. 我曾經(jīng)和一個老師一起做這道題，由于我讀過原本很快就解決了問題，而那位老師尋求其他方法花費了很長的時間. 這是讓我決定選擇這一課題一個直接的原因. 例3源自學(xué)生搜集到的材料，但在近些年的中考中，這類發(fā)散型、操作型、設(shè)計型題目的影子也常常出現(xiàn). 綜上，為了滿足學(xué)生的好奇心、豐富學(xué)生的學(xué)習(xí)內(nèi)容、落實學(xué)生對勾股定理一些常用方法的理解、緊密結(jié)合中考動態(tài)，我設(shè)計了這節(jié)課.精選的三道例題運用了三種不同的證明勾股定理的方法，例1較易、例2較難、例3開放，前面的復(fù)習(xí)為三道例題提供鋪墊，突出知識的遷移和方法的運用. 自制的flash和幾何畫板課件，對突破教學(xué)難點（歐幾里得面積法的理解和運用）、提高教學(xué)密度起到了重要的支持作用，三種方法的應(yīng)用都有板書，起到了教學(xué)效果.從教學(xué)的實際效果和課后作業(yè)看來，教學(xué)目標