第3章平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的譜分析

1、第3章平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的譜分析付里葉變換是處理確定性信號(hào)的有效工具，它信號(hào)的頻域內(nèi)分析處理信號(hào)，常常使分析工作大為簡(jiǎn)化。對(duì)于隨機(jī)信號(hào)，是否也可以應(yīng)用頻域分析方法？付里葉變換是否可引入隨機(jī)信號(hào)中？3.1 隨機(jī)過(guò)程的譜分析3.1.1 回顧：確定性信號(hào)的譜分析是非周期實(shí)函數(shù)， 的付里葉變換存在的充要條件是：1在上滿足狄利赫利條件；2絕對(duì)可積：3若代表信號(hào)，則信號(hào)的總能量有限，即：的付里葉變換為：付里葉逆變換為重要等式：此等式稱(chēng)為帕塞瓦（Parseval）等式，其物理意義是：等式左邊信號(hào)在時(shí)域上的總能量，等式右邊的可認(rèn)為是單位頻帶內(nèi)的能量，總能量通過(guò)積分得到，稱(chēng)等于為能譜密度。3.1.2 隨機(jī)過(guò)程的功率譜

2、密度一、樣本函數(shù)的平均功率問(wèn)題1：由于付里葉變換是針對(duì)確定性函數(shù)進(jìn)行的，在處理隨機(jī)過(guò)程時(shí)，取的一個(gè)樣本函數(shù)（在曲線族中取某一曲線）來(lái)進(jìn)行付里葉分析。問(wèn)題2：隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)一般不滿足付里葉變換的條件，它的總能量是無(wú)限的，需考慮平均功率。若隨機(jī)過(guò)程的樣本函數(shù)滿足稱(chēng)為樣本函數(shù)的平均功率。對(duì)于平穩(wěn)過(guò)程，其樣本函數(shù)的平均功率是有限的。二、截取函數(shù)對(duì)于的一個(gè)樣本函數(shù)，在中截取長(zhǎng)為的一段，記為，它滿足：稱(chēng)為的截取函數(shù)。三、截取函數(shù)的付里葉變換，取定后，的付里葉變換一定存在：其付里葉逆變換為：其帕塞瓦（Parseval）等式為四、隨機(jī)過(guò)程的平均功率說(shuō)明：與具有隨機(jī)性，因?yàn)槭堑囊粋€(gè)樣本，具有隨機(jī)性，因此，與

3、都是隨機(jī)變量。由稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的平均功率。記，稱(chēng)為隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度。描述了隨機(jī)過(guò)程的功率在各個(gè)頻率分量上的分布。功率譜密度與復(fù)頻率面拉譜拉斯變換回顧：在付里葉變換中，令，便有變換為這便是有名的拉譜拉斯變換。令，用來(lái)代替，得，是復(fù)頻率。應(yīng)用復(fù)頻率來(lái)表示平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的功率譜密度，在某些實(shí)際應(yīng)用中是很方便的。取，便是由拉譜拉斯變換引伸出的頻譜分析。3.2 功率譜密度的性質(zhì)1 功率譜密度為非負(fù)函數(shù)，即：2 功率譜密度為的實(shí)函數(shù)。3 功率譜密度為的偶函數(shù)：證明：4功率譜函數(shù)可積5有理譜密度是實(shí)際應(yīng)用中最覺(jué)常見(jiàn)的一類(lèi)功率譜密度，自然界和工程實(shí)際應(yīng)用中的有色噪聲常?？捎糜欣砗瘮?shù)形式的功率譜密度來(lái)逼近。這時(shí)

4、，可以表示為兩個(gè)多項(xiàng)式之比，即必須滿足。3.3 功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)之間的關(guān)系定理：平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度之間構(gòu)成付里葉變換對(duì)，即：設(shè)是功率譜密度，是自相關(guān)函數(shù)，則有證明：令， ，則，與的相互關(guān)系反映了時(shí)域特性與頻域特性之間的聯(lián)系，是分析隨機(jī)信號(hào)的一個(gè)最重要、最基本的公式：可以相互利用，使求解計(jì)算大大簡(jiǎn)化。3.4 聯(lián)合平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的互譜密度1 兩個(gè)隨機(jī)過(guò)程、的截取函數(shù)設(shè)、分別為與的樣本函數(shù)，令：、分別稱(chēng)為與的截取函數(shù)。2 截取函數(shù)的付里葉變換、的付里葉變換分別為付里葉逆變換分別為3 樣本函數(shù)互功率樣本函數(shù)與的互功率定義為：4 帕塞瓦定理根據(jù)帕塞瓦定理，有又，所以，5 兩個(gè)隨機(jī)過(guò)

5、程的互功率由于與具有隨機(jī)性，、也具有隨機(jī)性，從而、具有隨機(jī)性。為消除隨機(jī)性，?。悍Q(chēng)其為隨機(jī)過(guò)程的互功率。6 互功率譜密度由帕塞瓦定理，有令：稱(chēng)為互功率譜。7 平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程互相關(guān)與互功率譜的關(guān)系定理:互相關(guān)與互功率譜為一付里葉變換對(duì)，即：和8 互功率譜密度的性質(zhì)（1）（2）若與正交，則（3）若與不相關(guān)，則3.5 噪聲與功率譜密度1 理想白噪聲若是一個(gè)具有0均值的平穩(wěn)過(guò)程，其功率譜密度均勻分布在的：整個(gè)頻率區(qū)間，即為一正實(shí)數(shù)，則稱(chēng)為白噪聲過(guò)程，簡(jiǎn)稱(chēng)白噪聲。2 白噪聲的時(shí)域分析由及，有R自相關(guān)系數(shù)為以上說(shuō)明，白噪聲在任兩個(gè)相鄰時(shí)刻（兩個(gè)時(shí)刻不管多么鄰近）的取值都是不相關(guān)的。這說(shuō)明白噪聲過(guò)程隨時(shí)間的起伏極快。3 白噪聲在工程中的應(yīng)用實(shí)際上，白噪聲是不存在的。在工程中，當(dāng)所研究的隨機(jī)過(guò)程通過(guò)某一系統(tǒng)時(shí)，若過(guò)程的功率譜密度在一個(gè)比系統(tǒng)帶寬大得多的頻率范圍內(nèi)近似均勻分布，就可以把它當(dāng)作白噪聲來(lái)處理。常用應(yīng)用有：電子設(shè)備中的白噪聲；電阻熱噪聲；晶體管的散粒噪聲等。4 限帶白噪聲若過(guò)程的功率譜密度滿足：稱(chēng)此過(guò)程為低通型限帶白噪聲。若稱(chēng)此過(guò)程為帶通型限帶白噪聲。5 色噪聲除白噪聲以外，所有噪聲都稱(chēng)為有色噪聲，簡(jiǎn)稱(chēng)色噪聲。3.6 功率譜密度計(jì)算舉例例1、 隨機(jī)電報(bào)過(guò)程是廣義平穩(wěn)過(guò)程，其自相關(guān)函數(shù)為其中，求過(guò)程的功率譜密度。解：利用可得例2：為隨機(jī)相位過(guò)程、為實(shí)數(shù)。為隨機(jī)相位，在內(nèi)均勻分布變。