研究生數(shù)值分析試卷

1、20052006學(xué)年第一學(xué)期碩士研究生期末考試試題（A卷）科目名稱：數(shù)值分析 學(xué)生所在院： 學(xué)號(hào)： 姓名： 注意：所有的答題內(nèi)容必須答在答題紙上，凡答在試題或草稿紙上的一律無(wú)效。一、（15分）設(shè)求方程 根的迭代法 (1) 證明對(duì),均有,其中為方程的根.(2) 此迭代法收斂階是多少? 證明你的結(jié)論.二、（12分）討論分別用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程組的收斂性。 三、（8分）若矩陣，說(shuō)明對(duì)任意實(shí)數(shù)，方程組都是非病態(tài)的。（范數(shù)用）四、（15分）已知 的數(shù)據(jù)如下： 求的Hermite插值多項(xiàng)式，并給出截?cái)嗾`差。五、（10分）在某個(gè)低溫過(guò)程中，函數(shù) 依賴于溫度x（）的

2、試驗(yàn)數(shù)據(jù)為123408151820已知經(jīng)驗(yàn)公式的形式為 ，試用最小二乘法求出 ，。六、（12分）確定常數(shù) ， 的值，使積分取得最小值。七、（14分）已知Legendre(勒讓德)正交多項(xiàng)式有遞推關(guān)系式：試確定兩點(diǎn)的高斯勒讓德（GL）求積公式的求積系數(shù)和節(jié)點(diǎn)，并用此公式近似計(jì)算積分八、（14分）對(duì)于下面求解常微分方程初值問(wèn)題 的單步法：（1） 驗(yàn)證它是二階方法；（2） 確定此單步法的絕對(duì)穩(wěn)定域。20052006學(xué)年第一學(xué)期碩士研究生期末考試試題（B卷）科目名稱：數(shù)值分析 學(xué)生所在院： 學(xué)號(hào)： 姓名： 注意：所有的答題內(nèi)容必須答在答題紙上，凡答在試題或草稿紙上的一律無(wú)效。一、（12分）討論分別用J

3、acobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程組的收斂性。二、（15分）設(shè)求方程 根的迭代法 (1) 證明對(duì),均有,其中為方程的根.(2) 此迭代法收斂階是多少? 證明你的結(jié)論.三、（8分）若矩陣，說(shuō)明對(duì)任意實(shí)數(shù)，方程組都是非病態(tài)的。（范數(shù)用）四、（15分）已知 的數(shù)據(jù)如下： 1 2 3 2 4 2 -1求的Hermite插值多項(xiàng)式，并給出截?cái)嗾`差。五、（10分）在某個(gè)低溫過(guò)程中，函數(shù) 依賴于溫度x（）的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為123408151820已知經(jīng)驗(yàn)公式的形式為 ，試用最小二乘法求出 ，。六、（12分）確定常數(shù) ， 的值，使積分取得最小值。七、（14分）對(duì)于求積公式：,其中：是區(qū)間上

4、的權(quán)函數(shù)。（1） 證明此求積公式的代數(shù)精度不超過(guò)2n-1次;（2） 若此公式為Gauss型求積公式，試證明八、（14分）對(duì)于下面求解常微分方程初值問(wèn)題 的單步法：（3） 驗(yàn)證它是二階方法；（4） 確定此單步法的絕對(duì)穩(wěn)定域。20062007學(xué)年第一學(xué)期碩士研究生期末考試試題（B卷）科目名稱：數(shù)值分析 學(xué)生所在院： 學(xué)號(hào)： 姓名： 注意：所有的答題內(nèi)容必須答在答題紙上，凡答在試題或草稿紙上的一律無(wú)效。一、（12分）討論分別用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法求解下列方程組的收斂性。二、（8分）若矩陣，說(shuō)明對(duì)任意實(shí)數(shù)，方程組都是非病態(tài)的。（范數(shù)用）三、（15分）設(shè)導(dǎo)數(shù)連續(xù)，迭代格式一

5、階局部收斂到點(diǎn)。構(gòu)造新的迭代格式： 問(wèn)如何選取常數(shù)及，使新迭代格式有更高的收斂階，并問(wèn)是幾階收斂。四、（15分）已知 的數(shù)據(jù)如下： 1 2 3 2 4 2 -1求的Hermite插值多項(xiàng)式，并給出截?cái)嗾`差。五、（10分）在某個(gè)低溫過(guò)程中，函數(shù) 依賴于溫度x（）的試驗(yàn)數(shù)據(jù)為123408151820已知經(jīng)驗(yàn)公式的形式為 ，試用最小二乘法求出 ，。六、（12分）確定常數(shù) ， 的值，使積分取得最小值。七、（14分）對(duì)于求積公式：,其中：是區(qū)間上的權(quán)函數(shù)。（3） 證明此求積公式的代數(shù)精度不超過(guò)2n-1次;（4） 若此公式為Gauss型求積公式，試證明八、（14分）對(duì)于下面求解常微分方程初值問(wèn)題 的單步法

6、：（5） 驗(yàn)證它是二階方法；（6） 確定此單步法的絕對(duì)穩(wěn)定域。20062007學(xué)年第一學(xué)期碩士研究生期末考試試題（A卷）科目名稱：數(shù)值分析 學(xué)生所在院： 學(xué)號(hào)： 姓名： 注意：所有的答題內(nèi)容必須答在答題紙上，凡答在試題或草稿紙上的一律無(wú)效。一、（12分）設(shè)方程組為 （1） 用Doolittle分解法求解方程組；（2） 求矩陣A的條件數(shù)二、（12分）設(shè)A為n階對(duì)稱正定矩陣，A的n個(gè)特征值為，為求解方程組，建立迭代格式 ，求出常數(shù)的取值范圍，使迭代格式收斂。三、（12分）已知數(shù)據(jù)-2-101201210 試用二次多項(xiàng)式擬合這些數(shù)據(jù)。四、（14分）已知 的數(shù)據(jù)如下： 1 2 3 2 4 12 3（1

7、）求的Hermite插值多項(xiàng)式；（2）為求的值，采用算法： 試導(dǎo)出截?cái)嗾`差R五、（12分）確定常數(shù) ， 的值，使積分取得最小值。六、（12）確定常數(shù)，使求積公式的代數(shù)精度盡可能高，并問(wèn)是否是Gauss型公式。七、（12分）設(shè)導(dǎo)數(shù)連續(xù)，迭代格式一階局部收斂到點(diǎn)。對(duì)于常數(shù)，構(gòu)造新的迭代格式： 問(wèn)如何選取，使新迭代格式有更高的收斂階，并問(wèn)是幾階收斂。八、（14分）對(duì)于下面求解常微分方程初值問(wèn)題 的單步法：（7） 驗(yàn)證它是二階方法；（8） 確定此單步法的絕對(duì)穩(wěn)定區(qū)域。20072008學(xué)年第一學(xué)期碩士研究生期末考試試題科目名稱：數(shù)值分析 學(xué)生所在院： 學(xué)號(hào)： 姓名： 注意：所有的答題內(nèi)容必須答在答題紙上

8、，凡答在試題或草稿紙上的一律無(wú)效。一、（15分）給定方程 (1) 分析該方程存在幾個(gè)根；(2) 用迭代法求出這些根，精確至2位有效數(shù)；(3) 說(shuō)明所用的迭代格式是收斂的.二、（15分）設(shè)線性方程組為 (1) 證明用Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法解此方程組要么同時(shí)收斂,要么同時(shí)發(fā)散.(2) 當(dāng)同時(shí)收斂時(shí)比較其收斂速度.三、（10分）設(shè)為非奇異矩陣，方程組的系數(shù)矩陣有擾動(dòng)，受擾動(dòng)后的方程組為，若，試證：四、（15分）已知 的數(shù)據(jù)如下： 求的Hermite插值多項(xiàng)式，并給出截?cái)嗾`差。五、（10分）已知數(shù)據(jù) i0 1 2 3xi0 1 2 3yi3 2 4 7設(shè)，求常數(shù)a ,b,

9、使得 六、（15分）定義內(nèi)積 在中求的最佳平方逼近元素.七、（10分）給定求積公式試確定,使此求積公式的代數(shù)精度盡可能高,并問(wèn)是否是Gauss型公式.八、（10分）給定微分方程初值問(wèn)題 用一個(gè)二階方法計(jì)算在0.1 , 0.2 處的近似值. 取 計(jì)算結(jié)果保留5位有效數(shù)字。20082009學(xué)年第一學(xué)期碩士研究生期末考試試題一、（本題共3小題，每題8分，共24分）解答下面各題：1) 下表給出了函數(shù) f(x) 在一些節(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值： x0.00.10.20.30.40.50.60.70.8f(x)58630-3-335用復(fù)化Simpson求積公式近似計(jì)算函數(shù)f(x)在區(qū)間0, 0.8上的積分。2) 已知函數(shù) y=f(x)的觀察值如下表所示，使用Newton 插值法求其插值多項(xiàng)式。x0123y230-13) 取初值為2，利用Newton迭代法求方程:在0， 2中的近似解。要求迭代兩次。（如果計(jì)算結(jié)果用小數(shù)表示，則最后結(jié)果應(yīng)保留5位小數(shù)）。二、（本題15分）設(shè)常數(shù)a0，試求a的取值范圍，使得用雅可比（Jacobi）迭代法求解下面線性方程組時(shí)是收斂的。三、（本題16分）利用Hermite插值多項(xiàng)式構(gòu)造下面的求積公式： EMBED Equation.3 并導(dǎo)出其積分余項(xiàng)。四（14分）已知方程 在0.2附近有解，建立用于求解此解的收斂的迭代公式。并問(wèn)如何設(shè)置迭代終止條件可以保證